量子金融

量子ファイナンスは、量子物理学者と経済学者によって開発された理論と手法を応用して金融の問題を解決する学際的な研究分野です。これは経済物理学の一分野です。現在、不正検出、ポートフォリオ最適化、製品推奨、株価予測などのいくつかの金融アプリケーションが量子コンピューティングを使用して研究されています。

量子オプション価格設定の研究の多くは、通常、シュレーディンガー方程式のような連続方程式の観点から、古典的なブラック・ショールズ・マートン方程式の量子化に焦点を当てています。エマニュエル・ヘイブンは、ゼキアン・チェンらの研究^[1]を基にしていますが、シュレーディンガー方程式^[2]の観点から市場を考察しています。ヘイブンの研究の重要なメッセージは、ブラック・ショールズ・マートン方程式は、市場が効率的であると仮定したシュレーディンガー方程式の特殊なケースであるということです。ヘイブンが導出したシュレーディンガーベースの方程式には、無限に高速ではない価格変動、無限に高速ではない情報伝播、トレーダー間の富の不平等など、さまざまなソースの結果として市場に存在する裁定取引の量を表すパラメーター ħ ( hの複素共役と混同しないでください) があります。ヘイブンは、現実には市場は真に効率的ではないため、この値を適切に設定することで、より正確なオプション価格を導き出すことができると主張しています。

これは、量子オプション価格設定モデルが古典的なモデルよりも正確である可能性がある理由の1つです。Belal E. Baaquieは量子ファイナンスに関する多くの論文を発表しており、それらの多くをまとめた本も執筆しています。^{[3] [4] Baaquieの研究やMataczなどの他の研究の中核は、}リチャード・ファインマンの経路積分です。^[5]

Baaquieは経路積分をいくつかのエキゾチックオプションに適用し、その結果をブラック・ショールズ・マートン方程式の結果と比較した解析結果を提示し、それらが非常に似ていることを示しています。 Edward Piotrowskiらは、オプションの基礎となる株式の挙動に関するブラック・ショールズ・マートン仮定を変更することで、異なるアプローチを採用しています。^{[6]彼らは、それが}ウィーナー・バシュリエ過程に従うと仮定する代わりに、^[7]それはオルンシュタイン・ウーレンベック過程に従うと仮定しています。^[8]この新しい仮定に基づいて、彼らは量子ファイナンスモデルとヨーロッパのコールオプションの式を導き出しています。

ハル・ホワイトやコックス・インガソル・ロスなどの他のモデルは、金利デリバティブの古典的な設定で同じアプローチをうまく使用しています。^{[9] [10]} アンドレイ・クレニコフはヘイブンらの研究を基に、ブラック・ショールズ・マートン方程式による市場効率性の仮定は適切ではないかもしれないという考えをさらに強化しています。^[11]この考えをサポートするために、クレニコフは、量子論を金融に適用することに対する批判を克服する方法として、エージェントを使用した文脈的確率のフレームワークを構築しています。 ルイジ・アカルディとアンドレアス・ブーカスは、再びブラック・ショールズ・マートン方程式を量子化しますが、この場合、彼らはまた、原資産がブラウン運動とポアソン過程の両方を持つと見なしています。^[12]

陳氏は2001年に論文^[1]を発表し、量子二項オプション価格モデル、または単に量子二項モデルと略されるものを提示した。比喩的に言えば、陳氏の量子二項オプション価格モデル（以下、量子二項モデルと呼ぶ）は、既存の量子金融モデルにとって、コックス・ロス・ルビンスタインの古典的二項オプション価格モデルがブラック・ショールズ・マートンモデルに対して行ったのと同じである。つまり、同じ結果の離散化され、より単純なバージョンである。これらの単純化により、それぞれの理論は分析が容易になるだけでなく、コンピュータへの実装も容易になる。

マルチステップモデルでは、量子価格設定の式は次のようになります。

${\displaystyle C_{0}^{N}=\mathrm {tr} [(\bigotimes _{j=1}^{N}\rho _{j}){[S_{N}-K]}^{ +}]}$、

これは、次の Cox-Ross-Rubinstein二項オプション価格設定モデルの式に相当します。

${\displaystyle C_{0}^{N}=(1+r)^{-N}\sum _{n=0}^{N}{\frac {N!}{n!(Nn)!}}q^{n}{(1-q)}^{Nn}{[S_{0}{(1+b)}^{n}{(1+a)}^{Nn}-K]}^{+}}$。

これは、株式がマクスウェル・ボルツマン統計に従って動くと仮定すると、量子二項モデルは確かに古典的二項モデルに収束することを示しています。

キース・マイヤーによれば、量子ボラティリティは次のようになる。^[13]

${\displaystyle \sigma ={\frac {\ln {(1+x_{0}+{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}})}}{\sqrt {1/t}}}}$。

マクスウェル・ボルツマン統計は量子ボーズ・アインシュタイン統計に置き換えることができ、オプション価格の式は次のようになります。

${\displaystyle C_{0}^{N}=(1+r)^{-N}\sum _{n=0}^{N}\left({\frac {q^{n}{(1-q)}^{Nn}}{\sum _{k=0}^{N}q^{k}{(1-q)}^{Nk}}}\right){[S_{0}{(1+b)}^{n}{(1+a)}^{Nn}-K]}^{+}}$。

ボーズ・アインシュタイン方程式は、特定の状況下では、コックス・ロス・ルービンシュタインのオプション価格決定式とは異なるオプション価格を生成します。これは、株式が古典粒子ではなく量子ボソン粒子として扱われているためです。

パトリック・レベントロストは2018年に、量子コンピュータには金融デリバティブの価格を古典的な方法よりも平方根の利点で決定できるアルゴリズムが存在することを示しました。^[14]この開発は、機能金融への洞察を得るために量子力学を使用することから、それらの計算を実行するために量子システム、つまり量子コンピュータを使用することへの移行を示しています。

2020年にデイビッド・オレルは、フォトニクスデバイス上で実行できる量子ウォークに基づいたオプション価格設定モデルを提案した。^{[15] [16] [17]}

アリオリとヴァレンテは、バキエの研究をレビューし、シュレーディンガー方程式とは異なり、ブラック・ショールズ・マートン方程式は虚数を使用していないことを指摘している。重ね合わせやエンタングルメントなどの物理学における量子特性は虚数の結果であるため、バキエの数値的成功は量子以外の効果から生じたものであるに違いない。^{[18] : 668}リックルズは、バキエの研究を経済学の観点から批判している。経験的経済データはランダムではないため、量子ランダム性の説明は必要ない。^{[19] : 969}

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