差異スワップ

分散スワップは店頭 金融デリバティブの一種で、為替レート、金利、株価指数など、原資産の変動の大きさ、つまりボラティリティに関連するリスクを投機したりヘッジしたりすること を可能にします。

スワップの一方のレッグは、原資産の価格変動の実現差異に基づく金額を支払います。通常、これらの価格変動は、最も一般的に使用される終値に基づく毎日の対数 収益になります。スワップのもう一方のレッグは、取引開始時に見積もられた固定額、つまりストライク価格を支払います。したがって、カウンターパーティへの純支払額はこれら2つの差額となり、取引の満了時に現金で決済されますが、合意されたマージンを維持するために、どちらかのカウンターパーティによって途中でいくらかの現金支払いが行われる可能性があります。

分散スワップの特徴は次のとおりです。

• 差異ストライキ
• 実現差異
• ベガ想定元本: 他のスワップと同様に、ペイオフは交換されることのない想定元本に基づいて決定されます。ただし、分散スワップの場合、想定元本はベガで指定され、ペイオフをドル建てに変換します。

分散スワップのペイオフは次のようになります。

${\displaystyle N_{\operatorname {var} }(\sigma _{\text{realised}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2})}$

どこ：

• ${\displaystyle N_{\operatorname {var} }}$= 分散名目値（分散単位とも呼ばれる）、
• ${\displaystyle \sigma _{\text{実現}}^{2}}$= 年間実現差異、および
• ${\displaystyle \sigma _{\text{strike}}^{2}}$= 差異ストライク。^[1]

年次実現分散は、期間中の事前に指定された一連のサンプリングポイントに基づいて計算されます。契約条件によって平均を減算できない場合があるため、分散の従来の統計的定義と必ずしも一致するわけではありません。たとえば、 から の観測価格があるとします 。 自然対数 収益を定義します。次に ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{1}},...,S_{t_{n}}}$${\displaystyle 0\leq t_{i-1}t_{i}\leq T}$${\displaystyle i=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R_{i}=\ln(S_{t_{i}}/S_{t_{i-1}}),}$

• ${\displaystyle \sigma _{\text{実現}}^{2}={\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}$

ここで、は年率化係数で、通常は 1 年間のサンプル ポイントの数 (通常は 252) にほぼ等しくなるように選択され、 は数 で定義されるスワップ契約期間に設定されます。平均リターンを減算すると、実現分散が減少することがわかります。これを行う場合、サンプル分散の不偏推定値に対応するではなく を除数として使用するのが一般的です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle T}$${\displaystyle n/A}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$

契約単位数は以下のように決定するのが市場慣行です。

${\displaystyle N_{\operatorname {var} }={\frac {N_{\text{vol}}}{2\sigma _{\text{strike}}}}}$

ここで、 はボラティリティ・スワップの対応するベガ想定元本です。^[1]これにより、分散スワップのペイオフは、ボラティリティを取引するために使用されるもう1つのあまり一般的ではない手段であるボラティリティ・スワップのペイオフに匹敵します。 ${\displaystyle N_{\text{vol}}}$

分散スワップは、行使価格の2乗に反比例する重みを持つ欧州コールオプションとプットオプションのポートフォリオを使用してヘッジされ、価格設定される可能性がある。 ^{[2] [3]}

したがって、バニラ オプションの価格を決定するボラティリティスマイルモデルは、分散スワップの価格決定に使用できます。たとえば、ヘストン モデルを使用すると、公正な分散スワップ レートの閉形式のソリューションを導出できます。スマイル モデルの動作は価格に不均衡な影響を与える可能性があるため、慎重に行う必要があります。

分散スワップのペイオフは伊藤の補題を使って導くことができます。まず、原資産の株式が以下のように記述されていると仮定します。

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ =\mu \,dt+\sigma \,dZ_{t}}$

伊藤の公式を適用すると次のようになります。

${\displaystyle d(\log S_{t})=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\ \right)\,dt+\sigma \,dZ_{t}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ -d(\log S_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2}}\ dt}$

積分すると、総分散は次のようになります。

${\displaystyle {\text{Variance}}={\frac {1}{T}}\ \int \limits _{0}^{T}\sigma ^{2}\,dt\ ={\frac {2}{T}}\ \left(\int \limits _{0}^{T}{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ \ -\ln \left({\frac {S_{T}}{S_{0}}}\ \right)\right)}$

総分散は、再調整されたヘッジとログ契約のショートから構成されていることがわかります。静的複製の議論^[4]、つまり、2回連続微分可能な契約は、債券、先物、および無限の数のプットとコールを使用して複製できるため、ログ契約のショートポジションは、先物契約とプットとコールのコレクションのショートに等しいことがわかります。 ${\displaystyle {\frac {1}{S_{t}}}\ }$

${\displaystyle -\ln \left({\frac {S_{T}}{S^{*}}}\ \right)=-{\frac {S_{T}-S^{*}}{S^{*}}}\ +\int \limits _{K\leq S^{*}}(K-S_{T})^{+}{\frac {dK}{K^{2}}}\ +\int \limits _{K\geq S^{*}}(S_{T}-K)^{+}{\frac {dK}{K^{2}}}\ }$

期待値を取り、分散スワップの値をゼロに設定すると、公正な分散スワップの行使価格を求める式を並べ替えることができます。

${\displaystyle K_{\text{var}}={\frac {2}{T}}\ \left(rT-\left({\frac {S_{0}}{S^{*}}}\ e^{rT}-1\right)-\ln \left({\frac {S^{*}}{S_{0}}}\ \right)+e^{rT}\int \limits _{0}^{S^{*}}{\frac {1}{K^{2}}}\ P(K)\,dK+e^{rT}\int \limits _{S^{*}}^{\infty }{\frac {1}{K^{2}}}C(K)\,dK\right)}$

どこ：

${\displaystyle S_{0}}$原資産の当初価格である。

${\displaystyle S^{*}>0}$任意のカットオフです。

${\displaystyle K}$使用されるオプションのコレクション内の各オプションのストライクです。

多くの場合、カットオフは現在の先物価格に選択されます。その場合、公正な分散スワップ行使価格はより単純な形式で記述できます。 ${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle S^{*}=F_{0}=S_{0}e^{rT}}$

${\displaystyle K_{var}={\frac {2e^{rT}}{T}}\ \left(\int \limits _{0}^{F_{0}}{\frac {1}{K^{2}}}\ P(K)\,dK+\int \limits _{F_{0}}^{\infty }{\frac {1}{K^{2}}}\ C(K)\,dK\right)}$

先に定義したように、実現分散の離散サンプリングは、分散ストライクを評価する上でより実用的であると考える人もいるかもしれない。なぜなら、実際には、原資産価格を時間的に離散的にしか観察できないからである。価格の観測回数が増えるにつれて、確率的に実際の価格に収束するという主張があるため、これはさらに説得力がある。^[5]${\displaystyle \sigma _{\text{realized}}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{\text{realized}}^{2}}$

マルチンゲール測度を持つリスク中立の世界で、原資産価格が次のSDEを解くと仮定します。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)\,dt+\sigma (t)\,dW_{t},\;\;S_{0}>0}$

どこ：

• ${\displaystyle T}$スワップ契約の満了日を定める。
• ${\displaystyle r(t)\in \mathbb {R} }$は（時間依存の）無リスク金利であり、
• ${\displaystyle \sigma (t)>0}$（時間依存の）価格変動であり、
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$は、フィルタされた確率空間におけるブラウン運動であり、 はの自然なフィルタです。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$${\displaystyle W}$

分散スワップの満期時のペイオフを上記のように定義すると、 で示される時点における期待値は ${\displaystyle (\sigma _{\text{realized}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2})\times N_{\text{var}}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle V_{t_{0}}}$

${\displaystyle V_{t_{0}}=e^{\int _{t_{0}}^{T}r(s)ds}\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realized}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}]\times N_{\text{var}}.}$

裁定取引の機会を避けるためには、スワップ契約を締結するのにコストがかからないようにする必要があります。つまり、はゼロです。したがって、公正な変動行使価格は次のように単純に表されます。 ${\displaystyle V_{t_{0}}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{strike}}^{2}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realized}}^{2}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}],}$

これは、閉じた形式の式を見つけるか、モンテカルロ法などの数値手法を使用して計算する必要があります。

多くのトレーダーは、分散スワップの純粋さが興味深い、または有用であると考えています。ボラティリティを投機する別の方法はオプションを使用することですが、ボラティリティリスクのみに関心がある場合、この戦略では、原証券の方向リスクがほぼ除去されるように、一定のデルタヘッジが必要になります。さらに、分散スワップの複製ポートフォリオには、オプションのストリップ全体が必要になり、実行に非常にコストがかかります。最後に、このオプションのストリップ全体を定期的にロールオーバーして、原証券の現在の価格を中心に維持する必要があることがよくあります 。

バリアンス・スワップの利点は、方向性リスク（デルタ）を伴う可能性のあるコールオプションやプットオプションとは対照的に、原資産価格のボラティリティに対する純粋なエクスポージャーを提供することです。バリアンス・スワップによる損益は、実現ボラティリティとインプライド・ボラティリティの差に直接依存します。^[6]

投機家が興味を持つかもしれないもう1つの点は、オプション市場では提示された行使価格がインプライド・ボラティリティ・スマイルによって決定されるのに対し、最終的な支払いは実際の実現差異に基づいて決定されるという点です。歴史的に、インプライド・バリアンスは実現差異を上回っており、 ^[7]バリアンス・リスク・プレミアムと呼ばれる現象により、ボラティリティ・アービトラージの機会が生まれ、この場合はローリング・ショート・バリアンス取引として知られています。同じ理由で、これらのスワップは実現差異のオプションをヘッジするために使用できます。

密接に関連する戦略には、ストラドル、ボラティリティ スワップ、相関スワップ、ガンマ スワップ、条件付き分散スワップ、コリドー分散スワップ、フォワード スタート分散スワップ、実現分散オプション、相関取引などがあります。