分位関数

確率と統計において、確率分布の分位関数は、その累積分布関数の逆関数です。つまり、分布の分位関数は ${\mathcal {D}}$ 関数は $Q$ そのため $\displaystyle \Pr \left[\mathrm {X} \leq Q(p)\right]=p}$ 任意の確率変数 $\mathrm {X} \sim {\mathcal {D}}$ 確率 $p\in (0,1)$ 。

分位関数は、パーセンタイル関数（パーセンタイルにちなんで）、パーセントポイント関数、逆累積分布関数、または逆分布関数とも呼ばれます。

意味

厳密に増加する分布関数

連続かつ厳密に増加する累積分布関数（cdf）に関して $F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]$ 確率変数 $X$ の分位関数 $Q\colon (0,1)\to \mathbb {R}$ 入力pを閾値 $xにマッピングし、$ $Xが$ $x$ 以下になる確率を $p$ とします。分布関数 $F$ に関して言えば、分位関数 $Q は$ 、次の値 $xを返します。$

$F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p,$

これは累積分布関数の逆関数として表すことができる。

$Q(p)=F_{X}^{-1}(p).$

一般分布関数

厳密な単調性や連続性を欠き、したがって逆累積分布関数を許容しない分布関数の一般的な場合、分位点は、区間によって与えられる分布関数 $Fの（潜在的に）集合値関数である。$

${\begin{aligned}Q(p)&={\big [}\sup\{x\colon F(x)<p\},\ \sup\{x\colon F(x)\leq p\}{\big ]}\\&={\big [}\inf\{x\colon F(x)\geq p\},\ \inf\{x\colon F(x)>p\}{\big ]}.\end{aligned}}$

最初の区間^{[ 1 ]} $は、 F$ の（厳密ではない）単調性のため、2番目の区間と等価である。^{[注1 ]}

最小値を選択するのが一般的で、これは次のように表すこともできます。

$Q(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\}.$

$ここでは、分位関数が、累積分布関数の値がp を$ 超えるすべての値の中から $x$ の最小値を返すという事実を捉えています。これは、分布が連続であるという特殊な場合において、前述の確率の記述と同等です。

分位数は、ガロア不等式を満たす唯一の関数でもある。

$Q(p)\leq x$ かつその場合に限り $p\leq F(x).$

関数 $F$ が連続かつ厳密に単調増加である場合、不等式は等式に置き換えられ、次のようになります。

$Q=F^{-1}.$

一般に、分布関数 $F が$ 左逆関数または右逆関数を持たない場合でも、分位関数 $Q は$ 分布関数の「ほぼ確実な左逆関数」として振る舞います。

$Q{\bigl (}F(X){\bigr )}=X\quad {\text{ほぼ確実に。}}$

簡単な例

例えば、指数分布( λ )の累積分布関数(すなわち強度 $λ$ と期待値(平均) $1/$ $λ$ )は次のようになります。

$F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

$指数関数(λ)$ の分位関数は、 $Q$ の値を求めることによって導出されます。 $1-e^{-\lambda Q}=p$ :

$Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},$

$0 \leq p < 1$ の場合。したがって、四分位数は次のとおりです。

第1四分位数（ $p = 1/4$ ）: $-\ln(3/4)/\lambda ,$
中央値（ $p = 2/4$ ）: $-\ln(1/2)/\lambda ,$
第3四分位数（ $p = 3/4$ ）: $-\ln(1/4)/\lambda .$

アプリケーション

分位関数は、統計的応用とモンテカルロ法の両方で使用されます。

分位関数は確率分布を規定する一つの方法であり、確率密度関数（pdf）または確率質量関数、累積分布関数（cdf）、特性関数に代わるものです。確率分布の分位関数Qは、その累積分布関数Fの逆関数です。分位関数の導関数、すなわち分位密度関数は、確率分布を規定するもう一つの方法です。これは、pdf と分位関数を組み合わせたものの逆数です。

ユーザーが特定の分布の主要なパーセンテージポイントを知る必要がある統計アプリケーションを考えてみましょう。たとえば、上記の例のように中央値と 25% および 75% 四分位数が必要な場合や、分布が既知の観測値の統計的有意性を評価するなどの他のアプリケーションでは 5%、95%、2.5%、97.5% レベルが必要な場合があります。分位点のエントリを参照してください。コンピュータが普及する前は、分位関数をサンプリングした統計表を付録として書籍に掲載することは珍しくありませんでした。^{[ 2 ]}分位関数の統計的アプリケーションについては、ギルクリストが詳しく解説しています。^{[ 3 ]}

モンテカルロシミュレーションでは、分位関数を使用して、さまざまなタイプのシミュレーション計算で使用する非一様乱数または擬似乱数を生成します。特定の分布からのサンプルは、原則として、一様分布からのサンプルにその分位関数を適用することによって得られます。たとえば、現代の計算金融におけるシミュレーション手法の要求は、分位関数に基づく手法にますます注目を集めています。これは、分位関数が、コピュラ法または準モンテカルロ法^[⁴^]に基づく多変量手法や金融におけるモンテカルロ法とうまく連携するためです。

分位関数の積分は、経済学におけるローレンツ曲線や、金融における条件付きバリュー・アット・リスクを計算するために用いられる。

計算

分位関数の評価には、多くの場合、数値的手法が用いられます。例えば、上記の指数分布は、閉形式の式が見つかる数少ない分布の1つです（他の分布には、一様分布、ワイブル分布、テューキーラムダ分布（ロジスティック分布を含む）、対数ロジスティック分布などがあります）。累積分布関数自体が閉形式の式を持つ場合、二分法などの数値的な根探索アルゴリズムを使用して累積分布関数を逆関数化することができます。その他の手法は、補間技術による逆関数の近似に依存しています。^[⁵^]^[⁶^] 分位関数を評価するためのその他のアルゴリズムは、Numerical Recipesシリーズの書籍に記載されています。一般的な分布のアルゴリズムは、多くの統計ソフトウェアパッケージに組み込まれています。一般的なクラスの分布の分位関数を数値的に計算するための一般的な手法は、次のライブラリにあります。

Cライブラリ UNU.RAN ^{[ 7 ]}
RライブラリRunuran ^{[ 8 ]}
Python サブパッケージscipy.statsのサンプリング^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

分位関数は、非線形常微分方程式および偏微分方程式の解としても特徴付けられる。正規分布、スチューデント分布、ベータ分布、ガンマ分布の場合の常微分方程式が与えられ、解かれている。^[¹¹^]

正規分布

正規分布はおそらく最も重要なケースです。正規分布は位置尺度族であるため、任意のパラメータに対するその分位関数は、プロビット関数として知られる標準正規分布の分位関数の単純な変換から導出できます。残念ながら、この関数は基本的な代数関数を使用して閉形式で表現することはできません。そのため、通常は近似表現が使用されます。徹底的な複合有理および多項式近似は、Wichura ^{[ 12 ]および Acklam}^{[ 13 ]}によって与えられています。非複合有理近似は Shaw ^{[ 14 ]によって開発されました。}

正規分位点に関する常微分方程式

$正規分位数w (p)$ に関する非線形常微分方程式が与えられる。

$\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}}$

中心（初期）条件

$w\left(1/2\right)=0,\,$ $w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.\,$

この方程式は、古典的なべき級数展開法を含むいくつかの方法で解くことができる。この方法から、任意の高精度の解を導き出すことができる（Steinbrecher and Shaw、2008を参照）。

スチューデントのt分布

$これは歴史的に見て最も扱いにくいケースの$ 1つであり、自由度であるパラメータ $ν$ の存在により、有理数近似やその他の近似の使用が困難になります。ν $= 1、2、4の場合は単純な式が存在し、$ $ν$ が偶数の場合は問題を多項式の解法に帰着させることができます。その他のケースでは、分位関数をべき級数として展開することができます。^[¹⁵^]単純なケースは次のとおりです。

$ν = 1$ (コーシー分布): $Q(p)=\tan \left(\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\,;$
$v = 2$ : $Q(p)=2\left(p-{\tfrac {1}{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\,;$
$v = 4$ : $Q(p)=2\operatorname {sign} \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right){\sqrt {q-1}}\,;$

どこで $\alpha =4p(1-p)$ ⁠、 ⁠ $\textstyle q={\tfrac {1}{\sqrt {\alpha }}}\cos \left({\tfrac {1}{3}}\arccos \left({\sqrt {\alpha }}\right)\right)$ ⁠、そして $\operatorname {sign} x={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0;\\{\hphantom {-}}0&{\text{if }}x=0;\\{\hphantom {-}}1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$

分位点混合

密度の混合と同様に、分布も分位点の混合として定義できる。 $Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p),$ どこ $Q_{i}(p)$ 、 $i=1,\ldots ,m$ 分位関数であり、 $a_{i}$ 、 $i=1,\ldots ,m$ はモデルパラメータです。パラメータ $a_{i}$ 選択する必要がある $Q(p)$ は分位関数である。カルヴァネンによって、2つの4パラメータ分位混合、正規多項式分位混合とコーシー多項式分位混合が提示されている。^{[ 16 ]}

分位関数に関する非線形微分方程式

正規分布に対して与えられた非線形常微分方程式は、2階微分が存在する任意の分位関数に対して利用可能な方程式の特殊な場合である。一般に、分位数 $Q (p)$ の方程式は次のように与えられる。

$\displaystyle {\frac {d^{2}Q}{dp^{2}}}=H(Q)\left({\frac {dQ}{dp}}\right)^{2}}$

適切な境界条件によって強化され、

$H(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln f(x)$

f $($ $x$ $)$ $は$ 確率密度関数です。この方程式の形式、および正規分布、スチューデント分布、ガンマ分布、ベータ分布の場合の級数と漸近解による古典的な解析は、SteinbrecherとShaw（2008）によって明らかにされています。このような解は正確なベンチマークを提供し、スチューデント分布の場合は、ライブモンテカルロ法に適した級数を提供します。

注記

↑下限については、 $\{x\colon F(x)<p\}$ そして $\{x\colon F(x)\geq p\}$ パーティションを形成する $\mathbb {R}$ $F$ の非厳密単調性により、最初の集合のすべての要素は、2 番目の集合のすべての要素よりも小さい。したがって、最初の集合の上限は、2 番目の集合の下限と等しい。上限も同様に証明できる。

参考文献

↑ Ehm, W.; Gneiting, T.; Jordan, A.; Krüger, F. (2016). "Of quantiles and expectiles: Consistent scoring functions, Choquet representations, and forecast rankings" . JR Stat. Soc. B. 78 ( 3): 505–562 . arXiv : 1503.08195 . doi : 10.1111/rssb.12154 .
↑ 「アーカイブされたコピー」(PDF)。2012年3月24日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2012年3月25日に取得。{{cite web}}: CS1 maint: タイトルとしてアーカイブされたコピー (リンク)
↑ギルクリスト、W. (2000).分位関数を用いた統計モデリング. Taylor & Francis. ISBN 1-58488-174-7。
↑ Jaeckel, P. (2002).金融におけるモンテカルロ法。
↑ Hörmann, Wolfgang; Leydold, Josef (2003). "高速数値逆変換による連続乱数生成" . ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation . 13 (4): 347– 362. doi : 10.1145/945511.945517 . 2024年6月17日取得– WU Vienna経由。
↑ Derflinger, Gerhard; Hörmann, Wolfgang; Leydold, Josef (2010). "密度のみが既知の場合の数値逆変換による乱数生成" (PDF) . ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation . 20 (4) 18: 1– 25. doi : 10.1145/1842722.1842723 .
↑ "UNU.RAN - ユニバーサル非一様乱数発生器" .
↑ 「Runuran: 'UNU.RAN' 乱数生成器への R インターフェース」。2023 年 1 月 17 日。
↑ 「乱数生成器（Scipy.stats.sampling）— SciPy v1.13.0 マニュアル」。
↑ Baumgarten, Christoph; Patel, Tirth (2022). "Python での自動乱数生成".第 21 回 Python in Science Conference 論文集. pp. 46–51 . doi : 10.25080/majora-212e5952-007 .
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↑ Wichura, MJ (1988). "アルゴリズム AS241: 正規分布のパーセンテージポイント".応用統計学. 37 (3). Blackwell Publishing: 477–484 . doi : 10.2307/2347330 . JSTOR 2347330 .
↑逆正規累積分布関数を計算するためのアルゴリズム2007年5月5日にWayback Machineにアーカイブされました
↑計算ファイナンス：モンテカルロリサイクルのための微分方程式
↑ Shaw, WT (2006). "Sampling Student's T distribution – Use of the inverse cumulative distribution function". Journal of Computational Finance . 9 (4): 37–73 . doi : 10.21314/JCF.2006.150 .
↑ Karvanen, J. (2006). "LモーメントとトリミングLモーメントによる分位点混合の推定". Computational Statistics & Data Analysis . 51 (2): 947– 956. doi : 10.1016/j.csda.2005.09.014 .

さらに読む

Abernathy, Roger W. および Smith, Robert P. (1993) * 「逆ベータ分布に級数展開を適用して F 分布のパーセンタイルを求める」、ACM Trans. Math. Softw.、9 (4)、478 – 480 doi : 10.1145/168173.168387
正規分位点の精緻化
学生のT分布を管理するための新しい方法
ACMアルゴリズム396：スチューデントのt分位数

[2] 下限については、 $\{x\colon F(x)<p\}$ そして $\{x\colon F(x)\geq p\}$ パーティションを形成する $\mathbb {R}$ $F$ の非厳密単調性により、最初の集合のすべての要素は、2 番目の集合のすべての要素よりも小さい。したがって、最初の集合の上限は、2 番目の集合の下限と等しい。上限も同様に証明できる。

[1] Ehm, W.; Gneiting, T.; Jordan, A.; Krüger, F. (2016). "Of quantiles and expectiles: Consistent scoring functions, Choquet representations, and forecast rankings" . JR Stat. Soc. B. 78 ( 3): 505–562 . arXiv : 1503.08195 . doi : 10.1111/rssb.12154 .

[3] 「アーカイブされたコピー」(PDF)。2012年3月24日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2012年3月25日に取得。{{cite web}}: CS1 maint: タイトルとしてアーカイブされたコピー (リンク)

[4] ギルクリスト、W. (2000).分位関数を用いた統計モデリング. Taylor & Francis. ISBN 1-58488-174-7。

[5] Jaeckel, P. (2002).金融におけるモンテカルロ法。

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[7] Derflinger, Gerhard; Hörmann, Wolfgang; Leydold, Josef (2010). "密度のみが既知の場合の数値逆変換による乱数生成" (PDF) . ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation . 20 (4) 18: 1– 25. doi : 10.1145/1842722.1842723 .

[8] "UNU.RAN - ユニバーサル非一様乱数発生器" .

[9] 「Runuran: 'UNU.RAN' 乱数生成器への R インターフェース」。2023 年 1 月 17 日。

[10] 「乱数生成器（Scipy.stats.sampling）— SciPy v1.13.0 マニュアル」。

[11] Baumgarten, Christoph; Patel, Tirth (2022). "Python での自動乱数生成".第 21 回 Python in Science Conference 論文集. pp. 46–51 . doi : 10.25080/majora-212e5952-007 .

[12] Steinbrecher, G.; Shaw, WT (2008). "Quantile mechanics". European Journal of Applied Mathematics . 19 (2): 87–112 . doi : 10.1017/S0956792508007341 . S2CID 6899308 .

[13] Wichura, MJ (1988). "アルゴリズム AS241: 正規分布のパーセンテージポイント".応用統計学. 37 (3). Blackwell Publishing: 477–484 . doi : 10.2307/2347330 . JSTOR 2347330 .

[14] 逆正規累積分布関数を計算するためのアルゴリズム2007年5月5日にWayback Machineにアーカイブされました

[15] 計算ファイナンス：モンテカルロリサイクルのための微分方程式

[16] Shaw, WT (2006). "Sampling Student's T distribution – Use of the inverse cumulative distribution function". Journal of Computational Finance . 9 (4): 37–73 . doi : 10.21314/JCF.2006.150 .

[17] Karvanen, J. (2006). "LモーメントとトリミングLモーメントによる分位点混合の推定". Computational Statistics & Data Analysis . 51 (2): 947– 956. doi : 10.1016/j.csda.2005.09.014 .

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[注1 ]

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[ 12 ]および Acklam

[ 13 ]

[ 14 ]によって開発されました。

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[ 16 ]

分位関数

意味

厳密に増加する分布関数

一般分布関数

簡単な例

アプリケーション

計算

正規分布

正規分位点に関する常微分方程式

スチューデントのt分布

分位点混合

分位関数に関する非線形微分方程式

関連項目

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参考文献

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関連するトピック

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