変動性（金融）

金融において、ボラティリティ（通常は「σ」で表される）とは、時間の経過に伴う取引価格系列の変動の度合いであり、通常は対数リターンの標準偏差によって測定される。

ヒストリカル・ボラティリティは、過去の市場価格の時系列データに基づいて算出されます。 一方、インプライド・ボラティリティは、将来を見据えた指標であり、市場で取引されるデリバティブ（特にオプション）の市場価格から算出されます。

ここで説明するボラティリティとは、実際のボラティリティを指し、より具体的には次のとおりである。

• 特定の期間（例えば30日間または90日間）における金融商品の実際の現在の変動率。これは、指定された期間の過去の価格に基づいて算出され、最後の観測値は最新の価格である。
• 実際のヒストリカルボラティリティとは、特定の期間における金融商品のボラティリティを指しますが、最後の観測値は過去の日付に基づいています。
  • ほぼ同義語として実現ボラティリティがあり、これは実現分散の平方根であり、実現分散は、リターンの二乗の合計を観測数で割ることによって計算されます。
• 実際の将来のボラティリティとは、現在時点から将来の特定の日付（通常はオプションの満期日）までの特定の期間における金融商品のボラティリティを指します。

次に、インプライド・ボラティリティについて見ていきましょう。

• 過去のインプライド・ボラティリティとは、金融商品（通常はオプション）の過去の価格から観測されるインプライド・ボラティリティを指します。
• 現在のインプライド・ボラティリティとは、金融商品の現在の価格から観測されるインプライド・ボラティリティを指します。
• 将来のインプライド・ボラティリティとは、金融商品の将来の価格から観測されるインプライド・ボラティリティを指します。

価格がガウスランダムウォーク（またはウィーナー過程）に従う金融商品の場合、時間の経過とともに分布の幅は広がります。これは、時間の経過とともに商品の価格が初期価格から遠ざかる確率が高くなるためです。しかし、ボラティリティは直線的に増加するのではなく、時間の経過とともに時間の平方根に比例して増加します。これは、いくつかの変動が互いに打ち消し合うことが予想されるため、2倍の時間が経過した後の最も可能性の高い偏差は、ゼロからの距離の2倍にはならないためです。

観測された価格変動はガウス分布に従わないため、レヴィ分布などの他の分布がよく使用されます。^{[ 1 ]}これらは「ファットテール」などの特性を捉えることができます。ボラティリティは、市場パラメータなどの任意のランダム変数の平均値からのばらつきの統計的尺度です。

時間とともにランダムに変動するファンドの場合、ボラティリティは、それぞれが対応する（等しい長さの）時間の系列におけるファンドのリターンである一連のランダム変数の標準偏差として定義されます。

したがって、「年率換算」ボラティリティ_σは、金融商品の年間対数リターンの標準偏差である。^{[ 2 ]}

時間範囲T （年）における一般化ボラティリティσT_は、次のように表されます。

$\displaystyle \sigma _{\text{T}}=\sigma _{\text{annually}}{\sqrt {T}}.}$

したがって、株式の日次対数リターンの標準偏差がσ_日であり、リターンの期間が取引日数でPである場合、年率換算のボラティリティは

$\displaystyle \sigma _{\text{annually}}=\sigma _{\text{daily}}{\sqrt {P}}.}$

それで

$\displaystyle \sigma _{\text{T}}=\sigma _{\text{daily}}{\sqrt {PT}}.}$

一般的な仮定として、任意の年における取引日数はP = 252 日である。この場合、 σ_日次= 0.01 であれば、年率換算の変動率は

$\displaystyle \sigma _{\text{annually}}=0.01{\sqrt {252}}=0.1587.}$

月次変動率（つまり${\displaystyle T={\tfrac {1}{12}}}$（1年間の）は

$\displaystyle \sigma _{\text{monthly}}=0.01{\sqrt {\tfrac {252}{12}}}=0.0458.}$

上記で使用した、ある期間の収益率または変動率を別の期間に変換する式は、特定の基礎となるモデルまたはプロセスを前提としています。これらの式は、ステップの分散が有限であるランダムウォーク、またはウィーナー過程の正確な外挿です。しかし、より一般的には、自然確率過程の場合、異なる期間の変動率の正確な関係はより複雑です。自然過程を外挿するために、レヴィ安定指数αを使用する人もいます。

${\displaystyle \sigma _{T}=T^{1/\alpha }\sigma .\,}$

α  =  2の場合、ウィーナー過程のスケーリング関係が得られますが、株式や指数などの金融活動においてはα  < 2 であると考える人もいます。これは、綿花の価格を調べ、 α = 1.7のレヴィ α 安定分布に従うことを発見したブノワ・マンデルブロによって明らかにされました。 （ニュー・サイエンティスト誌、1997年4月19日号参照）   

金融収益の変動性をモデル化および予測するための研究は数多く行われてきたが、そもそも変動性がどのように発生するのかを説明する理論モデルはほとんどない。

Roll (1984) は、ボラティリティは市場のミクロ構造の影響を受けることを示している。^{[ 3 ]} Glosten と Milgrom (1985) は、ボラティリティの少なくとも 1 つの原因は流動性供給プロセスによって説明できることを示している。マーケットメーカーが逆選択の可能性を推測すると、取引レンジを調整し、その結果、価格変動の幅が広がる。^{[ 4 ]}

2019年9月、JPモルガン・チェースはドナルド・トランプ米大統領 のツイートの影響を測定し、ボラティリティとcovfefeミームを組み合わせたVolfefe指数と名付けた。

ボラティリティが投資家にとって重要な理由は少なくとも8つあり、そのうちのいくつかは同じ特徴を別の言い方で表現したものであったり、互いに直接的な結果をもたらしたりするものである。

1. 投資価格の変動幅が大きければ大きいほど、感情的に不安を感じずにいるのは難しくなる。
2. 取引商品の価格変動は、ポートフォリオにおけるポジションサイズを決定する上で役立つ。
3. 証券の売却によるキャッシュフローが、特定の将来の日付に既知の固定負債を履行するために必要となる場合、ボラティリティが高いほど、資金不足に陥る可能性が高くなる。
4. 退職資金を貯蓄する際の収益率の変動性が高いと、最終的なポートフォリオ価値の分布が広がる。
5. 退職後の収益の変動性が高まると、引き出しがポートフォリオの価値に永続的に大きな影響を与える可能性がある。
6. 価格変動は、内部情報を持つ者にとって、資産を安く購入し、割高になったときに売却する機会となる。
7. ボラティリティはオプション価格に影響を与え、ブラック・ショールズモデルのパラメータの一つである。

ボラティリティは価格変動の方向ではなく、そのばらつきを測定する指標です。これは、標準偏差（または分散）を計算する際に、すべての差が二乗されるため、負の差と正の差が1つの値にまとめられるからです。ボラティリティが異なる2つの金融商品は、期待収益率が同じでも、ボラティリティが高い商品の方が、一定期間における価格変動幅が大きくなります。

例えば、ボラティリティの低い銘柄の場合、期待収益率（平均収益率）は7%、年間ボラティリティは5%とします。複利効果を無視すると、これはほとんどの場合（20回中19回、つまり2標準偏差ルールによる95%）、収益率が約-3%から+17%の範囲になることを示しています。一方、期待収益率が同じ7%でも年間ボラティリティが20%のボラティリティの高い銘柄の場合、ほとんどの場合（20回中19回、つまり95%）、収益率は約-33%から+47%の範囲になることを示しています。これらの推定値は正規分布を仮定していますが、実際には株価の変動は尖度が高く（裾が厚い）分布であることがわかっています。

ブラック・ショールズ方程式は予測可能な一定のボラティリティを仮定していますが、これは実際の市場では観察されません。より現実的なモデルとしては、エマニュエル・ダーマンとイラジ・カニ[ ^{5 ] 、}ブルーノ ・デュピールの局所ボラティリティ、ボラティリティが予測可能な頻度で新しいレベルにジャンプするポアソン過程、そしてますます人気が高まっているヘストンの確率的ボラティリティモデル^{[ 6 ]}などがあります。

多くの種類の資産は、高ボラティリティ期と低ボラティリティ期を経験することは周知の事実である。つまり、ある期間には価格が急速に上下する一方、他の期間にはほとんど変動しない。^{[ 7 ]}外国為替市場では、価格変動は季節的に不均一分散であり、その周期は1日と1週間である。^{[ 8 ] [ 9 ]}

価格が急落する時期（暴落）の後には、価格がさらに下落したり、異常なほど上昇したりすることがよくあります。同様に、価格が急上昇する時期（バブルの可能性）の後には、価格がさらに上昇したり、異常なほど下落したりすることがよくあります。

極端な変動は、ほとんどの場合「突然」起こるものではなく、通常よりも大きな変動や、特定の将来の出来事に関する既知の不確実性によって前兆が示されます。これは自己回帰条件付き異分散性と呼ばれます。こうした大きな変動が同じ方向なのか、それとも逆方向なのかを判断するのはより困難です。また、変動性の上昇が必ずしもさらなる上昇の前兆となるわけではなく、変動性が単に再び低下することもあります。

ボラティリティの尺度は、測定期間だけでなく、選択された時間分解能にも依存します。これは、短期トレーダーと長期トレーダー間の情報フローが非対称であるためです。その結果、高解像度で測定されたボラティリティには、低解像度のボラティリティではカバーされていない情報が含まれており、その逆もまた然りです。^{[ 10 ]}

一部の著者は、実現ボラティリティとインプライドボラティリティは過去と未来を見据えた指標であり、現在のボラティリティを反映していないと指摘している。この問題に対処するため、ボラティリティのアンサンブル指標という代替案が提案された。その指標の一つは、リターンの時系列ではなく、アンサンブルリターンの標準偏差として定義される。^{[ 11 ]}また、別の指標では、方向性の変化の規則的なシーケンスを瞬間ボラティリティの代理変数として考慮している。^{[ 9 ]}

上記の式を簡略化することで、概算値のみに基づいて年率変動率を推定することが可能です。例えば、現在の値が10,000付近にある市場価格指数が、平均して1日あたり約100ポイント変動していることが長期間続いているとします。これは、1日あたり1%の上昇または下降変動に相当します。

これを年率換算するには、「16の法則」、つまり16を掛けて年間変動率16%を求める方法を用いることができます。これは、16が256の平方根であり、256が1年間の取引日数（252日）にほぼ等しいという事実に基づいています。また、n個の独立変数（標準偏差が等しい）の合計の標準偏差は、個々の変数の標準偏差の√n倍になるという事実も利用しています。

しかし重要なのは、この方法では、年に一度未満しか発生しない、時折起こる市場価格の大きな変動を捉えることができない（あるいは、場合によっては過度に重視してしまう）ということである。

観測値の平均値は、市場指数の標準偏差の近似値にすぎません。市場指数の日々の変動が平均ゼロ、標準偏差σの正規分布に従うと仮定すると、観測値の期待値は√(2/ π ) σ = 0.798σとなります。結果として、この粗雑な手法では、実際の変動率が約20%過小評価されることになります。  

テイラー級数を考えてみましょう。

${\displaystyle \log(1+y)=y-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{3}}y^{3}-{\tfrac {1}{4}}y^{4}+\cdots }$

最初の2項だけを取り上げるならば、次のようになる。

${\displaystyle \mathrm {CAGR} \おおよそ \mathrm {AR} -{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}$

したがって、ボラティリティは数学的にCAGR（年平均成長率）の足かせ（「ボラティリティ税」として定式化される）を表します。実際には、ほとんどの金融資産は負の歪度と尖度を持つため、この式は過度に楽観的になりがちです。一部の人々は次の式を使用しています。

${\displaystyle \mathrm {CAGR} \about \mathrm {AR} -{\tfrac {1}{2}}k\sigma ^{2}}$

おおよその推定値として、kは経験的な係数（通常は5から10）です。

ほとんどのボラティリティ予測モデルは複雑な構成になっているにもかかわらず、批評家たちは、その予測力は単純な過去のボラティリティなどの単純な指標と似ていると主張している^{[ 13 ] [ 14 ]。}特に、異なるデータを使用してモデルを推定し、テストするサンプル外ではその傾向が顕著である^{[ 15 ]} 。他の研究でもこれに同意しているが、批評家たちはより複雑なモデルを正しく実装できていないと主張している^{[ 16 ]} 。一部の実務家やポートフォリオマネージャーは、ボラティリティ予測モデルを完全に無視したり、軽視したりしているようだ。例えば、ナシム・タレブは、 Journal of Portfolio Managementに掲載された論文の1つに「ボラティリティについて話すとき、私たちは何を話しているのかよく分かっていない」という有名なタイトルを付けている^{[ 17 ]} 。 同様に、エマニュエル・ダーマンは、理論に裏付けられていない膨大な数の経験的モデルに対する失望を表明している。^{[ 18 ]}彼は、「理論は、アルバート・アインシュタインが相対性理論で行ったように、私たちの周りの世界を支える隠れた原理を明らかにしようとする試みである」一方で、「モデルは比喩、つまりあるものを別のものに関連付けて説明する類推である」ことを忘れてはならないと主張している。機械学習と深層学習の手法は、実現ボラティリティ予測にも適用されている。^{[ 19 ]}

• ベータ値（金融）– 株式市場全体に対する株価の予想変動率 
• 分散– データの集合がどれだけばらついているかを定量化する統計的特性 
• 過剰変動の謎
• 金融経済学― お金の交換を扱う学問分野 
• IVX – 日中変動指数（VIX指数に類似） 
• ジュール・レニョー– フランスの証券ブローカーのアシスタント 
• 低ボラティリティ異常
• リスク– 何か悪いことが起こる可能性 
• VIX – シカゴ・オプション取引所ボラティリティ指数 
• ボラティリティ・スマイル– 金融オプションの価格設定において生じるインプライド・ボラティリティのパターン 
• 変動性税– 数理ファイナンス用語 
• 変動リスク
• ボラティリティベータ

• インプライドボラティリティとヒストリカルボラティリティのグラフ比較（動画）
• Diebold, Francis X.; Hickman, Andrew; Inoue, Atsushi & Schuermannm, Til (1996) 「1日ボラティリティをh日ボラティリティに変換する：sqrt(h)によるスケーリングは想像以上に悪い」
• 変動性に関する代替的な数学的概念の簡単な紹介
• 予測リターン密度からのボラティリティ推定例（標準密度関数を用いたGoogleの日次リターン分布に基づく）
• 研究論文には、リーマン・ブラザーズのライアン・レニッカーとデヴァプリヤ・マリックによるレポート「高ボラティリティと低ボラティリティの識別」からの抜粋が含まれています（2005年）。

• Bartram, Söhnke M.; Brown, Gregory W.; Stulz, Rene M. (2012年8月) 「なぜ米国株はより変動しやすいのか？」(PDF) . Journal of Finance . 67 (4): 1329– 1370. doi : 10.1111/j.1540-6261.2012.01749.x . S2CID 18587238 . SSRN 2257549 .  
• ナテンバーグ、シェルドン（2015）。オプションのボラティリティと価格設定：高度な取引戦略とテクニック（第2 版）。ニューヨーク。ISBN 978-0071818773。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)
• Fassas, Athanasios P.; Siriopoulos, Costas (2021年2月1日). 「インプライド・ボラティリティ指数 ― レビュー」 . The Quarterly Review of Economics and Finance . 79 : 303–329 . doi : 10.1016/j.qref.2020.07.004 . ISSN 1062-9769 .