ハル・ホワイトモデル

金融数学において、ハル・ホワイト・モデルは将来の金利をモデル化したものです。最も一般的な定式化では、現在の金利の期間構造に適合する無裁定モデルに分類されます。将来の金利の推移を数学的に記述したものをツリー構造や格子構造に変換することは比較的容易であり、そのため、バミューダ・スワップションなどの金利デリバティブをこのモデルで評価することができます。

最初のハル・ホワイトモデルは、 1990年にジョン・C・ハルとアラン・ホワイトによって発表された。このモデルは現在でも市場で人気が高い。

この記事の残りの部分では、${\displaystyle \theta }$t依存性がある。確率項を一時的に無視すると、次のようになる。${\displaystyle \alpha >0}$rの変化は、rが現在「大きい」（より大きい）場合、負になります。${\displaystyle \theta (t)/\alpha )}$そして、現在の値が小さい場合は正の値をとる。つまり、この確率過程は平均回帰オルンシュタイン・ウーレンベック過程である。

θは、現在の金利の期間構造を表す初期イールドカーブから算出されます。αは通常、ユーザー入力として扱われます（例えば、過去のデータから推定される場合もあります）。σは、市場で容易に取引可能な一連のキャップレットとスワップションを用いて較正することで決定されます。

いつ${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \theta }$、 そして${\displaystyle \sigma }$が定数である場合、伊藤の補題を用いて、

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right)+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

分布を持つ

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right),{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right),}$

どこ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$は平均が正規分布である${\displaystyle \mu }$および分散$\displaystyle \sigma ^{2}}$。

いつ${\displaystyle \theta (t)}$時間依存であり、

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (st)}\theta (s)ds+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

分布を持つ

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (st)}\theta (s)ds,{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right).}$

T満期割引債の時間S値は分布を持つことが判明しました (ここでアフィン項構造に注目してください!)

${\displaystyle P(S,T)=A(S,T)\exp(-B(S,T)r(S)),}$

どこ

${\displaystyle B(S,T)={\frac {1-\exp(-\alpha (TS))}{\alpha }},}$

${\displaystyle A(S,T)={\frac {P(0,T)}{P(0,S)}}\exp \left(\,-B(S,T){\frac {\partial \log(P(0,S))}{\partial S}}-{\frac {\sigma ^{2}(\exp(-\alpha T)-\exp(-\alpha S))^{2}(\exp(2\alpha S)-1)}{4\alpha ^{3}}}\right).}$

終端分布に注意してください${\displaystyle P(S,T)}$は対数正規分布に従います。

時間S債券（ Sフォワード測度への切り替えに対応）を基準として選択することにより、無裁定価格設定の基本定理から、時間Sでペイオフを持つデリバティブの時間tにおける価値が得られます。

${\displaystyle V(t)=P(t,S)\mathbb {E} _{S}[V(S)\mid {\mathcal {F}}(t)].}$

ここ、$\displaystyle \mathbb {E} _{S}}$これは、先物価格に関して取られた期待値である。さらに、標準的な裁定取引の議論によれば、時間T の先物価格は${\displaystyle F_{V}(t,T)}$時刻Tにおける利得V(T)は以下を満たす必要がある${\displaystyle F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)}$、 したがって

${\displaystyle F_{V}(t,T)=\mathbb {E} _{T}[V(T)\mid {\mathcal {F}}(t)].}$

したがって、単一の結合のみに依存する多くの導関数Vを評価することが可能です。${\displaystyle P(S,T)}$ハル・ホワイトモデルで分析的に作業する場合。たとえば、債券プットの場合

${\displaystyle V(S)=(KP(S,T))^{+}.}$

なぜなら${\displaystyle P(S,T)}$は対数正規分布に従うため、ブラック・ショールズ・モデルに使用される一般的な計算では、

${\displaystyle {E}_{S}[(KP(S,T))^{+}]=KN(-d_{2})-F(t,S,T)N(-d_{1}),}$

どこ

$d_1 = log(F/K) + σP^2S/2 σP√S となります。$

そして

$\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma _{P}{\sqrt {S}}.}$

したがって、今日の値（P (0, S )を掛け直し、tを0に設定した場合）は次のようになります。

${\displaystyle P(0,S)KN(-d_{2})-P(0,T)N(-d_{1}).}$

ここ$\displaystyle \sigma _{P}}$は、対数正規分布の標準偏差（相対変動率）です。${\displaystyle P(S,T)}$かなりの量の代数計算により、それが次の式で元のパラメータと関連していることが示される。

$${\displaystyle {\sqrt {S}}\sigma _{P}={\frac {\sigma }{\alpha }}(1-\exp(-\alpha (TS))){\sqrt {\frac {1-\exp(-2\alpha S)}{2\alpha }}}.}$$

なお、この期待値はS債券の尺度で計算されたものですが、元のハル・ホワイト過程については尺度を全く指定していません。しかし、これは問題ではありません。重要なのはボラティリティだけであり、それは尺度に依存しないからです。

金利キャップ/フロアはそれぞれ債券プットとコールに相当するため、上記の分析はキャップとフロアがハル・ホワイト・モデルで解析的に価格設定できることを示しています。ジャムシディアンのトリックはハル・ホワイトにも適用されます（ハル・ホワイト・モデルにおけるスワップションの今日の価値は、今日の短期金利の単調関数であるため）。したがって、キャップの価格設定方法を知っていれば、スワップションの価格設定も可能になります。原資産が（将来を見据えた）LIBOR期間金利ではなく、複利計算された過去を見据えた金利である場合、ターファス（2020）は、この式が追加の凸性を考慮するように簡単に修正できることを示しています。

スワップションは、ヘンラード（2003）で説明されているように、直接価格設定することもできます。直接実装の方が通常は効率的です。

しかし、キャップやスワップションなどのバニラ金融商品の評価は、主にキャリブレーションに役立ちます。このモデルの実際の用途は、格子上のバミューダスワップションや、例えば Brigo と Mercurio (2001) で説明されているように、クォント定常満期スワップなどの多通貨コンテキストにおけるその他のデリバティブなど、ややエキゾチックなデリバティブを評価することです。時間依存パラメータを持つ Hull–White モデルの効率的かつ正確なモンテカルロシミュレーションは簡単に実行できます。Ostrovski (2013) および (2016) を参照してください。Fries (2016) ^{[ 1 ]}に従った正確なモンテカルロ シミュレーションのオープンソース実装は、finmath lib ^{[ 2 ]にあります。}

Vasicek、CIR、Hull–White モデルなどの単一因子モデルは価格設定のために考案されてきましたが、最近の研究では、予測に関してその可能性が示されています。Orlando ら (2018、^{[ 3 ]} 2019、^{[ 4 ] [ 5 ]} ) は、CIR# と呼ばれる将来の金利を予測するための新しい方法論を提供しました。このアイデアは、価格設定に使用される短期金利モデルを予測ツールに変えるだけでなく、与えられた分布に従ってデータセットをサブグループに適切に分割することにあります^{[ 6 ]} )。そこでは、この分割によって、金利の変動性の統計的に有意な時間的変化を捉えることができることが示されました。このアプローチに従って、Orlando ら (2021) ^{[ 7 ]} ) は、金利の方向性の予測と予測に関して、Hull–White モデルと CIR モデルを比較しています。

• ヴァシチェクモデル
• コックス・インガソール・ロスモデル
• ブラック・カラシンスキーモデル

主要参考文献

• ジョン・ハルとアラン・ホワイト、「ハル・ホワイト金利ツリーの使用」、Journal of Derivatives  、第3巻、第3号（1996年春）、 26～36ページ
• John Hull および Alan White、「期間構造モデルを実装するための数値的手順 I」、Journal of Derivatives、1994 年秋、7～16 ページ 。
• John Hull および Alan White、「期間構造モデルを実装するための数値的手順 II」、Journal of Derivatives、1994 年冬、pp.  37–48。
• ジョン・ハルとアラン・ホワイト、「ハル・ホワイト・モデルを用いた金利上限と金利下限に関するオプションの価格設定」、『金融リスク管理における高度な戦略』第4章、59～67ページ 。
• John Hull および Alan White、「1 因子金利モデルと金利デリバティブ証券の評価」、Journal of Financial and Quantitative Analysis、第 28 巻、第 2 号、（1993 年 6 月）、pp.  235–254。
• ジョン・ハルとアラン・ホワイト、「金利デリバティブ証券の価格設定」、金融研究レビュー、第3巻、第4号（1990年）、573～592ページ 。

その他の参考文献

• ハル、ジョン・C. (2006). 「金利デリバティブ：短期金利のモデル」。オプション、先物、その他のデリバティブ（第6 版）。アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール。pp. 657–658。ISBN  0-13-149908-4. LCCN 2005047692 . OCLC 60321487 .  
• ダミアーノ・ブリゴ、ファビオ・メルクリオ（2001）。金利モデル ― 理論と実践（スマイル、インフレ、信用を含む） （第2版、2006年 ）。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-540-22149-4。
• Henrard, Marc (2003). 「Heath–Jarrow–Morton 1 因子モデルにおける明示的な債券オプションとスワップションの公式」、International Journal of Theoretical and Applied Finance、6(1)、57–72。プレプリント SSRN。
• Henrard, Marc (2009). Hull–White 1 因子モデルにおける効率的なスワップション価格、arXiv、0901.1776v1。プレプリント arXiv。
• オストロフスキー、ウラジミール（2013）。ハル・ホワイトモデルの効率的かつ正確なシミュレーション、プレプリントSSRN。
• Ostrovski, Vladimir (2016). ガウスアフィン金利モデルの効率的かつ正確なシミュレーション., International Journal of Financial Engineering, Vol. 3, No. 02. , Preprint SSRN.
• プシュカルスキ、ユージン。「ハル・ホワイトの無裁定期間構造モデルの実装」、卒業論文、中央ヨーロッパ金融市場センター
• Turfus, Colin (2020). 後方参照レートによるカプレット価格設定., SSRN プレプリント.
• Letian Wang、ハル・ホワイトモデル、DTCC債券定量分析グループ（詳細な数値例と導出）