マルコフスイッチングマルチフラクタル

金融計量経済学（統計的手法を経済データに適用する学問）において、マルコフスイッチングマルチフラクタル（MSM）は、ローラン・E・カルベットとアデライ・J・フィッシャーが開発した資産収益モデルであり、不均一な期間の確率的ボラティリティ要素を組み込んでいます。^{[1] [2] MSMは、}外れ値、ログメモリのようなボラティリティの持続性、および金融収益のべき乗変動を捉えます。通貨および株式シリーズにおいて、MSMはサンプル内およびサンプル外の両方で、 GARCH(1,1)やFIGARCHなどの標準的なボラティリティモデルに匹敵します。MSMは、金融業界の専門家によってさまざまな種類の予測に使用されています。

MSM モデルは離散時間と連続時間の両方で指定できます。

金融資産の価格を 、連続する2期間の収益を とします。MSMでは、収益は次のように定義されます 。${\displaystyle P_{t}}$${\displaystyle r_{t}=\ln(P_{t}/P_{t-1})}$

${\displaystyle r_{t}=\mu +{\bar {\sigma }}(M_{1,t}M_{2,t}...M_{{\bar {k}},t})^{1/2}\epsilon _{t},}$

ここで、およびは 定数であり、{ }は独立した標準ガウス分布です。ボラティリティは、1次の潜在マルコフ状態ベクトルによって決まります。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \epsilon_{t}}$

${\displaystyle M_{t}=(M_{1,t}M_{2,t}\dots M_{{\bar {k}},t})\in R_{+}^{\bar {k}}.}$

ボラティリティ状態 が与えられた場合、次の期間の乗数は確率 で固定分布Mから抽出され、それ以外の場合は変更されません。 ${\displaystyle M_{t}}$${\displaystyle M_{k,t+1}}$${\displaystyle \gamma _{k}}$

遷移確率は次のように規定される。

${\displaystyle \gamma _{k}=1-(1-\gamma _{1})^{(b^{k-1})}}$。

低頻度では、シーケンスはほぼ幾何分布です。周辺分布M は平均が 1 で、正のサポートを持ち、kとは独立しています。 ${\displaystyle \gamma _{k}}$${\displaystyle \gamma _{k}\approx \gamma _{1}b^{k-1}}$

経験的な応用では、分布M は多くの場合、等確率でまたはの値を取る離散分布です。戻りプロセスはパラメータ によって指定されます。パラメータの数はすべての で同じであることに注意してください 。 ${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle 2-m_{0}}$${\displaystyle r_{t}}$${\displaystyle \theta =(m_{0},\mu ,{\bar {\sigma }},b,\gamma _{1})}$${\displaystyle {\bar {k}}>1}$

MSM は連続時間で同様に定義されます。価格プロセスは拡散に従います。

${\displaystyle {\frac {dP_{t}}{P_{t}}}=\mu dt+\sigma (M_{t})\,dW_{t},}$

ここで、は標準ブラウン運動であり、 およびは定数です。各成分は次のダイナミクスに従います。 ${\displaystyle \sigma (M_{t})={\bar {\sigma }}(M_{1,t}\dots M_{{\bar {k}},t})^{1/2}}$${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$

強度はkとともに幾何学的に変化します。

${\displaystyle \gamma _{k}=\gamma _{1}b^{k-1}.}$

コンポーネントの数が無限大になると、連続時間 MSM はマルチフラクタル拡散に収束し、そのサンプル パスは任意の有限時間間隔でローカル ホルダー指数の連続体を取ります。 ${\displaystyle {\bar {k}}}$

が離散分布である場合、マルコフ状態ベクトルは有限個の値 を取る。例えば、二項MSMでは可能な状態がある。マルコフダイナミクスは、の要素を持つ遷移行列によって特徴付けられる。ボラティリティ状態を条件として、リターンはガウス密度を持つ。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{t}}$${\displaystyle m^{1},...,m^{d}\in R_{+}^{\bar {k}}}$${\displaystyle d=2^{\bar {k}}}$${\displaystyle A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq d}}$${\displaystyle a_{i,j}=P\left(M_{t+1}=m^{j}|M_{t}=m^{i}\right)}$${\displaystyle r_{t}}$

${\displaystyle f(r_{t}|M_{t}=m^{i})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}(m^{i})}}}\exp \left[-{\frac {(r_{t}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}(m^{i})}}\right].}$

対数尤度関数の解析式は次のようになります。

${\displaystyle \ln L(r_{1},\dots ,r_{T};\theta )=\sum _{t=1}^{T}\ln[\omega (r_{t}).(\Pi _{t-1}A)].}$

最大尤度法は有限サンプルでかなり正確な推定値を提供します。^[2]

が連続分布である場合、推定はシミュレートされたモーメント法^{[3] [4]}または粒子フィルタによるシミュレートされた尤度^{[5]によって進めることができます。}${\displaystyle M}$

が与えられた場合、日付における潜在状態ベクトルの条件付き分布は次のように与えられます。 ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{t}}$${\displaystyle t+n}$

${\displaystyle {\hat {\Pi }}_{t,n}=\Pi _{t}A^{n}.\,}$

MSMは、サンプル内外を問わず、従来の最良のモデルよりも優れたボラティリティ予測を提供することが多い。CalvetとFisher ^[2]は、10日から50日間の期間における為替レートのボラティリティ予測において、GARCH(1,1)、Markov-Switching GARCH、^{[6] [7]}、Fractionally Integrated GARCH ^{[8]と比較して、かなりの改善がみられたと報告している。Lux [4]は}線形予測を使用して同様の結果を得ている。

MSMを複数の資産に拡張することで、証券ポートフォリオのリスク値の信頼性の高い推定値が得られます。^[5]

金融経済学では、MSMはマルチ周波数リスクの価格設定への影響を分析するために使用されています。このモデルは、ファンダメンタルズと比較した株式リターンの過剰なボラティリティと株式リターンの負の歪みを説明するのに一定の成功を収めています。また、マルチフラクタルジャンプ拡散を生成するためにも使用されています。^[9]

MSMは、任意の数の周波数を持つ確率的ボラティリティモデル^{[10] [11]です。MSMは}、ジェームズ・D・ハミルトン[ ^12]によって経済学と金融学で発展したレジームスイッチングモデルの利便性に基づいています。^[13] MSMは、資産収益のマルチフラクタルモデルと密接に関連しています。^{[14] MSMは、到着時間をランダム化することでMMARの組み合わせ構造を改善し、厳密に定常なプロセスを保証します。MSMは、}ブノワ・マンデルブロ[ ^15]によって開拓されたマルチフラクタル測度の純粋なレジームスイッチング定式化を提供します。 [ ^{16] [17]}

• ブラウン運動
• ロジェマール・マモン
• マルコフ連鎖
• 資産収益のマルチフラクタルモデル
• マルチフラクタル
• 確率的ボラティリティ

• 金融時系列、マルチフラクタル、隠れマルコフモデル