黒人モデル

ブラックモデル（ブラック76モデルとも呼ばれる）は、ブラック・ショールズ・オプション価格決定モデルの変形である。主な用途は、先物契約、債券オプション、金利キャップとフロア、スワップションのオプション価格決定である。このモデルは、1976年に フィッシャー・ブラックが執筆した論文で初めて発表された。

ブラックのモデルは、対数正規順方向モデルと呼ばれるモデルのクラスに一般化できます。

ブラック式は、原資産のスポット価格が割引先物価格F に置き換えられることを除いて、株式オプションを評価するためのブラック・ショールズ式に似ています。

無リスク金利 rが一定で、特定の原資産の先物価格F(t)が対数正規分布でボラティリティ σが一定であると仮定する。ブラックの公式によれば、行使価格K、受渡日T'（ただし）の先物契約における満期Tのヨーロピアンコールオプションの価格は、 ${\displaystyle T'\geq T}$

${\displaystyle c=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]}$

対応するプット価格は

${\displaystyle p=e^{-rT}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]}$

どこ

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}},}$

は累積正規分布関数です。 ${\displaystyle N(\cdot )}$

T' はTより大きい可能性があるにもかかわらず、式には現れないことに注意してください。これは、先物契約が時価評価されるため、オプションが行使されたときにペイオフが実現されるためです。T' > Tの時点で満期を迎える先物契約のオプションを考えると、ペイオフはT'まで発生しません。したがって、金銭の時間的価値を考慮に入れる必要があるため、割引率は に置き換えられます。2 つのケースの違いは、以下の導出から明らかです。 ${\displaystyle e^{-rT}}$${\displaystyle e^{-rT'}}$

ブラック公式は、ブラック・ショールズ公式の単純だが巧妙な応用であるマルグレーブ公式の使用から簡単に導き出されます。

先物契約のコール オプションのペイオフは です。最初の資産を、2 番目の資産をの時点で 1 ドルを支払うリスクのない債券と見なすことで、これを交換 (Margrabe) オプションと見なすことができます。その後、最初の資産の価値がリスクのない債券よりも高くなった時点で、コール オプションが実行されます。Margrabe の公式の仮定は、これらの資産で満たされます。 ${\displaystyle \max(0,F(T)-K)}$${\displaystyle e^{-r(Tt)}F(t)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$

確認すべき残りの唯一のことは、最初の資産が実際に資産であるかどうかです。これは、受渡日のある先渡契約のロングと無リスク債券のロングによって時刻 0 に形成されたポートフォリオを考えればわかります (決定論的金利の下では、先渡価格と先物価格は等しいため、ここでは曖昧さはありません)。その後、いつでも同じ受渡日のある別の先渡をショートすることで先渡契約の義務を解消し、先渡価格の差額を現在価値に割り引いた値にすることができます: 。それぞれ の価値がある無リスク債券を清算すると、純利益は になります。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle F(0)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle e^{-r(Tt)}[F(t)-F(0)]}$${\displaystyle F(0)}$${\displaystyle e^{-r(Tt)}}$${\displaystyle e^{-r(Tt)}F(t)}$

• 金融数学
• ブラック・ショールズ
• アプリケーションの説明
  • 債券オプション § 評価
  • 先物契約 § 先物オプション
  • 金利上限と下限 § ブラックモデル
  • スワップション § 評価

• ブラック、フィッシャー（1976年）「商品契約の価格設定」金融経済ジャーナル、3、167-179。
• ガーマン、マーク B.、コールハーゲン スティーブン W. (1983)。外国通貨オプションの価値、国際通貨金融ジャーナル、2、231-237。
• Miltersen, K.、Sandmann, K.、Sondermann, D.、(1997)：「対数正規金利による期間構造デリバティブのクローズドフォームソリューション」、Journal of Finance、52(1)、409-430。

議論

• 債券オプション、キャップ、そして黒人モデル ミリカ・クディナ博士、テキサス大学オースティン校

オンラインツール

• カプレットとフロアレットの計算機 トムソン・ロイターのリスク管理担当、シン・ヒン・マン博士