三項式ツリー

三項式ツリーは、金融数学でオプションの価格設定に使用される格子ベースの 計算モデルです。 1986年にフェリム・ボイルによって開発されました。これは二項式オプション価格設定モデルの拡張であり、概念的に類似しています。また、このアプローチはオプション価格設定の明示的な有限差分法と同等であることが示されています。^[1]固定収入および金利デリバティブについては、格子モデル（金融）#金利デリバティブを参照してください。

三項式法では、原資産株価は再結合木としてモデル化され、各ノードで価格には上昇、下降、安定または中間の3つの経路が考えられます。^[2]これらの値は、現在のノードの値に適切な係数を掛けることによって求められます。または、 ${\displaystyle u\,}$${\displaystyle d\,}$${\displaystyle m\,}$

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}={\frac {1}{u}}\,}$（構造が組み換えられています）

${\displaystyle m=1\,}$

対応する確率は次のようになります。

${\displaystyle p_{u}=\left({\frac {e^{(rq)\Delta t/2}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,}$

${\displaystyle p_{d}=\left({\frac {e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{(rq)\Delta t/2}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,}$

${\displaystyle p_{m}=1-(p_{u}+p_{d})\,}$。

上記の式では、はツリーのステップごとの時間の長さで、 は単に満期までの時間を時間ステップの数で割ったものです。はこの満期における無リスク金利です。 は原資産の対応するボラティリティです。は対応する配当利回りです。^[3]${\displaystyle \デルタt\,}$${\displaystyle r\,}$${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle q\,}$

二項モデルと同様に、これらの係数と確率は、原資産の価格がマルチンゲールとして進化することを保証するように指定され、モーメントは、ノード間隔と確率を考慮して、対数正規分布^[4]のモーメントと一致します（時間ステップが小さいほど精度が高くなります）。 、、およびが区間内にあるためには、に関する次の条件が満たされる必要があることに注意してください。 ${\displaystyle p_{u}}$${\displaystyle p_{d}}$${\displaystyle p_{m}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t<2{\frac {\sigma ^{2}}{(rq)^{2}}}}$

価格ツリーが計算されると、オプション価格は、最終ノードから現在のノード（）まで逆方向に作業することで、二項モデルとほぼ同じように各ノードで見つかります。違いは、最終ノード以外の各ノードでのオプションの価値が、2つではなく3つの後続 ノードとそれに対応する確率に基づいて決定されることです。^[5]${\displaystyle t_{0}}$

時間ステップの長さを指数分布のランダム変数としてとらえ、株価の 2 つの動きの間の待ち時間として解釈すると、結果として生じる確率過程は誕生と死の過程になります。結果として得られるモデルは可解であり、さまざまなオプションの分析的な価格設定とヘッジの公式が存在します。 ${\displaystyle \Delta t}$

三項式モデルは、モデル化される時間ステップが少ない場合に二項式モデルよりも正確な結果を生成すると考えられており^{[6] 、そのため計算速度やリソースが問題になる可能性がある場合に使用されます。}バニラオプションの場合、ステップ数が増えるにつれて結果が急速に収束するため、実装が簡単な二項式モデルが好まれます。エキゾチックオプションの場合、ステップサイズに関係なく、三項式モデル（または適応モデル）の方が安定して正確である場合があります。

• 二項オプション価格モデル
• オプションの評価
• オプション: モデルの実装
• コーン・クレア・レンセンモデル
• 暗示的な三項式ツリー

• Phelim Boyle、1986年、「3ジャンププロセスを使用したオプション評価」、International Options Journal 3、7-12。
• Rubinstein, M. (2000). 「二項式オプション価格設定モデルと三項式オプション価格設定モデルの関係について」Journal of Derivatives . 8 (2): 47–50. CiteSeerX  10.1.1.43.5394 . doi :10.3905/jod.2000.319149. 2007年6月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• ポール・クリフォード他 2010. 三項式ツリーを使用したオプションの価格設定、ウォーリック大学
• Tero Haahtela、2010 年。「変化するボラティリティを考慮したリアル オプション評価のための三項ツリーの再結合」、アールト大学、ワーキング ペーパー シリーズ。
• ラルフ・コーン、マルクス・クレール、マーク・レンセン、1998年。「原資産株価が線形の誕生・消滅過程に従う場合の欧州オプションの価格設定」、ストキャスティック・モデル第14巻（3）、647～662ページ
• Peter Hoadley。三項式ツリー オプション計算機 (ツリーの視覚化)