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金融数学において、プット・コール・パリティとは、同一の権利行使価格と満期日を持つヨーロピアン・コール・オプションとヨーロピアン・プット・オプションの価格間の関係を定義するものであり、すなわち、ロング・コール・オプションとショート・プット・オプションのポートフォリオは、この権利行使価格と満期日における単一の先渡契約と同等（したがって同じ価値を持つ）であることを意味します。これは、満期時の価格が権利行使価格を上回ればコールが行使され、下回ればプットが行使されるため、いずれの場合も先渡契約と同様に、権利行使価格で資産の1単位が購入されるからです。
この関係が成り立つためには、いくつかの前提条件を満たす必要があります。これらの前提条件は以下に示され、関係式も以下に導出されます。実際には、取引コストや資金調達コスト（レバレッジ）のため、この関係は厳密には成り立ちませんが、流動性の高い市場ではほぼ正確に成り立ちます。
プット・コール・パリティは、先渡契約の静的な複製であり、したがって最小限の仮定しか必要としません。取引可能な先渡契約がない場合、先渡契約は、原資産を購入し、一定期間の借入（例えば債券の借入）によって資金を調達する能力、または逆に、原資産を借り入れて売り（空売り）し、受け取った資金を一定期間貸し付ける能力によって代替（実際にはそれ自体が複製）できます。どちらの場合も、自己資金調達型のポートフォリオが生まれます。
これらの仮定は、開始日から満期日までの間に取引が発生することを必要とせず、動的な複製と原資産における継続的な取引を必要とするブラック・ショールズ・モデルの仮定よりも著しく弱い。
複製は、デリバティブ取引が可能であることを前提としており、そのためにはレバレッジ（およびそれを支える資本コスト）が必要となり、売買には取引コスト、特に買値と売値のスプレッドが発生します。したがって、この関係は、流動性が無制限な理想的な摩擦のない市場でのみ厳密に成り立ちます。しかし、現実世界の市場は十分な流動性を備えている場合があり、特に主要通貨の為替市場や主要株価指数市場においては、市場の混乱がない限り、この関係はほぼ厳密に成り立ちます。
プット・コール・パリティは、いくつかの同等の方法で表現できますが、最も簡潔に言うと次のようになります。
どこは呼び出しの（現在の）値です。はプットオプションの（現在の）価値です。割引係数は、は原資産の先物価格であり、はストライク価格です。左側はロングコールとショートプットのポートフォリオに対応し、右側は先渡契約に対応します。資産そして左側の資産は現在価値で示されており、そして割引係数は将来の価値（資産の先物価格、および満期時に支払われる権利行使価格）で与えられます。現在価値に変換します。
スポット価格先物価格を割り引くことで得られる要因によってスポット価格を使用する先物価格の代わりに私たちに与えてくれるもの：
用語を並べ替えると、最初の解釈が得られます。
ここで、左側はフィデューシャリー・コールであり、これはコールオプションの買い持ちと、権利行使価格を支払うことで権利を行使できるだけの現金（または債券）で構成されています。右側はマリード・プットであり、これは資産とペアになったプットオプションの買い持ちであり、権利行使時に資産を権利行使価格で売却することができます。満期時にはオプションの本質的価値は消滅するため、両側ともペイオフが発生します。少なくともストライク価格と同等または値資産のより高い場合。
現金を保有するロングコールが、資産を保有するロングプットと同等であるということは、プットコールパリティの1つの意味である。
用語を別の方法で並べ替えると、2つ目の解釈が得られます。
左側は現金担保付きプット、つまりショートプットと、プット保有者が権利を行使した場合に支払うのに十分な現金です。右側はカバードコールで、資産とペアになったショートコールであり、資産はコール保有者が権利を行使した場合にコールされる準備ができています。満期時には、前のシナリオが反転します。両方の側にペイオフがあります。ストライク価格に等しいまたは値資産のいずれか低い方。
つまり、プット・コール・パリティは、現金担保付き（ショート）プットとカバード（ショート）コールの等価性として理解することもできる。現金担保付きプットの売却は、通常、カバードコールの売却よりもリスクが高いと考えられているため、これは意外かもしれない。[ 1 ]
現金の時間価値と金融変数の時間依存性を明確にするために、元のプット・コール・パリティ方程式は次のように表すことができます。
どこ
なお、この等式の右辺は、受渡価格で当該株式の先物契約を購入する価格でもある。したがって、この式を解釈する一つの方法は、コールオプションを買い、プットオプションを売るポートフォリオは、フォワードオプションを買い持つポートフォリオと同じであると考えることです。特に、原資産が取引不可能であっても、その原資産に対するフォワードオプションが存在する場合は、右辺の式をフォワードオプションの価格で置き換えることができます。
債券の利率が、は一定であると仮定すると、
注記：これは、金利が低い場合、実質年率とほぼ等しい、利子力を指します。ただし、特に金利が高く、期間が長い場合は、この近似には注意が必要です。正確に、使用する、 どここれは実効年利率です。
配当金が確定している株式を対象とするヨーロピアンオプションの評価式は、オプションの存続期間中に配当金が支払われる場合、以下のようになります。
どここれは、オプションの残存期間中に支払われる1株の株式からの配当金の総額を現在価値に割り引いたものです。
この方程式は次のように書き換えることができます。
なお、右辺は、受渡価格付きの株式先物契約の価格です。以前と同様です。
ここでは、プットオプションとコールオプションは取引されている株式を対象としていると仮定しますが、原資産は他の取引可能な資産でも構いません。原資産の売買が可能であることは、後述する「裁定取引が存在しない」という議論において極めて重要です。
まず、裁定取引の機会がない（価格に裁定取引の余地がない）という仮定の下では、時点 T で常に同じペイオフを持つ 2 つのポートフォリオは、それ以前のどの時点においても同じ価値を持つ必要があることに注意してください。これを証明するために、時点Tより前の時点tで、一方のポートフォリオが他方のポートフォリオよりも安かったと仮定します。この場合、安い方のポートフォリオを購入（ロング）し、高い方のポートフォリオを売却（ショート）することができます。時点Tでは、現金を除いたこのロング/ショート ポートフォリオは、株価がどのような値であっても、価値がゼロになります（すべての資産と負債が相殺されるため）。したがって、時点tで得た現金利益はリスクのない利益ですが、これは裁定取引がないという仮定に反します。
我々は、同じペイオフを持つ2つのポートフォリオを作成し（静的複製）、上記の原理（合理的価格設定）を適用することによって、プット・コール・パリティ関係を導き出す。
配当を支払わないある株式Sについて、満期日Tが同じで、行使価格Kが同じコールオプションとプットオプションを考えます。満期日Tに1ドルを支払う債券が存在すると仮定します。債券価格は（株式と同様に）ランダムであっても構いませんが、満期時には1ドルに等しくなければなりません。
時刻 t におけるSの価格を S(t) とします。次に、満期がTで権利行使価格がKのコール オプションCを購入し、プット オプションPを売却してポートフォリオを構築します。このポートフォリオのペイオフはS(T) - Kです。次に、1 株を購入し、 K債券を借り入れて 2 番目のポートフォリオを構築します。S(t) で購入した株は S(T )の価値があり、借り入れた債券は K の価値があるため、時刻Tにおける後者のポートフォリオのペイオフもS (T) - Kであることに注意してください。
予備的な観察によれば、同一のペイオフは、両方のポートフォリオが一般的な時点で同じ価格を持つ必要があることを意味する。様々な金融商品の価値の間には、以下の関係が存在する。
したがって、裁定取引の機会がない場合、プット・コール・パリティとして知られる上記の関係が成り立ち、コール、プット、債券、株式の任意の3つの価格から、4番目の価格を暗示的に計算することができる。
配当の場合、修正された式は上記と同様の方法で導出できますが、1 つのポートフォリオはコールオプションを買い、プットオプションを売り、満期Tでそれぞれ 1 ドルを支払うD(T)本の債券を買い（債券は時点tでD(t) の価値になります）、もう 1 つのポートフォリオは以前と同じで、株式 1 株を買い、満期Tでそれぞれ 1 ドルを支払うK本の債券を売ります。違いは、時点Tで、株式の価値がS(T)であるだけでなく、配当としてD(T)が支払われているということです。
プット・コール・パリティの形態は、中世の時代から実際に用いられており、20世紀初頭には多くの著者によって正式に記述された。
マイケル・ノールは著書『現代金融イノベーションの古代のルーツ：規制裁定取引の初期の歴史』の中で、中世イングランドにおいて、プット・コール・パリティが現代の住宅ローンの特徴である償還権の発展に果たした重要な役割について述べている。
19世紀、金融家のラッセル・セージはプット・コール・パリティを利用して合成ローンを作り出した。これは当時の高利貸し規制法で通常認められる金利よりも高い金利だった。
ニューヨークのオプション裁定取引業者であるネルソンは、1904年に『オプションと裁定取引のABC』という本を出版し、プット・コール・パリティについて詳細に解説した。彼の著書は2000年代初頭にエスペン・ガーダー・ハウグによって再発見され、ハウグの著書『デリバティブ・モデル・オン・モデルズ』にはネルソンの著書からの引用が多数含まれている。
ヘンリー・ドイッチュは、1910年に著書『地金、硬貨、手形、株式、オプションの裁定取引、第2版』（ロンドン：エンガム・ウィルソン）の中でプット・コール・パリティについて述べているが、ネルソン（1904年）ほど詳細ではない。
数学教授のヴィンツェンツ・ブロンジンは、1908年にプット・コール・パリティを導出し、それを裁定取引論の一部として用いて、様々な分布の下での一連の数学的オプションモデルを開発した。ブロンジン教授の研究は、ヴォルフガング・ハフナー教授とハインツ・ツィンマーマン教授によって最近再発見された。ブロンジンの原著はドイツ語で書かれた書籍であり、現在はハフナーとツィンマーマンによる編集書（「ヴィンツェンツ・ブロンジンのオプション価格モデル」、シュプリンガー出版）として英語に翻訳・出版されている。
現代の学術文献におけるその最初の記述は、Journal of FinanceのHans R. Stollによるものと思われる。[ 2 ] [ 3 ]
プット・コール・パリティとは、以下のことを意味する。
