ブラック・ショールズモデル

ブラック・ショールズ ・ モデル（英: Black– Scholes model ） ^[1]あるいはブラック・ショールズ・マートン・モデルは、デリバティブ投資商品を含む金融市場のダイナミクスを数学的にモデル化したものである。このモデルの放物型偏微分方程式はブラック・ショールズ方程式と呼ばれ、そこからブラック・ショールズ公式を導き出すことができる。この公式はヨーロピアン・スタイルのオプションの価格の理論的推定値を与え、証券のリスクとその期待収益（証券の期待収益をリスク中立金利に置き換える）を前提としてオプションの価格が一意であることを示す。この方程式とモデルは、経済学者のフィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズにちなんで名付けられている。この主題について最初に論文を書いた ロバート・C・マートンの名前も挙げられることがある。

このモデルの主な原則は、リスクを排除するために特定の方法で原資産を売買することでオプションをヘッジすることです。このタイプのヘッジは「継続的に修正されるデルタ ヘッジ」と呼ばれ、投資銀行やヘッジ ファンドが使用するようなより複雑なヘッジ戦略の基礎となります。

このモデルは、しばしば多少の調整はあるものの、オプション市場の参加者に広く使用されている。^{[2] : 751}このモデルの仮定は多くの方向に緩和され一般化されており、現在デリバティブの価格設定とリスク管理で使用されているモデルが多数ある。ブラック・ショールズ式に代表されるモデルの洞察は、実際の価格とは区別して、市場参加者に頻繁に使用されている。これらの洞察には、裁定なしの境界とリスク中立的な価格設定（継続的な改訂による）が含まれる。さらに、オプションの価格を支配する偏微分方程式であるブラック・ショールズ方程式は、明示的な式が不可能な場合に 数値的方法を使用して価格設定することを可能にする。

ブラック・ショールズ式には、市場で直接観察できないパラメータが 1 つだけあります。それは、原資産の平均将来ボラティリティですが、他のオプションの価格から見つけることはできます。オプション値 (プットまたはコール) はこのパラメータで増加するため、これを反転して「ボラティリティ サーフェス」を作成し、 OTC デリバティブなどの他のモデルを較正するために使用できます。

ルイ・バシュリエの1900年の論文^[3]はブラウン運動をデリバティブの価格設定に応用した最初の出版物であったが、彼の研究は長年ほとんど影響を与えず、現代の市場への応用には重要な制限があった。^[4] 1960年代にはケース・スプレンクル^[5]、ジェームズ・ボーネス^[6]、 ポール・サミュエルソン[ ^7]、そして当時サミュエルソンの博士課程の学生だったロバート・C・マートン^[8]がオプションの価格設定の理論に重要な改良を加えた。

フィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズは1968年に、ポートフォリオの動的な見直しにより証券の期待収益が除去されることを実証し、リスク中立の議論を生み出した。^{[9] [10]彼らは、上記の研究や}シーン・カスーフ、エドワード・O・ソープの研究など、市場研究者や実務家が以前に行った研究に基づいて考えをまとめた。ブラックとショールズはその後、この公式を市場に適用しようとしたが、取引におけるリスク管理の欠如により経済的損失を被った。1970年、彼らは学術環境に戻ることを決意した。 ^{[11] 3年間の努力の後、この公式は、公表した彼らに敬意を表して名付けられ、1973年に「オプションと企業負債の価格設定」と題する論文で、} Journal of Political Economyに発表された。^{[12] [13] [14]} ロバート・C・マートンは、オプション価格設定モデルの数学的理解を拡張した論文を初めて発表し、「ブラック・ショールズ・オプション価格設定モデル」という用語を作り出した。

この公式はオプション取引のブームを招き、シカゴ・オプション取引所や世界中の他のオプション市場の活動に数学的な正当性を与えた。 ^[15]

マートンとショールズは、その研究により1997年のノーベル経済学賞を受賞した。委員会は、リスク中立動的修正の発見を、オプションを原証券のリスクから切り離す画期的な発見として評価した。 [16] ブラックは1995年に亡くなったため受賞資格を失っていたが、スウェーデンアカデミーによって貢献者として言及されている。 [ ^{17 ]}

ブラック・ショールズ・モデルでは、市場は少なくとも 1 つのリスク資産 (通常は株式) と 1 つの無リスク資産 (通常はマネー マーケット、現金、または債券) で構成されていると想定しています。

資産については、次の仮定が立てられています (資産の名前に関連します)。

• 無リスク金利: 無リスク資産の収益率は一定であるため、無リスク金利と呼ばれます。
• ランダム ウォーク: 株価の瞬間的な対数リターンは、ドリフトを伴う無限小のランダム ウォークです。より正確には、株価は幾何ブラウン運動に従い、その運動のドリフトとボラティリティは一定であると仮定します。ドリフトとボラティリティが時間とともに変化する場合は、ボラティリティがランダムでない限り、適切に修正されたブラック ショールズ式を導き出すことができます。
• この株式は配当金を支払わない。^{[注 1]}

市場に関する前提は次のとおりです。

• 裁定取引の機会がない（つまり、リスクなしで利益を上げる方法がない）。
• リスクのない利率で、少額でも現金を借入および貸出できる能力。
• 株式を任意の量（端数も含む）で売買する機能（空売りを含む）。
• 上記の取引には手数料やコストは発生しません（つまり、摩擦のない市場です）。

これらの仮定のもとで、この市場でデリバティブ証券も取引されていると仮定する。この証券は、将来の特定の日に、その日までの株式の価値に応じて、一定のペイオフを持つことが規定されている。株価が将来どのように推移するかは不明であるが、デリバティブの価格は現時点で決定できる。ヨーロピアンコールオプションまたはプットオプションの特殊なケースでは、ブラックとショールズは「株式の買いポジションとオプションの売りポジションから成り、その価値が株式の価格に依存しないヘッジポジションを作成することが可能である」ことを示した。 ^[18]彼らの動的ヘッジ戦略は、オプションの価格を支配する偏微分方程式につながった。その解はブラック・ショールズ式で与えられる。

元のモデルのこれらの仮定のいくつかは、その後のモデルの拡張で削除されました。現代版では、動的金利（Merton、1976年）、^{[引用が必要] 、} 取引コストと税金（Ingersoll、1976年）、^{[引用が必要]}、配当支払いが考慮されています。^[19]

ブラック・ショールズ・モデルの分析で使用される表記法は、次のように定義されます（定義は主題ごとにグループ化されています）。

一般および市場関連:

${\displaystyle t}$年単位の時間です。通常は現在の年を表します。${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle r}$は、連続的に複利計算される年換算の リスクフリー金利（金利の強さとも呼ばれます）です。

資産関連:

${\displaystyle S(t)}$は、時刻tにおける原資産の価格であり、 とも表記されます。${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle \mu}$は、年換算したドリフト率です。${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sigma}$は株式の収益の標準偏差です。これは株式の対数価格プロセスの2次変動の平方根であり、株価の変動性の尺度です。

オプション関連:

${\displaystyle V(S,t)}$は、時刻tにおける原資産Sの関数としてのオプションの価格であり、具体的には、

${\displaystyle C(S,t)}$ヨーロピアンコールオプションの価格であり、

${\displaystyle P(S,t)}$ヨーロピアン・プット・オプションの価格です。

${\displaystyle T}$オプションの満了時刻です。

${\displaystyle \tau}$満期までの期間：。${\displaystyle \tau =Tt}$

${\displaystyle K}$オプションの権利行使価格、または行使価格とも呼ばれます。

${\displaystyle N(x)}$は標準正規 累積分布関数を表します。

${\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\, z.}$

${\displaystyle N'(x)}$は標準正規確率密度関数を表す:

${\displaystyle N'(x)={\frac {dN(x)}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

ブラック・ショールズ方程式は、オプションの価格を記述する放物型偏微分方程式です。ここでは、は原資産の価格、は時間です。 ${\displaystyle V(S,t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

この方程式の背後にある重要な金融洞察は、原資産と銀行口座資産 (現金) を売買して「リスクを排除」することでオプションを完全にヘッジできるということです。これは、ブラック・ショールズ式によって与えられるオプションの一意の価格があることを意味します (次のセクションを参照)。

ブラック・ショールズ式は、ヨーロピアン・ プット・オプションとコール・オプションの価格を計算します。この価格はブラック・ショールズ式と一致しています。これは、対応する終端条件と境界条件について式を解くことで式が得られるため、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&C(0,t)=0{\text{ すべての }}t\\&C(S,t)\rightarrow SK{\text{ }}S\rightarrow \infty \\&C(S,T)=\max\{SK,0\}\end{aligned}}}$

ブラック・ショールズ・パラメータの観点から見た、配当を支払わない原資産株式のコールオプションの価値は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}C(S_{t},t)&=N(d_{+})S_{t}-N(d_{-})Ke^{-r(Tt)}\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {Tt}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(Tt)\right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {Tt}}\\\end{aligned}}}$

割引率によるプット・コール・パリティに基づく対応するプット オプションの価格は次のとおりです。 ${\displaystyle e^{-r(Tt)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(S_{t},t)&=Ke^{-r(Tt)}-S_{t}+C(S_{t},t)\\&=N(-d_{-})Ke^{-r(Tt)}-N(-d_{+})S_{t}\end{aligned}}\,}$

補助変数を導入することで、式を簡略化し、より便利な形式に再定式化することができます (これはBlack '76 式の特殊なケースです)。

${\displaystyle {\begin{aligned}C(F,\tau )&=D\left[N(d_{+})FN(d_{-})K\right]\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\ln \left({\frac {F}{K}}\right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}}$

どこ：

${\displaystyle D=e^{-r\tau}}$割引率

${\displaystyle F=e^{r\tau }S={\frac {S}{D}}}$原資産の先物価格であり、${\displaystyle S=DF}$

プット・コール・パリティは次のように表現されます。

${\displaystyle CP=D(FK)=S-DK}$

プットオプションの価格は次のとおりです。

${\displaystyle P(F,\tau )=D\left[N(-d_{-})KN(-d_{+})F\right]}$

ブラック・ショールズ公式には直感的な解釈が可能ですが、主な微妙な点は、その解釈と、なぜ2つの異なる項が存在するのかということです。^[20]${\displaystyle d_{\pm}}$

この式は、まずコール オプションを 2 つのバイナリ オプションの差、つまりアセットオア ナッシング コールからキャッシュオア ナッシング コールを引いたもの(アセット オア ナッシング コールをロング、キャッシュ オア ナッシング コールをショート) に分解することで解釈できます。コール オプションは満期時に資産と現金を交換しますが、アセット オア ナッシング コールは資産のみ (現金との交換なし)、キャッシュ オア ナッシング コールは現金のみ (資産との交換なし) をもたらします。ブラック ショールズ式は 2 つの項の差であり、この 2 つの項はバイナリ コール オプションの値に等しくなります。これらのバイナリ オプションは、バニラ コール オプションよりも取引頻度は低いですが、分析は簡単です。

したがって、式は次のようになります。

${\displaystyle C=D\left[N(d_{+})FN(d_{-})K\right]}$

次のように分割されます。

${\displaystyle C=DN(d_{+})F-DN(d_{-})K,}$

ここで、 は資産または無のコールの現在価値であり、 は現金または無のコールの現在価値です。D係数は割引用です。満期日は未来であり、これを除去すると現在価値が将来価値 (満期時の価値)に変わるためです。したがって、 は資産または無のコールの将来価値であり、は現金または無のコールの将来価値です。リスク中立の用語では、これらはリスク中立尺度における資産の期待値と現金の期待値 です。${\displaystyle DN(d_{+})F}$${\displaystyle DN(d_{-})K}$${\displaystyle N(d_{+})~F}$${\displaystyle N(d_{-})~K}$

これらの用語の素朴でやや誤った解釈は、 はオプションがインザマネーで満期を迎える確率に、満期日Fにおける原資産の価値を乗じたものであり、 はオプションがインザマネーで満期を迎える確率に、満期日Kにおける現金の価値を乗じたものである、というものです。この解釈は誤りです。なぜなら、両方のバイナリがインザマネーで満期を迎えるか、両方ともアウトオブザマネーで満期を迎えるか (現金が資産と交換されるか、されないかのいずれか) のいずれかであり、確率とが等しくないからです。実際、はマネー性の尺度(標準偏差) として、また、それぞれの数値におけるITM で満期を迎える確率 (マネー性のパーセント)として解釈できます。これについては以下で説明します。簡単に言えば、現金オプションの解釈は正しく、現金の価値は原資産の動きとは無関係であり、したがって「確率×価値」の単純な積として解釈できるが、はより複雑であり、満期時に現金で満期となる確率と満期時の資産の価値は独立していない。^[20]より正確には、満期時の資産の価値は現金では変動するが、資産自体（資産の固定量）では一定であり、したがって、numéraireを現金ではなく資産に変更すると、これらの量は独立している。 ${\displaystyle N(d_{+})F}$${\displaystyle N(d_{+})}$${\displaystyle N(d_{-})K}$${\displaystyle N(d_{-}),}$${\displaystyle N(d_{+})}$${\displaystyle N(d_{-})}$${\displaystyle d_{\pm}}$${\displaystyle N(d_{\pm })}$${\displaystyle N(d_{-})K}$${\displaystyle N(d_{+})F}$

フォワード F の代わりにスポットS を使用すると、項 の代わりに があり、これはドリフト係数として解釈できます (適切なニューメレールに対するリスク中立的な尺度で)。標準化されたマネーネスではなくマネーネスにd ₋を使用する (言い換えれば、係数 の理由) のは、対数正規分布の中央値と平均値の差によるものです。これは、幾何ブラウン運動 に適用された伊藤の補題と同じ係数です。さらに、素朴な解釈が間違っていることを示す別の方法は、式を に置き換えると、アウトオブザマネーのコールオプションに対して負の値が得られることです。 ^{[20] : 6}${\displaystyle d_{\pm}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$${\textstyle \left(r\pm {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau ,}$${\textstyle m={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\ln \left({\frac {F}{K}}\right)}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$${\displaystyle N(d_{+})}$${\displaystyle N(d_{-})}$

詳細には、これらの項はそれぞれ、等価指数マルチンゲール確率尺度（numéraire=株式）と等価マルチンゲール確率尺度（numéraire=リスクフリー資産）の下でオプションがインザマネーで満期を迎える確率である。 ^[20]株価のリスク中立確率密度は ${\displaystyle N(d_{+}),N(d_{-})}$${\displaystyle S_{T}\in (0,\infty )}$

${\displaystyle p(S,T)={\frac {N^{\prime }[d_{-}(S_{T})]}{S_{T}\sigma {\sqrt {T}}}}}$

ここで、は上記のように定義されます。 ${\displaystyle d_{-}=d_{-}(K)}$

具体的には、資産ドリフトが無リスク金利であると仮定した場合に、コールが行使される確率です。しかし、は単純な確率の解釈には向きません。満期時の資産価格が行使価格を上回っている場合、無リスク金利を使用した満期時の予想資産価格の現在価値として正しく解釈されます。^{[21]関連する議論とグラフ表示については、}リアルオプション評価のためのデーター・マシューズ法を参照してください。 ${\displaystyle N(d_{-})}$${\displaystyle N(d_{+})}$${\displaystyle SN(d_{+})}$

同等のマルチンゲール確率測度は、リスク中立確率測度とも呼ばれます。これらは両方とも測度論的な意味での確率であり、どちらも実際の確率測度でインザマネーで満期を迎える真の確率ではないことに注意してください。実際の（「物理的な」）確率測度で確率を計算するには、追加の情報、つまり物理的な測度のドリフト項、または同等のリスクの市場価格が必要です。

ブラック・ショールズ偏微分方程式を解くための標準的な導出は、ブラック・ショールズ方程式の記事に記載されています。

ファインマン・カックの公式によれば、このタイプの偏微分方程式の解は、適切に割引されると、実際にはマルチンゲールとなる。したがって、オプション価格は、オプションの割引ペイオフの期待値である。この期待値を介してオプション価格を計算することは、リスク中立アプローチであり、偏微分方程式の知識がなくても実行できる。^{[20]オプションのペイオフの}期待値は、現実世界の確率測度ではなく、現実世界の測度とは異なる人工的なリスク中立測度に基づいて行われることに注意する。基礎となるロジックについては、合理的価格設定のセクション「リスク中立評価」および数理ファイナンスのセクション「デリバティブ価格設定：Qの世界」を参照。詳細については、再びハルを参照。^{[22] ：307–309}

「ギリシャ語」は、他のパラメータを固定したまま、パラメータ値の変化に対するデリバティブ商品または金融ポートフォリオの価値の感度を測定します。これらは、パラメータ値に関する価格の偏導関数です。ギリシャ語の 1 つである「ガンマ」(およびここに記載されていない他のギリシャ語) は、別のギリシャ語である「デルタ」の偏導関数です。

ギリシャ文字は金融の数学的理論だけでなく、積極的に取引を行う人々にとっても重要です。金融機関は通常、ギリシャ文字ごとにトレーダーが超えてはならない（リスク）限度値を設定します。^[23]

デルタは最も重要なギリシャ語です。通常、これが最大のリスクをもたらすからです。市場の方向性を推測しておらず、ブラック・ショールズが定義したデルタ中立ヘッジ手法に従っていない場合、多くのトレーダーは一日の終わりにデルタをゼロにします。トレーダーがポートフォリオに効果的なデルタヘッジを確立しようとする場合、トレーダーはポートフォリオのガンマを中立化することも試みます。これにより、ヘッジが基礎となる価格変動のより広い範囲で効果的になることが保証されます。

ブラック・ショールズのギリシャ関数は、以下に閉じた形で示されています。これらは、ブラック・ショールズの公式を 微分することで得られます。

式から、ガンマはコールとプットで同じ値であり、ベガもコールとプット オプションで同じ値であることが明らかであることに注意してください。これは、プットとコールの差がフォワードであり、 Sに関して線形でσとは無関係であるため (したがって、フォワードのガンマとベガはゼロです)、プット コール パリティから直接確認できます。N' は標準正規確率密度関数です。

実際には、一部の感応度は、パラメータの起こり得る変化の規模に合わせて、通常、縮小された値で示されます。たとえば、ローは 10,000 (1 ベーシス ポイントのレート変化)、ベガは 100 (1 ボラティリティ ポイントの変化)、シータは 365 または 252 (暦日または年間取引日に基づく 1 日の減衰) で割って報告されることがよくあります。

「ベガ」はギリシャ語のアルファベットの文字ではないことに注意してください。この名前は、ギリシャ語の文字nu ( 、ν、ν など とも表記される) を V と誤読したことに由来しています。${\displaystyle \nu }$

上記のモデルは、変動する（ただし決定論的な）レートとボラティリティに拡張できます。このモデルは、配当を支払う金融商品のヨーロピアン オプションを評価するためにも使用できます。この場合、配当が株価の既知の割合​​であれば、クローズド フォーム ソリューションを利用できます。アメリカン オプションや既知の現金配当を支払う株式のオプション（短期的には、比例配当よりも現実的）は評価がより難しく、ソリューション テクニックの選択肢が利用できます（たとえば、格子やグリッド）。

指数オプションの場合、配当金は継続的に支払われ、配当額は指数の水準に比例するという単純化された仮定を立てるのが妥当です。

期間中に支払われる配当金は次のようにモデル化されます。 ${\displaystyle [t,t+dt]}$

${\displaystyle qS_{t}\,dt}$

ある定数（配当利回り）に対して。 ${\displaystyle q}$

この定式化によれば、ブラック・ショールズ・モデルによって示される裁定なしの価格は次のように示されます。

${\displaystyle C(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

そして

${\displaystyle P(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]\,}$

今どこに

${\displaystyle F=S_{t}e^{(r-q)(T-t)}\,}$

は、以下の条件で発生する修正先物価格です。 ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$

そして

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$^[24 ]

ブラック・ショールズ・フレームワークを、離散比例配当を支払う金融商品のオプションに拡張することも可能です。これは、オプションが単一の株式に対して実行される場合に便利です。

典型的なモデルでは、株価の一部が事前に決められた時期に支払われると仮定します。株価は次のようにモデル化されます。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$

${\displaystyle S_{t}=S_{0}(1-\delta )^{n(t)}e^{ut+\sigma W_{t}}}$

ここで、 は時間 までに支払われた配当金の数です。 ${\displaystyle n(t)}$${\displaystyle t}$

このような株式のコール オプションの価格は次のようになります。

${\displaystyle C(S_{0},T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

今どこに

${\displaystyle F=S_{0}(1-\delta )^{n(T)}e^{rT}\,}$

配当を支払う株式の先物価格です。

アメリカン オプションの価格を見つける問題は、オプションを実行する時間を見つける最適停止問題に関連しています。アメリカン オプションは有効期限前であればいつでも実行できるため、ブラック ショールズ方程式は次の形式の変分不等式になります。

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV\leq 0}$^[25]

を伴い、は株価でのペイオフ、 は終了条件を表します。 ${\displaystyle V(S,t)\geq H(S)}$${\displaystyle H(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V(S,T)=H(S)}$

一般にこの不等式には閉じた形の解はないが、配当のないアメリカンコールはヨーロピアンコールと等しく、ロール・ゲスケ・ホエリー法は配当が1つのアメリカンコールの解を提供する。^{[26] [27]}ブラックの近似も参照。

バローネ・アデシとホエリー^[28]は、さらなる近似式である。ここでは、確率微分方程式（あらゆるデリバティブの価値に有効）が、ヨーロピアンオプションの価値と早期行使プレミアムの2つの要素に分割される。いくつかの仮定の下で、後者の解を近似する2次方程式が得られる。この解は、早期行使と満期保有の間で無差別となる臨界値、を見つけることを含む。 ^{[29] [30]}${\displaystyle s*}$

Bjerksund と Stensland ^[31]は、トリガー価格に対応する行使戦略に基づく近似値を提示している。ここでは、原資産価格がトリガー価格以上であれば行使するのが最適であり、その値はに等しくなければならない。そうでない場合、オプションは「(i) 欧州のアップアンドアウトコールオプション…および (ii) 満期日前にオプションがノックアウトされた場合にノックアウト日に受け取るリベート」に要約される。この式は、プットコールパリティを使ってプットオプションの評価用に簡単に修正できる。この近似値は計算コストが低く、高速であり、この近似値は Barone-Adesi と Whaley よりも長期オプションの価格設定において正確である可能性があることを示す証拠がある。^[32]${\displaystyle S-X}$

アメリカのプットオプションに対する一般的な解析解はないが、永久オプション、つまりオプションが期限切れにならないオプション（すなわち、）の場合について、そのような式を導くことは可能である。^[33]この場合、オプションの時間的減衰はゼロに等しく、ブラック・ショールズ偏微分方程式は常微分方程式になる。 を行使下限値とし、これより下ではオプションを行使するのが最適であるとする。境界条件は以下のとおりである。 常微分方程式の解は、任意の 2 つの線形独立解の線形結合である。について、この解を の常微分方程式に代入すると、次のようになる。項を整理すると、次のようになる。二次方程式の公式を使用すると、 の解は次のようになる。境界条件によりプットの値に上限と下限の有限境界が含まれるため、永久プットの有限解を得るためには、 を設定する必要があり、解 となる。最初の境界条件から、次のことがわかります。したがって、永久プットの価値は次のようになります。2番目の境界条件により、下限行使境界の位置が決まります。結論として、 の場合、永久アメリカン プット オプションの価値は次のようになります。${\displaystyle T\rightarrow \infty }$$${\displaystyle {1 \over {2}}\sigma ^{2}S^{2}{d^{2}V \over {dS^{2}}}+(r-q)S{dV \over {dS}}-rV=0}$$${\displaystyle S_{-}}$$${\displaystyle V(S_{-})=K-S_{-},\quad V_{S}(S_{-})=-1,\quad V(S)\leq K}$$$${\displaystyle V(S)=A_{1}S^{\lambda _{1}}+A_{2}S^{\lambda _{2}}}$$${\displaystyle S_{-}\leq S}$${\displaystyle i={1,2}}$$${\displaystyle \left[{1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}(\lambda _{i}-1)+(r-q)\lambda _{i}-r\right]S^{\lambda _{i}}=0}$$$${\displaystyle {1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}^{2}+\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)\lambda _{i}-r=0}$$${\displaystyle \lambda _{i}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)+{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\\\lambda _{2}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)-{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle A_{1}=0}$${\displaystyle V(S)=A_{2}S^{\lambda _{2}}}$$${\displaystyle V(S_{-})=A_{2}(S_{-})^{\lambda _{2}}=K-S_{-}\implies A_{2}={K-S_{-} \over {(S_{-})^{\lambda _{2}}}}}$$$${\displaystyle V(S)=(K-S_{-})\left({S \over {S_{-}}}\right)^{\lambda _{2}}}$$$${\displaystyle V_{S}(S_{-})=\lambda _{2}{K-S_{-} \over {S_{-}}}=-1\implies S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$$${\textstyle S\geq S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$$${\displaystyle V(S)={K \over {1-\lambda _{2}}}\left({\lambda _{2}-1 \over {\lambda _{2}}}\right)^{\lambda _{2}}\left({S \over {K}}\right)^{\lambda _{2}}}$$

ヘヴィサイド関数を境界条件としてブラック・ショールズ微分方程式を解くことで、事前に定義された行使価格より1単位高い価格で支払い、それより低い価格では支払いを行わないオプションの価格設定が得られる。^[34]

実際、バニラ コール オプション (またはプット オプション) の価格に関するブラック ショールズ式は、コール オプションをアセット オア ナッシング コール オプションからキャッシュ オア ナッシング コール オプションを差し引いたものに分解することで解釈できます。プットについても同様です。バイナリ オプションの方が分析が容易で、ブラック ショールズ式の 2 つの項に対応します。

満期時にスポット価格が行使価格を上回っている場合、1 単位の現金が支払われます。その値は次のように求められます。

${\displaystyle C=e^{-r(T-t)}N(d_{2}).\,}$

満期時にスポット価格が行使価格を下回っている場合、1 単位の現金が支払われます。その値は次のように求められます。

${\displaystyle P=e^{-r(T-t)}N(-d_{2}).\,}$

満期時にスポット価格が行使価格を上回っている場合、資産 1 単位が支払われます。その値は次のように求められます。

${\displaystyle C=Se^{-q(T-t)}N(d_{1}).\,}$

満期時にスポット価格が行使価格を下回っている場合、資産 1 単位が支払われます。その値は次のように求められます。

${\displaystyle P=Se^{-q(T-t)}N(-d_{1}),}$

FOR/DOM 為替レートをSで表すと(つまり、1 単位の外貨は S 単位の国内通貨に相当)、満期時のスポットが権利行使価格より上または下の場合に 1 単位の国内通貨を支払うことは、それぞれキャッシュまたはゼロのコールおよびプットとまったく同じであることがわかります。同様に、満期時のスポットが権利行使価格より上または下の場合に 1 単位の外貨を支払うことは、それぞれ資産またはゼロのコールおよびプットとまったく同じです。したがって、外国金利、国内金利、その他を上記と同様に取ると、次の結果が得られます。 ${\displaystyle r_{f}}$${\displaystyle r_{d}}$

デジタルコール（コール FOR/プット DOM）の場合、現在価値として得られた国内通貨の 1 単位が支払われます。

${\displaystyle C=e^{-r_{d}T}N(d_{2})\,}$

デジタル プット (プット FOR/コール DOM) の場合、現在価値として得られた国内通貨 1 単位が支払われます。

${\displaystyle P=e^{-r_{d}T}N(-d_{2})\,}$

デジタルコール（コール FOR/プット DOM）の場合、現在価値として得られた外貨の 1 単位が支払われます。

${\displaystyle C=Se^{-r_{f}T}N(d_{1})\,}$

デジタル プット (プット FOR/コール DOM) の場合、現在価値として得られた外貨の 1 単位が支払われます。

${\displaystyle P=Se^{-r_{f}T}N(-d_{1})\,}$

標準的なブラック・ショールズ・モデルでは、リスク中立の世界におけるバイナリー・オプションのプレミアムは、期待値 = イン・ザ・マネーになる確率 * ユニット、現在価値に割り引かれた値として解釈できます。ブラック・ショールズ・モデルは分布の対称性に依存し、資産の分布の歪度を無視します。マーケットメーカーは、すべての権利行使価格にわたって原資産の単一の標準偏差を使用する代わりに、ボラティリティが権利行使価格に依存する可変の標準偏差を組み込むことで、このような歪度を調整します。これにより、ボラティリティの歪度が考慮に入れられます。歪度が重要なのは、通常のオプションよりもバイナリーにかなり大きな影響を与えるためです。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma (K)}$

バイナリーコールオプションは、満期日が長い場合、2つのバニラオプションを使用したタイトなコールスプレッドに似ています。バイナリーキャッシュオアナッシングオプションCの価値を、ストライクKで、バニラヨーロピアンコールを基準として、極小のタイトスプレッドとしてモデル化することができます。 ^{[35] [36]}${\displaystyle C_{v}}$

${\displaystyle C=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {C_{v}(K-\epsilon )-C_{v}(K)}{\epsilon }}}$

したがって、バイナリ コールの価値は、バニラ コールの価格を行使価格に対して 微分したものの負になります。

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}}{dK}}}$

ボラティリティの偏りを考慮すると、は次のような関数になります。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle K}$

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}(K,\sigma (K))}{dK}}=-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}-{\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial K}}}$

最初の項は、スキューを無視したバイナリ オプションのプレミアムに等しくなります。

${\displaystyle -{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}=-{\frac {\partial (SN(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2}))}{\partial K}}=e^{-r(T-t)}N(d_{2})=C_{\text{no skew}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}}$バニラコールのベガです。 「スキュースロープ」または単に「スキュー」と呼ばれることもあります。スキューが通常負の場合、スキューを考慮するとバイナリコールの値は高くなります。 ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial K}}}$

${\displaystyle C=C_{\text{no skew}}-{\text{Vega}}_{v}\cdot {\text{Skew}}}$

バイナリ コールは、ストライクに関するバニラ コールの数学的導関数であるため、バイナリ コールの価格はバニラ コールのデルタと同じ形状になり、バイナリ コールのデルタはバニラ コールのガンマと同じ形状になります。

ブラック・ショールズ・モデルの仮定は、経験的にすべて妥当というわけではない。このモデルは現実の有用な近似値として広く採用されているが、適切な適用にはその限界を理解する必要がある。盲目的にモデルに従うと、ユーザーは予期せぬリスクにさらされることになる。^{[37] [信頼できない情報源? ]}最も重要な限界には次のようなものがある。

• 極端な動きを過小評価することでテールリスクが生じるが、これはアウト・オブ・ザ・マネーのオプションでヘッジできる。
• 即時かつコストのかからない取引を前提としているため、ヘッジが困難な流動性リスクが生じる。
• 定常プロセスの仮定によりボラティリティリスクが生じるが、これはボラティリティヘッジによってヘッジできる。
• 継続的な時間と継続的な取引を前提としているため、ギャップリスクが生じますが、これはガンマヘッジでヘッジできます。
• このモデルは、ディープ・アウト・オブ・ザ・マネーのオプションを過小評価し、ディープ・イン・ザ・マネーのオプションを過大評価する傾向がある。^[38]

つまり、ブラック・ショールズ・モデルではデルタ・ヘッジだけでオプションを完璧にヘッジできますが、実際には他にも多くのリスク源があります。

ブラック・ショールズ・モデルを使用した結果は、モデルの仮定を単純化しているため、現実世界の価格とは異なります。1 つの大きな制限は、現実には証券価格が厳密な定常対数正規過程に従わず、リスクフリー金利も実際には不明 (時間経過に伴って一定ではない) であることです。分散は一定ではないことが観察されており、GARCHなどのモデルを使用してボラティリティの変化をモデル化しています。経験的モデルとブラック・ショールズ・モデルの価格設定の不一致は、極端な価格変動に対応する、大幅にアウト オブ ザ マネーになっているオプションで長い間観察されてきました。このようなイベントは、リターンが対数正規分布している場合は非常にまれですが、実際にははるかに頻繁に観察されます。

それにもかかわらず、ブラック・ショールズ価格設定は実践で広く使用されている。^{[2] : 751  [39]}その理由は以下の通りである。

• 計算が簡単
• 特に、重要なポイントを通過するときに価格が動く方向を分析するときに便利な近似値です。
• より洗練されたモデルのための強固な基盤
• モデルの元の出力である価格を入力として使用し、他の変数の 1 つを解くことができるため、可逆的です。このように計算されたインプライド ボラティリティは、オプション価格の見積もりによく使用されます (つまり、見積もりの​​慣例)。

最初のポイントは明らかに有用です。他のポイントについてはさらに議論することができます。

有用な近似値: ボラティリティは一定ではありませんが、モデルの結果は、リスクを最小限に抑えるために適切な割合でヘッジを設定する際に役立ちます。結果が完全に正確でない場合でも、調整を加えることができる最初の近似値として役立ちます。

より洗練されたモデルの基礎: ブラック・ショールズ・モデルは、その欠陥の一部に対処するために調整できるという点で堅牢です。一部のパラメータ (ボラティリティや金利など) を定数と見なすのではなく、変数と見なしてリスクの追加源と見なします。これはギリシャ語(これらのパラメータの変化に対するオプション価値の変化、または同等にこれらの変数に関する偏導関数) に反映されており、これらのギリシャ語をヘッジすることで、これらのパラメータの非定数の性質によって引き起こされるリスクを軽減します。ただし、テールリスクと流動性リスクなど、その他の欠陥はモデルを修正しても軽減できないため、主にこれらのリスクを最小限に抑えることとストレステストによってモデルの外部で管理されます。

明示的モデリング: この機能は、事前にボラティリティを仮定してそこから価格を計算するのではなく、モデルを使用してボラティリティを解決し、特定の価格、デュレーション、および権利行使価格でのオプションの暗示的ボラティリティを得ることができることを意味します。 特定のデュレーションと行使価格のセットでボラティリティを解くと、暗示的ボラティリティ面を構築できます。 ブラック・ショールズ・モデルのこの応用では、価格領域からボラティリティ領域への座標変換が得られます。 したがって、オプション価格をユニットあたりのドルで見積もるのではなく (これは、行使価格、デュレーション、およびクーポン頻度間で比較するのが困難です)、暗示的ボラティリティで見積もることができ、オプション市場でのボラティリティの取引につながります。

ブラック・ショールズ・モデルの魅力的な特徴の 1 つは、ボラティリティ以外のモデル内のパラメータ (満期までの期間、権利行使価格、無リスク金利、現在の原資産価格) が明確に観察可能であることです。他のすべての条件が同じであれば、オプションの理論値はインプライド・ボラティリティの 単調増加関数になります。

異なる権利行使価格と満期日を持つ取引オプションの暗示的ボラティリティを計算することで、ブラック・ショールズ・モデルをテストできます。ブラック・ショールズ・モデルが成り立つ場合、特定の株式の暗示的ボラティリティは、すべての権利行使価格と満期日で同じになります。実際には、ボラティリティ表面(権利行使価格と満期日に対する暗示的ボラティリティの 3D グラフ) は平坦ではありません。

特定の満期におけるインプライド ボラティリティ カーブの典型的な形状は、原資産によって異なります。株式は曲線が歪んでいる傾向があり、アット ザ マネーと比較すると、インプライド ボラティリティは低い行使価格ではかなり高く、高い行使価格ではわずかに低くなります。通貨は曲線がより対称的になる傾向があり、アット ザ マネーでインプライド ボラティリティが最も低く、両サイドでボラティリティが高くなります。コモディティは株式とは逆の挙動を示すことが多く、行使価格が高いほどインプライド ボラティリティが高くなります。

ボラティリティ スマイルの存在 (およびブラック ショールズ モデルのその他のすべての仮定の違反) にもかかわらず、ブラック ショールズ PDE とブラック ショールズ式は、実際には依然として広く使用されています。典型的なアプローチは、ボラティリティ サーフェスを市場に関する事実と見なし、そこからの暗示的ボラティリティをブラック ショールズ評価モデルで使用することです。これは、「正しい価格を得るために間違った式で間違った数値を使用する」と説明されています。^[40]このアプローチでは、ヘッジ比率 (ギリシャ値) にも使用可能な値が得られます。より高度なモデルが使用される場合でも、トレーダーはブラック ショールズ暗示的ボラティリティの観点から考えることを好みます。これは、異なる満期、行使価格などのオプションを評価および比較できるためです。ここで開発されたさまざまな代替アプローチに関する議論については、金融経済学 § 課題と批判 を参照してください。

ブラック・ショールズモデルは、債券証券にはプル・トゥ・パー現象のため直接適用できない。債券が満期を迎えると、債券に関係する価格がすべて判明し、それによって債券のボラティリティが低下するが、単純なブラック・ショールズモデルではこのプロセスが反映されない。ブラック・モデルに始まるブラック・ショールズモデルの多数の拡張が、この現象に対処するために使用されてきた。^[41]債券オプション§評価を参照。

実際には、金利は一定ではありません。金利は期間（クーポン頻度）によって異なり、ブラック・ショールズ式で使用する適切な金利を選択するために補間できる金利曲線が生まれます。もう 1 つの考慮事項は、金利が時間とともに変化するということです。この変動は、特に長期オプションの価格に大きく影響する可能性があります。これは、金利と債券価格の関係が反比例しているのと同じです。

導出に内在するとおり、ショート株式ポジションを取ることは通常、コストがかからないわけではない。同様に、ロング株式ポジションを少額の手数料で貸し出すことも可能である。いずれの場合も、ショート株式借入コストとロング株式貸出収益の間に明らかな非対称性がなければ、これはブラック・ショールズ評価の目的で継続的な配当として扱うことができる。^[要出典]

エスペン・ガーダー・ハウグとナシム・ニコラス・タレブは、ブラック・ショールズ・モデルは、既存の広く使われているモデルを「リスク」ではなく、事実上不可能な「動的ヘッジ」という観点から作り直し、主流の新古典派経済理論とより適合するようにしただけだと主張している。^[42]また、彼らは、1964年にボネスがすでにブラック・ショールズ・コールオプションの価格設定方程式と「実際に同一」の式を発表していたと主張している。^[43] エドワード・ソープも、1967年にブラック・ショールズ式を推測したが、投資家のために金儲けをするためにそれを秘密にしていたと主張している。^[44] エマニュエル・ダーマンとタレブも動的ヘッジを批判し、ブラックとショールズ以前にも多くの研究者が同様のモデルを発表していたと述べている。^[45]これに対して、ポール・ウィルモットはモデルを擁護した。^{[39] [46]}

ウォーレン・バフェットは2008年にバークシャー・ハサウェイの株主に宛てた手紙の中で次のように書いている。「ブラック・ショールズ式は、オプションのドル負債を算定するための標準ではあるものの、長期的価値を評価すると奇妙な結果を生み出すと私は考えている。ブラック・ショールズ式は金融の聖典の地位に近づいている。しかし、この式を長期間に適用すると、不合理な結果を生み出す可能性がある。公平に言えば、ブラックとショールズはこの点をよく理解していたに違いない。しかし、彼らの熱心な信奉者は、2人が最初にこの式を発表したときに付けた警告を無視しているのかもしれない。」^[47]

2012年に『未知を求めて: 世界を変えた17の方程式』という本を著したイギリスの数学者イアン・スチュワート^{[48] [49]}は、ブラック・ショールズ方程式が「大規模な経済成長を支え」、2007年までに「国際金融システムは年間1000兆ドル相当のデリバティブを取引していた」と述べた。彼は、ブラック・ショールズ方程式は「取引の数学的正当化」であり、したがって「金融の無責任、政治的無能、歪んだインセンティブ、緩い規制の濃厚な混合物の1つの材料」であり、2007年から2008年の金融危機の一因となったと述べた。 [ ^50]彼は「方程式自体が本当の問題ではなく」、金融業界でのその乱用であると明言した。^[50]

ブラック・ショールズ・モデルは、原資産価格が正であると仮定している。原資産価格が負の場合、モデルは直接的には機能しない。^{[51] [52]}原資産価格が負になる可能性があるオプションを扱う場合、実務家はバシュリエ・モデル^{[52] [53]}などの別のモデルを使用するか、単に価格に一定のオフセットを追加する場合がある。

• 二項オプションモデル、オプション価格を計算するための離散数値法
• ブラックモデル、ブラック・ショールズ・オプション価格モデルの変形
• ブラックショールズ、金融アート作品
• 金融市場のブラウン運動モデル
• リアルオプション評価のためのDatar-Mathews法
• 金融数学（関連記事の一覧が含まれています）
• リアルオプション評価のためのファジーペイオフ法
• 熱方程式 はブラック・ショールズ偏微分方程式に変換できる。
• ジャンプ拡散
• モンテカルロオプションモデル、複雑な機能を持つオプションの評価にシミュレーションを使用する
• リアルオプション分析
• 確率的ボラティリティ

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• ソープ編「あらゆる市場に対応する男」ランダムハウス、2017年。ISBN 978-1-4000-6796-1 

• Haug, E. G (2007)。「オプションの価格設定とヘッジの理論から実践へ」。デリバティブ：モデルに基づくモデル。Wiley。ISBN 978-0-470-01322-9。この本では、オプション取引業者はブラック、ショールズ、マートンのモデルよりもはるかに堅牢なヘッジと価格設定の原則を使用しているという理論を裏付ける、一連の歴史的参考文献が紹介されています。
• トリアナ、パブロ（2009）。飛ぶことについての鳥の講義：数学理論は金融市場を破壊することができるか？。ワイリー。ISBN 978-0-470-40675-5。この本はブラック、ショールズ、マートンのモデルを批判的に考察しています。

• アジェイ・シャー。ブラック、マートン、ショールズ：彼らの研究とその結果。経済政治週刊誌、XXXII(52):3337–3342、1997年12月
• 銀行破綻の原因となった数学的方程式、イアン・スチュワート著、オブザーバー、2012年2月12日
• 継続的にヘッジできない場合: ブラック・ショールズへの修正、エマニュエル・ダーマン

• グリーン関数を用いたブラック・ショールズ方程式の解法、デニス・シルバーマン教授
• 数学者テレンス・タオによるブラック・ショールズ方程式の解説記事。

• 多言語でのブラック・ショールズ
• Java におけるブラック・ショールズ - 下のリンクへ移動 -
• Javaにおけるブラック・ショールズ
• シカゴ オプション価格モデル (グラフ版)
• ブラック・ショールズ・マートン・インプライド・ボラティリティ・サーフェス・モデル (Java)
• オンラインブラックショールズ計算機

• 1 兆ドルの賭け - 2000 年 2 月 8 日に最初に放送された Nova エピソードの関連 Web サイト。「この映画は、金融の世界を永遠に変え、その考案者に 1997 年のノーベル経済学賞をもたらした数学の聖杯、ブラック・ショールズ式の発明の魅力的な物語を伝えます。」
• BBC ホライズン いわゆるミダス式とロングターム・キャピタル・マネジメント（LTCM）の破産に関するテレビ番組
• BBC ニュースマガジン ブラック・ショールズ: 金融危機に関連する数学の公式 (2012 年 4 月 27 日の記事)