先物価格

先物価格（またはフォワードレートと呼ばれることもある）は、先物契約における資産の合意された価格である。^{[1] [2]}合理的価格設定の仮定を用いると、取引可能な原資産の先物契約の場合、先物価格はスポット価格と配当金で表すことができる。取引不可能な資産の先物契約の場合、先物の価格設定は複雑な作業になることがある。

原資産が取引可能で配当が存在する場合、先物価格は次のように表されます。

${\displaystyle F=S_{0}e^{(rq)T}-\sum _{i=1}^{N}D_{i}e^{(rq)(T-t_{i})}\,}$

どこ

${\displaystyle F}$時点で支払われる先物価格である${\displaystyle T}$

${\displaystyle e^{x}}$指数関数（連続複利の計算に使用）

${\displaystyle r}$リスクフリー金利です

${\displaystyle q}$利便性利回りは

${\displaystyle S_{0}}$資産のスポット価格（つまり、時点0での販売価格）

${\displaystyle D_{i}}$配当金は、${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle 0<t_{i><T.}$

ここでの 2 つの質問は、ショート ポジション (資産の売り手) が利益を最大化するために提示するべき価格と、ロング ポジション (資産の買い手) が利益を最大化するために受け入れる必要がある価格です。

少なくとも、両者ともこの取引で金銭を失いたくないことは分かっています。

ショートポジションはロングポジションと同じくらい多くのことを知っています。つまり、ショート/ロングポジションは両方とも、ある先物価格を前提として利益を得るために参加できるあらゆるスキームを認識しています。

したがって、当然ながら公正な価格で合意しなければ取引は成立しません。

経済的な表現は次のようになります。

（公正価格 + 資産の配当の将来価値） − 資産のスポット価格 = 資本コスト

先物価格 = スポット価格 − キャリーコスト

その資産の配当金の将来価値（これは債券のクーポン、家の月額家賃、作物の果実などでもかまいません）は、リスクフリーの利子力を使用して計算されます。これは、リスクフリーの状況にあるためです（先渡契約の全体的なポイントは、リスクを取り除くか、少なくともリスクを軽減することです）。では、資産の所有者がリスクを冒す理由は何でしょうか？ 彼はリスクフリーのレート（つまり、リスクフリーと見なされる米国短期国債）で再投資します。資産のスポット価格は、先渡契約が締結された瞬間の市場価値です。したがって、OUT − IN = NET GAINであり、彼の純利益は、その期間に資産を保持する機会費用からのみ得られます（彼はそれを売却し、そのお金をリスクフリーのレートで投資することもできました）。

させて

K = 適正価格

C = 資本コスト

S = 資産のスポット価格

F = 資産の配当の将来価値

I = Fの現在価値（ r を使って割引）

r = リスクフリー金利（連続複利）

T = 契約締結時からの期間

公正な価格を解き、数学を代入すると次のようになります。

${\displaystyle K=C+SF\,}$

どこ：

${\displaystyle C=S(e^{rT}-1)\,}$

（jは期間Tあたりの実効金利であるため） ${\displaystyle e^{rT}=1+j\,}$

${\displaystyle F=c_{1}e^{r(T-t_{1})}+\cdots +c_{n}e^{r(T-t_{n})}}$

ここで、c _{i は}時刻t ⁱに支払われるi^番目の配当です。

削減を行うと次のようになります。

${\displaystyle K=(SI)e^{rT}.\,}$

上記の導出には、原資産が取引可能であるという仮定が暗黙的に含まれます。この仮定は、特定の種類の先物には当てはまりません。

金利が確率的である場合、先渡価格と先物価格の間には差があります。金利が決定論的である場合、この差はなくなります。

確率過程の言語では、先物価格は先物測度の下でのマルチンゲールであるのに対し、先物価格はリスク中立測度の下でのマルチンゲールである。金利が決定論的である場合、先物測度とリスク中立測度は同じである。

• フォワードレート
• 前進策
• 利便性利回り
• 運搬コスト
• バックワーデーション
• コンタンゴ

• 金融における二項モデル - ファン デル フック & エリオット
• 金融市場におけるマーチンゲール法 - Musiela & Rutkowski