後方確率微分方程式

後向き確率微分方程式( BSDE )は、解が基礎となるフィルタリングに関して適応する必要がある終端条件を持つ確率微分方程式です。BSDE は、確率制御、数理ファイナンス、非線形ファインマン-カッツ公式などのさまざまなアプリケーションで自然に発生します。^{[ 1 ]}

逆確率微分方程式は、線形の場合については 1973 年にJean-Michel Bismutによって導入され^{[ 2 ]} 、非線形の場合については 1990 年にÉtienne PardouxとShige Pengによって導入されました^{[ 3 ] 。}

端末時間を固定する${\displaystyle T>0}$そして確率空間${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$。 させて${\displaystyle (B_{t})_{t\in [0,T]}}$自然濾過を伴うブラウン運動である${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}$後向き確率微分方程式は、次のタイプの積分方程式である。

どこ${\displaystyle f:[0,T]\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$BSDEのジェネレーターと呼ばれる終端条件${\displaystyle \xi }$は$\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$-測定可能な確率変数、そしてその解${\displaystyle (Y_{t},Z_{t})_{t\in [0,T]}}$確率過程から構成される${\displaystyle (Y_{t})_{t\in [0,T]}}$そして${\displaystyle (Z_{t})_{t\in [0,T]}}$ろ過に適した${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}$。

深層後向き確率微分方程式法は、深層学習と後向き確率微分方程式 (BSDE) を組み合わせた数値解法です。この方法は、金融数学の問題における高次元問題の解決に特に有効です。深層ニューラルネットワークの強力な関数近似能力を活用することで、深層BSDEは、高次元設定における従来の数値解法が直面する計算上の課題に対処します。具体的には、有限差分法やモンテカルロシミュレーションなどの従来の方法は、次元の呪いに悩まされることが多く、計算コストが次元数とともに指数関数的に増加します。しかし、深層BSDE法は、深層ニューラルネットワークを使用して高次元偏微分方程式 (PDE) の解を近似することで、計算負荷を効果的に軽減します。^{[ 4 ]}

• マルチンゲール表現定理
• 確率制御
• 確率微分方程式

• Pardoux, Etienne; Rӑşcanu, Aurel (2014).確率微分方程式、逆方向確率微分方程式、偏微分方程式。確率モデリングと応用確率。Springer International Publishing Switzerland。
• Zhang, Jianfeng (2017).逆方向確率微分方程式. 確率論と確率モデリング. Springer New York, NY.