オプション価格設定のためのモンテカルロ法

数理ファイナンスにおいて、モンテカルロ・オプション・モデルはモンテカルロ法^{[注 1]}を使用して、不確実性の要因が複数あるオプションや複雑な機能を持つオプションの価値を計算します。 ^[1]オプションの価格設定への最初の応用は、 1977 年にPhelim Boyleによって行われました(ヨーロピアン オプション)。1996 年に、M. Broadie と P. Glasserman は、モンテカルロ法を使用してアジアン オプションの価格を設定する方法を示しました。重要な進歩は、1996 年に Carriere が早期権利行使機能を持つオプションにモンテカルロ法を導入したことです。

標準的であるように、モンテカルロ評価はリスク中立評価に依存します。^[1]ここでオプションの価格は割引 期待値です。リスク中立性と合理的価格設定を参照してください。次に適用される手法は、(1)シミュレーションによって原資産(または原資産群)の多数の可能性のあるランダムな価格パスを生成し、(2) 次に各パスのオプションの関連する権利行使価値(つまり「ペイオフ」) を計算することです。(3) これらのペイオフは平均化され、(4) 今日に割引されます。この結果がオプションの価値です。^[2]

このアプローチは比較的単純ですが、複雑さが増す可能性があります。

• 株式オプションは、問題の原株式の価格という不確実性の要因を1つだけ考慮してモデル化できます。 ^{[2]ここで、}原資産 の価格は通常、一定のドリフトとボラティリティを伴う幾何ブラウン運動に従うようにモデル化されます。つまり、、ただし は正規分布からのランダムサンプリングによって求められます。詳細はブラック・ショールズ を参照してください。原資産のランダム過程は同じであるため、十分な価格経路があれば、ここでのヨーロピアン・オプションの価値はブラック・ショールズ の場合と同じになるはずです。ただし、より一般的には、シミュレーションはアジアン・オプションなどのパス依存のエキゾチック・デリバティブに使用されます。${\displaystyle \S_{t}\,}$${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$${\displaystyle dW_{t}\,}$

• 他の場合には、不確実性の原因は遠くにあるかもしれない。例えば、債券オプション^[3]の場合、原資産は債券であるが、不確実性の原因は年率金利（すなわち短期金利）である。この場合、ランダムに生成された各利回り曲線について、オプションの行使日に異なる債券価格が観測される。この債券価格は、オプションのペイオフを決定するための入力となる。同じアプローチがスワップション^[4]の評価にも使用され、原資産スワップの価値も変化する金利の関数となる。（これらのオプションは、上記のように格子ベースのモデルを使用して評価されるのが一般的であるが、CMOなどのパス依存型金利デリバティブの場合、シミュレーションが主に用いられる手法である。^[5]）金利をシミュレートするために使用されるモデルについては、短期金利モデルの項を参照のこと。「現実的な金利シミュレーションを作成する」多因子短期金利モデルが用いられることもある。^[6] ここでシミュレーションを適用するには、アナリストはまずモデルパラメータを「調整」して、モデルによって生成された債券価格が観測された市場価格に最も適合するようにする必要があります。

• モンテカルロ法では、不確実性の複合化が考慮されています。^[7]たとえば、原資産が外貨建ての場合、為替レートが不確実性のさらなる原因となります。原資産価格と為替レートを別々にシミュレートし、それを組み合わせて現地通貨での原資産の価値を決定する必要があります。このようなモデルにはすべて、リスクの根本的な原因間の相関関係も組み込まれています。コレスキー分解 § モンテカルロシミュレーションを参照してください。商品価格やインフレが原資産に与える影響など、さらに複雑な要素を導入することもできます。シミュレーションはこのような複雑な問題に対応できるため、経営陣の決定が複数の変数の関数であるリアルオプション^[1]の分析によく使用されます。

• シミュレーションは、バスケットオプションやレインボーオプションなど、複数の原資産の価値に応じてペイオフが決まるオプションを評価するためにも同様に使用できます。 ^[8]ここでも、資産収益間の相関が同様に組み込まれます。^[9]

• 必要に応じて、モンテカルロシミュレーションは、変化する分布を含むあらゆる種類の確率分布で使用できます。モデラーは、正規分布や対数正規分布のリターンに限定されません。^[10]たとえば、リアルオプションの評価のための Datar-Mathews 法を参照してください。さらに、原資産の確率過程は、ジャンプまたは平均回帰、またはその両方を示すように指定できます。この機能により、シミュレーションはエネルギーデリバティブに適用できる主要な評価方法になります。^{[11]さらに、一部のモデルでは、不確実性の原因の}統計的(およびその他の)パラメーターを(ランダムに) 変化させることさえできます。たとえば、確率的ボラティリティを組み込んだモデルでは、原資産のボラティリティは時間とともに変化します。Hestonモデルを参照してください。^[要出典]

最小二乗モンテカルロ法は、早期権利行使オプション（バミューダオプションやアメリカンオプション）を評価するための手法である。1996年にジャック・カリエールによって初めて導入された。^[12]

これは、次の 2 つの手順の反復に基づいています。

• まず、各タイムステップで各状態に値が再帰的に割り当てられる逆帰納法が実行される。値は、その状態と時間（-ステップ）でのオプション値の市場価格に対する最小二乗回帰として定義される。この回帰のオプション値は、行使可能性の値（市場価格に依存）と、その行使によって生じるタイムステップ値の値（プロセスの前のステップで定義）を加えた値として定義される。^[13]
• 第二に、すべての状態が各タイムステップで評価されると、タイムステップと状態を移動して、価格パスの各ステップでオプションの行使に関する最適な決定と、その結果得られる状態の値を計算することによってオプションの価値が計算されます。この2番目のステップは、複数の価格パスを使用して実行し、手順に確率的効果を追加することができます。^[12]

ご覧のとおり、モンテカルロ法は、複数の不確実性源を持つオプションや複雑な特徴を持つオプションの評価に特に役立ちます。これらのオプションは、単純なブラック・ショールズ型や格子ベースの計算では評価が困難です。この手法は、ルックバックオプションやアジアンオプションなどのパス依存構造の評価に広く使用されています^[10]。また、リアルオプション分析にも使用されています^{[1] [7] 。}さらに、上記のように、モデル作成者は想定される確率分布に制限されません。^[10]

しかし逆に言えば、オプションを評価するための分析的手法、あるいは（修正された）価格設定ツリー^[10]などの数値的手法が存在する場合、モンテカルロ法は通常、競争力を得るには遅すぎるでしょう。ある意味では、最後の手段です。^[10]詳細は、金融におけるモンテカルロ法を参照してください。より高速な計算能力があれば、この計算上の制約はそれほど問題にはなりません。^{[誰によると？ ]}

• 金融におけるモンテカルロ法
• 金融における準モンテカルロ法
• 確率モデル（保険）
• 確率的資産モデル

注記

出典

主な参考文献

• Boyle, Phelim P. (1977). 「オプション：モンテカルロ法」. Journal of Financial Economics . 4 (3): 323–338. doi :10.1016/0304-405x(77)90005-8 . 2012年6月28日閲覧。
• Broadie, M.; Glasserman, P. (1996). 「シミュレーションを使用した証券価格デリバティブの推定」(PDF) . Management Science . 42 (2): 269–285. CiteSeerX  10.1.1.196.1128 . doi :10.1287/mnsc.42.2.269 . 2012年6月28日閲覧。
• Longstaff, FA; Schwartz, ES (2001). 「シミュレーションによるアメリカンオプションの評価: 単純な最小二乗法」. Review of Financial Studies . 14 : 113–148. CiteSeerX  10.1.1.155.3462 . doi :10.1093/rfs/14.1.113 . 2012年6月28日閲覧。

文献

• Bruno Dupire (1998)。モンテカルロ：価格設定とリスク管理のための方法論とアプリケーション。リスク。
• ポール・グラッサーマン（2003年）。金融工学におけるモンテカルロ法。Springer - Verlag。ISBN 978-0-387-00451-8。
• ピーター・イェッケル(2002)。『モンテカルロ法による金融』。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 978-0-471-49741-7。
• ドン・L・マクレイシュ（2005年）。モンテカルロシミュレーションとファイナンス。ISBN 978-0-471-67778-9。
• クリスチャン・P・ロバート、ジョージ・カセラ（2004年）。モンテカルロ統計手法。ISBN 978-0-387-21239-5。

オンラインツール

• モンテカルロシミュレーション株価時系列と乱数ジェネレータ（分布の選択が可能）、Steven Whitney

議論文書および文書

• モンテカルロシミュレーション、ルイジアナ州立大学ドン・M・チャンス教授
• 単純なモンテカルロシミュレーションを使用した複雑なオプションの価格設定、Peter Fink (quantnotes.com で再掲載)
• 金融におけるモンテカルロシミュレーション、global-derivatives.com
• モンテカルロデリバティブ評価、続き、ティモシー L. クレービール、オクラホマ州立大学スティルウォーター校
• 金融におけるモンテカルロ法の応用：オプション価格設定、Y. Lai および J. Spanier、クレアモント大学院大学
• シミュレーションによるオプション価格設定、Bernt Arne Ødegaard、ノルウェー経営大学院
• モンテカルロ シミュレーションによるエキゾチック オプションの価格設定とヘッジ、Augusto Perilla、Diana Oancea、Michael Rockinger 教授、HEC ローザンヌ
• モンテカルロ法、riskglossary.com