関数（数学）

上記の関数の定義は、本質的には微積分学の創始者であるライプニッツ、ニュートン、オイラーの定義に相当します。しかし、「代入」の数学的な定義がないため、形式化することはできません。関数の最初の形式的な定義が集合論の観点から与えられたのは、19世紀末になってからのことです。この集合論的な定義は、関数が定義域の要素と値域の要素の一部（場合によってはすべて）との間に関係を確立するという事実に基づいています。数学的には、 2つの集合XとYの間の二項関係は、すべての順序対の集合の部分集合です。${\displaystyle (x,y)}$そのため${\displaystyle x\in X}$そして${\displaystyle y\in Y.}$これらのペアの集合は、XとYのデカルト積と呼ばれ、次のように表されます。${\displaystyle X\times Y.}$したがって、上記の定義は次のように形式化できる。

定義域Xと値域Yを持つ関数は、次の 2 つの条件を満たすXとYの間の二項関係Rである。 ^{[ 10 ]}

• すべての${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$存在する${\displaystyle y}$で${\displaystyle Y}$そのため${\displaystyle (x,y)\in R.}$
• もし${\displaystyle (x,y)\in R}$そして${\displaystyle (x,z)\in R,}$それから${\displaystyle y=z.}$

この定義は、関係の概念を明示的に参照することなく、より多くの表記法（集合構成表記法を含む）を用いて、より形式的に書き直すことができる。

関数は、3 つの集合 (多くの場合、順序付き 3 つ組)、定義域、および定義域によって構成されます。${\displaystyle X,}$値域​${\displaystyle Y,}$そしてグラフ${\displaystyle R}$以下の３つの条件を満たすもの。

• ${\displaystyle R\subseteq \{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in R\qquad }$
• ${\displaystyle (x,y)\in R\land (x,z)\in R\implies y=z\qquad }$

これらの条件を満たす関係を関数関係と呼ぶ。

より一般的な用語と表記法は、この形式的な定義から次のように導き出すことができる。${\displaystyle f}$関数関係によって定義される関数である${\displaystyle R}$⁠。すべての⁠${\displaystyle x}$の領域において${\displaystyle f}$⁠、 に関連するコドメインの固有要素⁠${\displaystyle x}$はと表記される${\displaystyle f(x)}$⁠ . もし⁠${\displaystyle y}$⁠これは、一般的に書かれている要素です。${\displaystyle y=f(x)}$代わりに​${\displaystyle (x,y)\in R\,}$または​​${\displaystyle xRy}$⁠、そしてある人はこう言います「 ⁠${\displaystyle f}$地図​​${\displaystyle x}$⁠から⁠${\displaystyle y}$⁠ ", " ⁠${\displaystyle y}$⁠は、 ⁠による画像です${\displaystyle f}$の​​${\displaystyle x}$⁠」、または「適用⁠${\displaystyle f}$⁠オン⁠${\displaystyle x}$⁠与える⁠${\displaystyle y}$⁠ "、など。

部分関数は、通常の関数と同様に定義されますが、「全体」条件は除外されます。つまり、XからYへの部分関数は、 XとYの間の二項関係Rであり、すべてのに対して、${\displaystyle x\in X,}$Yには、以下を満たすy が最大で 1 つ 存在する。${\displaystyle (x,y)\in R.}$

関数表記法を用いると、これは、与えられた${\displaystyle x\in X,}$どちらか${\displaystyle f(x)}$Yに含まれるか、未定義です。

Xの要素の集合であって、${\displaystyle f(x)}$定義され、Yに属する関数の定義域を、関数の定義域と呼びます。したがって、 XからYへの部分関数は、定義域としてXの部分集合（関数の定義域と呼ばれる）を持つ通常の関数です。定義域がXと等しい場合、部分関数は全関数であると言われることがよくあります。

数学のいくつかの分野では、「関数」という用語は、通常の（全）関数ではなく、部分関数を指すことがあります。これは通常、関数の定義方法が、その定義域を決定することを困難、あるいは不可能にする場合に当てはまります。

微積分学において、実変数の実数値関数または実関数は、集合からの部分関数である。${\displaystyle \mathbb {R} }$実数からそれ自身への関数。${\displaystyle f:x\mapsto f(x)}$その乗法逆数${\displaystyle x\mapsto 1/f(x)}$も実関数です。部分関数の乗法逆関数の定義域を決定するには、関数の零点、つまり関数は定義されているが乗法逆関数は定義されていない値を計算することに相当します。

同様に、複素変数の関数は一般に部分関数であり、その定義域は複素数の部分集合である。${\displaystyle \mathbb {C} }$複素関数の定義域を決定することの難しさは、リーマンゼータ関数の乗法逆関数によって示されます。${\displaystyle z\mapsto 1/\zeta (z)}$これは、数学における主要な未解決問題の一つであるリーマン予想の証明または反証とほぼ同等である。

計算可能性理論において、一般再帰関数とは、整数から整数への部分関数であり、その値はアルゴリズムによって計算可能である（大まかに言えば）。このような関数の定義域とは、アルゴリズムが無限に実行されない入力の集合である。計算可能性理論の基本定理の一つは、任意の一般再帰関数を入力として受け取り、 0がその定義域に含まれるかどうかを判定するアルゴリズムは存在しないということである（停止問題を参照）。

多変数関数、または複数変数関数とは、複数の引数に依存する関数のことです。このような関数はよく見られます。例えば、道路上の車の位置は、走行時間と平均速度の関数です。

形式的には、 n変数の関数とは、定義域がn組の集合である関数のことです。^{[注 3 ]}例えば、整数の乗算は 2 変数の関数、つまり二変数関数であり、定義域はすべての整数の順序対(2 組) の集合、終域は整数の集合です。すべての二項演算についても同様です。2 次元実数領域上の二変数曲面のグラフは、例えば二変数補間で使用されるようなパラメトリック曲面を定義するものとして解釈できます。

一般的に、nタプルは括弧で囲んで表されます。例えば、${\displaystyle (1,2,\ldots ,n).}$関数表記法 を用いる場合、通常はタプルを囲む括弧を省略し、次のように記述する。 ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$の代わりに${\displaystyle f((x_{1},\ldots ,x_{n})).}$

n個の集合が与えられた場合${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$n個のタプルの集合${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$そのため${\displaystyle x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}}$は、​${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$そして、${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

したがって、多変数関数とは、定義域がデカルト積またはデカルト積の真部分集合である関数のことである。

$${\displaystyle f:U\to Y,}$$

ここで、ドメインUは次の形式をとる。

$${\displaystyle U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$$

もしすべてが${\displaystyle X_{i}}$セットと等しい${\displaystyle \mathbb {R} }$実数または集合${\displaystyle \mathbb {C} }$複素数については、それぞれ複数の実変数の関数または複数の複素変数の関数について話す。

関数表記では、関数に名前を付ける必要があり、指定されていない関数の場合は、多くの場合文字fが用いられます。次に、関数を引数に適用する場合、関数名に続いて引数（多変数関数の場合は引数）を括弧で囲んで表記します。例えば、

$${\displaystyle f(x),\quad \sin(3),\quad {\text{or}}\quad f(x^{2}+1).}$$

括弧内の引数は、関数の定義域の任意の要素、定義域の特定の要素 (上記の例では 3 )、または定義域の要素(${\displaystyle x^{2}+1}$上記の例では）。括弧内に未指定の変数を使用することは、「let」のように関数を明示的に定義する場合に便利です。${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}$「。

関数を表す記号が複数の文字で構成され、曖昧さが生じない場合、関数表記の括弧は省略されることがあります。たとえば、sin( x )の代わりにsin xと書くのが一般的です。

関数表記法は、 1734 年にレオンハルト・オイラーによって初めて使用されました。^{[ 11 ]}広く使用されている関数の中には、複数の文字（通常は 2 文字または 3 文字、一般的には関数名の略語）で構成される記号で表されるものがあります。この場合、 1 文字の記号にはイタリック体フォントが使用されるのに対し、正弦関数には「 sin」のように、慣習的にローマン体フォントが使用されます。

関数表記は、関数を参照すると同時に引数の名前を指定するために口語的によく使われます。例えば、「let」のように。${\displaystyle f(x)}$「関数である」。これは表記法の濫用ですが、より単純な定式化に役立ちます。

矢印表記は、関数に名前を付ける必要なく、関数のルールをインラインで定義します。これは、↦ 矢印記号を使用し、「は にマッピングされる」と読みます。たとえば、${\displaystyle x\mapsto x+1}$は、実数を入力として受け取り、その数に 1 を加えた値を出力する関数です。また、の定義域と値域は、${\displaystyle \mathbb {R} }$暗黙のうちに示されている。

定義域と値域は明示的に指定することもできます。例えば、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}}$$

これは、整数から整数への関数sqrを定義し、入力された値の二乗を返します。

矢印表記の一般的な応用例として、${\displaystyle f:X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}$これは2変数関数であり、部分的に適用された関数を参照したい。${\displaystyle X\to Y}$新しい関数名を導入せずに、2 番目の引数を値t ₀に固定することによって生成されます。問題のマップは次のように表すことができます。${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$矢印表記法を使用する。${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$（「 xをfのxとt 0に写像する」と読みます）は、この新しい関数を引数 1 つだけで表しますが、式f ( x ₀ , t ₀ )は、点( x ₀ , t ₀ )における関数fの値を参照します。

関数表記の代わりにインデックス表記を使用できます。つまり、f ( x )と書く代わりに、次のように書きます。${\displaystyle f_{x}.}$

これは通常、定義域が自然数の集合である関数に当てはまります。このような関数は数列と呼ばれ、この場合、要素は${\displaystyle f_{n}}$これは数列のn番目の要素と呼ばれます。

インデックス表記は、パラメータと呼ばれる変数と「真の変数」を区別するためにも使用できます。実際、パラメータとは、問題の研究中に固定されていると考えられる特定の変数です。たとえば、マップ${\displaystyle x\mapsto f(x,t)}$（上記参照）は次のように表記されます${\displaystyle f_{t}}$インデックス表記法を使用してマップのコレクションを定義すると、${\displaystyle f_{t}}$式により${\displaystyle f_{t}(x)=f(x,t)}$すべての人々のために${\displaystyle x,t\in X}$。

表記法では ${\displaystyle x\mapsto f(x),}$ 記号x は値を表すものではなく、単なるプレースホルダーです。つまり、矢印の左側でx が何らかの値に置き換えられた場合、矢印の右側でも同じ値に置き換えられます。したがって、矢印の右側の式では、x はプレースホルダー記号（多くの場合、中点" ⋅ " またはダッシュ " – "）に置き換えられ、このプレースホルダー記号を含む新しい式は、関数自体の省略形として使用できます。矢印表記の場合と同様に、これは関数にfやsinなどの明示的な名前が付けられていない場合に役立ちます。

例えば、${\displaystyle a(\cdot )^{2}}$または${\displaystyle a(-)^{2}}$機能を表す可能性がある${\displaystyle x\mapsto ax^{2}}$、 そして${\textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$または${\textstyle \int _{a}^{\,(-)}f(u)\,du}$は、可変上限を持つ積分によって定義される関数を表す場合がある。${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$。

数学の分野によっては、関数を表すための特殊な表記法が他にも存在します。例えば、線形代数や関数解析では、線形形式とその作用するベクトルは、双対性を表すために双対ペアを用いて表記されます。これは量子力学におけるブラケット表記法に似ています。論理学や計算理論では、ラムダ計算の関数表記法を用いて、関数の抽象化と適用という基本的な概念を明示的に表現します。圏論やホモロジー代数では、関数のネットワークは、それら自身とその合成が互いにどのように可換であるかという観点から記述され、上記の関数の矢印表記法を拡張・一般化した可換図式が用いられます。

場合によっては、関数の引数は、ある集合または複数の集合から取られた要素の順序対になることがあります。たとえば、関数fは、任意の実数のペアを写像するものとして定義できます。${\displaystyle (x,y)}$それらの二乗の和に、${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$このような関数は一般的に次のように記述されます。${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$そして「2変数関数」と呼ばれます。同様に、3つ以上の変数を持つ関数もあり、次のような表記があります。${\displaystyle f(w,x,y)}$、${\displaystyle f(w,x,y,z)}$。

有限集合上では、定義域の要素に対応する終域の要素を列挙することで関数を定義できます。例えば、${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$すると、関数を定義できる${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$による${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.}$

関数は、算術演算と事前に定義された関数の組み合わせを表す式によって定義されることがよくあります。このような式により、定義域の任意の要素の値から関数の値を計算できます。たとえば、上記の例では、${\displaystyle f}$式で定義できる${\displaystyle f(n)=n+1}$、 のために${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$。

このように関数が定義される場合、その定義域の決定は時に困難になります。関数を定義する式に除算が含まれる場合、分母がゼロとなる変数の値は定義域から除外する必要があります。したがって、複雑な関数の場合、定義域の決定は補助関数の零点の計算を経由します。同様に、関数の定義に平方根が含まれる場合、${\displaystyle \mathbb {R} }$に${\displaystyle \mathbb {R} ,}$定義域は、平方根の引数が非負となるような変数の値の集合に含まれる。

例えば、${\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}}$関数を定義する${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$そのドメインは${\displaystyle \mathbb {R} ,}$なぜなら${\displaystyle 1+x^{2}}$xが実数の場合、常に正の値になります。一方、${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$実数から実数への関数を定義する。その定義域は区間[ −1, 1 ]に限定される。（古い文献では、このような定義域は関数の定義域と呼ばれていた。）

関数は、それを定義する数式の性質によって分類することができる。

• 二次関数は、次のように書ける関数です。${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$ここで、 a、b、cは定数である。
• より一般的には、多項式関数とは、加算、減算、乗算、および非負の整数乗への指数のみを含む式で定義できる関数です。たとえば、${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1}$そして${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}$は多項式関数である${\displaystyle x}$。
• 有理関数も同様で、除算も許可されています。${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}},}$そして${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.}$
• 代数関数も同様で、n乗根や多項式の根も使用可能です。
• 初等関数^{[注4 ]}は、対数関数と指数関数が許容される点を除いて同じである。

関数${\displaystyle f:X\to Y,}$定義域Xと終域Yを持つ関数f は、Yの任意のyに対して、 y = f ( x )となるXの要素xがただ 1 つ存在する場合に全単射である。この場合、fの逆関数は関数 f である。${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$その地図${\displaystyle y\in Y}$要素へ${\displaystyle x\in X}$y = f ( x )となるように。例えば、自然対数は正の実数から実数への全単射関数です。したがって、自然対数には指数関数と呼ばれる逆関数があり、実数を正の数に写像します。

関数が${\displaystyle f:X\to Y}$全単射ではないため、部分集合を選択できる場合がある。${\displaystyle E\subseteq X}$そして${\displaystyle F\subseteq Y}$fのEへの制限がEからFへの全単射となり、したがって逆関数が存在する。逆三角関数はこのように定義される。例えば、コサイン関数は制限によって区間[ 0 , π ]から区間[ −1, 1 ]への全単射を誘導し、その逆関数である逆コサインは[ −1, 1 ]を[ 0, π ]に写像する。他の逆三角関数も同様に定義される。

より一般的に、2 つの集合XとYの間の二項関係Rが与えられたとき、E をXの部分集合とし、すべての に対して、${\displaystyle x\in E,}$いくつかあります${\displaystyle y\in Y}$x R yとなるような。もし、すべての y に対してそのようなyを選択できる基準があれば、${\displaystyle x\in E,}$これは関数を定義します${\displaystyle f:E\to Y,}$これは暗黙関数と呼ばれます。なぜなら、関係Rによって暗黙的に定義されているからです。

例えば、単位円の方程式${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$実数上の関係を定義します。−1 < x < 1の場合、 yには正と負の2 つの値があります。x = ± 1の場合、これらの 2 つの値は両方とも 0 になります。それ以外の場合、 yの値はありません。これは、この方程式が定義域[ −1, 1 ]とそれぞれの終域[ 0, +∞)および(−∞, 0 ]を持つ 2 つの陰関数を定義することを意味します。

この例では、方程式をyで解くと、次のようになります。${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},}$しかし、より複雑な例では、これは不可能です。たとえば、関係${\displaystyle y^{5}+y+x=0}$y をxの陰関数として定義し、Bring 根号と呼ばれるものがあり、${\displaystyle \mathbb {R} }$定義域と値域として。Bring の根号は、4 つの算術演算とn乗根で表すことはできません。

陰関数定理は、ある点の近傍における陰関数の存在と一意性に関する、緩やかな微分可能性条件を提供する。

多くの関数は、別の関数の原始関数として定義できます。自然対数もその例で、これは1/ xの原始関数であり、 x = 1のとき 0 になります。もう 1 つの一般的な例は誤差関数です。

より一般的には、多くの関数、特にほとんどの特殊関数は、微分方程式の解として定義できます。最も単純な例はおそらく指数関数で、これは導関数と等しく、 x = 0のときに値 1 を取る唯一の関数として定義できます。

べき級数は、収束する定義域上で関数を定義するために使用できます。たとえば、指数関数は次のように表されます。${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$しかし、級数の係数は任意であるため、収束級数の和である関数は一般に別の方法で定義され、係数の列は別の定義に基づく何らかの計算の結果となります。次に、べき級数を使用して関数の定義域を拡大することができます。通常、実変数の関数が、ある区間におけるテイラー級数の和である場合、このべき級数によって定義域を複素数の部分集合、すなわち級数の収束円盤に直ちに拡大することができます。次に、解析接続によって定義域をさらに拡大し、ほぼ複素平面全体を含むようにすることができます。このプロセスは、複素数の対数関数、指数関数、三角関数を定義するために一般に用いられる方法です。

定義域が非負整数である関数は、数列として知られており、漸化式によって定義されることがあります。

非負整数の階乗関数（${\displaystyle n\mapsto n!}$）は基本的な例であり、漸化式で定義できる。

$${\displaystyle n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,}$$

そして初期条件

$${\displaystyle 0!=1.}$$

関数が与えられた場合${\displaystyle f:X\to Y,}$そのグラフは、形式的には集合である。

$${\displaystyle G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.}$$

XとYが実数の部分集合である場合（または、区間などの部分集合と同一視できる場合）、要素${\displaystyle (x,y)\in G}$関数は、例えばデカルト座標系における座標x、yを持つ点として表すことができます。この図の一部から、関数を表すグラフを作成できます。グラフの使用は非常に一般的であるため、グラフ自体も関数のグラフと呼ばれます。関数のグラフ表現は、他の座標系でも可能です。例えば、2乗関数のグラフなどです。

$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$$

座標を持つすべての点から構成される${\displaystyle (x,x^{2})}$のために${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$デカルト座標で描くと、よく知られた放物線が得られる。同じ二次関数${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$同じ形式のグラフ（数値のペアで構成されている）が、極座標でプロットされる。${\displaystyle (r,\theta )=(x,x^{2}),}$得られたグラフはフェルマーの螺旋である。

関数は値の表として表現できます。関数の定義域が有限であれば、この方法で関数を完全に指定できます。例えば、乗算関数${\displaystyle f:\{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle f(x,y)=xy}$は、おなじみの九九表で表すことができる。

一方、関数の定義域が連続である場合、表によって定義域の特定の値における関数の値を求めることができます。中間値が必要な場合は、補間を用いて関数の値を推定することができます。^{[注5 ]} 例えば、正弦関数の表の一部は、小数点以下6桁に丸めた値で、次のように表すことができます。

携帯型電卓やパーソナルコンピュータが登場する以前は、対数や三角関数などの関数について、このような表がしばしば作成され、出版されていた。^{[注6 ]}

棒グラフは、定義域が有限集合、自然数、または整数である関数を表すことができます。この場合、定義域の要素xはx軸の区間で表され、対応する関数の値f ( x )は、底辺がxに対応する区間で高さがf ( x )である長方形で表されます(負の値の場合は、棒グラフはx軸より下に伸びます)。

頻繁に発生する標準的な機能がいくつかあります。

• すべての集合Xに対して、一意の関数が存在し、それは空関数、または空写像は空集合からXへのである。空関数のグラフは空集合である。 ^{[注 7 ]}空関数の存在は、理論の一貫性を保つため、また多くの記述における空集合に関する例外を回避するために必要である。関数を順序付き三つ組として定義する通常の集合論的定義の下では、各集合に対してちょうど 1 つの空関数が存在する。したがって、空関数は 1 である。${\displaystyle \varnothing \to X}$等しくない${\displaystyle \varnothing \to Y}$かつその場合に限り${\displaystyle X\neq Y}$ただし、それらのグラフはどちらも空集合です。
• 任意の集合Xと任意の単一要素集合{ s }に対して、 Xから{ s }への一意な関数が存在し、 Xのすべての要素をsに写像します。Xが空集合でない限り、これは全射です (下記参照) 。
• 関数が与えられた場合${\displaystyle f:X\to Y,}$fからその像への正準射影${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$は、 Xからf ( X )への関数であり、 xをf ( x )に写像します。
• 集合Xの任意の部分集合Aに対して、AからXへの包含写像は、 Aのすべての要素をそれ自身に写像する単射関数 (下記参照) である。
• 集合X上の恒等関数は、しばしばid _Xと表記され、 Xをそれ自身に含めることである。

2つの関数が与えられた場合${\displaystyle f:X\to Y}$そして${\displaystyle g:Y\to Z}$gの定義域がfの値域であるとき、それらの合成関数は${\displaystyle g\circ f:X\rightarrow Z}$定義される

$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$$

つまり、${\displaystyle g\circ f}$は、まずxにfを適用してy = f ( x )を得て、次にその結果yにgを適用してg ( y ) = g ( f ( x ))を得ることによって得られます。この表記では、最初に適用される関数は常に右側に記述されます。

構成${\displaystyle g\circ f}$これは、最初の関数の終域が2番目の関数の定義域である場合にのみ定義される関数に対する演算です。${\displaystyle g\circ f}$そして${\displaystyle f\circ g}$これらの条件を満たす場合、合成は必ずしも可換ではない、つまり関数は${\displaystyle g\circ f}$そして${\displaystyle f\circ g}$必ずしも等しい必要はなく、同じ引数に対して異なる値を返す可能性があります。たとえば、f ( x ) = x² ^、g ( x ) = x + 1とすると、${\displaystyle g(f(x))=x^{2}+1}$そして${\displaystyle f(g(x))=(x+1)^{2}}$同意する${\displaystyle x=0.}$

関数合成は、次の意味で結合的である。${\displaystyle (h\circ g)\circ f}$そして${\displaystyle h\circ (g\circ f)}$が定義されれば、もう一方もまた定義され、それらは等しい、つまり、${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).}$したがって、単に次のように書くのが一般的です${\displaystyle h\circ g\circ f.}$

恒等関数${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$そして${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$はそれぞれ、XからYへの関数に対する右恒等式と左恒等式です。つまり、f が定義域X、値域Yの関数である場合、次のようになります。 ${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.}$

• 
  合成関数g ( f ( x )) は、2 つの「機械」の組み合わせとして視覚化できます。
• 
  関数合成の簡単な例
• 
  別の構成。この例では、( g ∘ f )(c) = #。

させて${\displaystyle f:X\to Y.}$領域Xの要素xのfによる像はf ( x )である。^{[ 6 ]} A がXの任意の部分集合である場合、fによるAの像( f ( A )と表記) は、 Aの要素のすべての像からなる終域Yの部分集合である。^{[ 6 ]}すなわち、

$${\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.}$$

fの像は定義域全体の像、つまりf ( X )です。^{[ 17 ]}また、 fの値域とも呼ばれますが、^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}値域という用語は終域を指す場合もあります。^{[ 9 ] [ 17 ] [ 18 ]}

一方、終域Yの要素yのfによる逆像または逆像は、 fによる像がyと等しい定義域Xのすべての要素の集合である。^{[ 6 ]}記号では、 yの逆像は次のように表される。${\displaystyle f^{-1}(y)}$そして、それは次の式で与えられる。

$${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}$$

同様に、終域Yの部分集合Bの逆像は、 Bの要素の逆像の集合、すなわち、像がBに属するXのすべての要素からなる領域Xの部分集合である。^{[ 6 ]}これは次のように表される。${\displaystyle f^{-1}(B)}$そして、それは次の式で与えられる。

$${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.}$$

例えば、${\displaystyle \{4,9\}}$二乗関数の下にあるのは、${\displaystyle \{-3,-2,2,3\}}$。

関数の定義により、定義域の要素xの像は常に値域の単一の要素になります。しかし、逆像は${\displaystyle f^{-1}(y)}$終域の要素yは空であるか、任意の数の要素を含む可能性があります。たとえば、fが整数から整数自身への関数であり、すべての整数を 0 に写像する場合、${\displaystyle f^{-1}(0)=\mathbb {Z} }$。

もし${\displaystyle f:X\to Y}$が関数であり、AとBがXの部分集合であり、CとDがYの部分集合である場合、次の性質が成り立つ。

• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)}$
• ${\displaystyle C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)}$
• ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A))}$
• ${\displaystyle C\supseteq f(f^{-1}(C))}$
• ${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$
• ${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)}$

終域の要素yのfによる逆像は、文脈によっては、fによるyのファイバーと呼ばれることがあります。

関数fに逆関数が存在する場合 (下記参照)、この逆関数は次のように表されます。${\displaystyle f^{-1}.}$この場合${\displaystyle f^{-1}(C)}$画像を示す場合${\displaystyle f^{-1}}$またはCのfによる逆像。これらの集合は等しいので、これは問題ありません。表記法${\displaystyle f(A)}$そして${\displaystyle f^{-1}(C)}$要素としていくつかの部分集合を含む集合の場合、曖昧になる可能性がある。${\displaystyle \{x,\{x\}\}.}$この場合、例えば角括弧を使うなど、注意が必要になる場合があります。${\displaystyle f[A],f^{-1}[C]}$部分集合の像と逆像には通常の括弧を使用し、要素の像と逆像には通常の括弧を使用します。

させて${\displaystyle f:X\to Y}$関数である。

関数fは、Xの任意の異なる 2 つの要素aとbに対してf ( a ) ≠ f ( b )である場合に単射(または一対一、または単射である)である。^{[ 17 ] [ 19 ]}同様に、fは、すべての に対して、${\displaystyle y\in Y,}$原像${\displaystyle f^{-1}(y)}$要素は最大で 1 つしか含まない。空関数は常に単射である。Xが空集合でない場合、関数fが単射であるのは、関数が存在する場合に限る。${\displaystyle g:Y\to X}$そのため${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$すなわち、f が左逆関数を持つ場合。^{[ 19 ]}証明：fが単射である場合、g を定義するために、要素を選択します。${\displaystyle x_{0}}$X （ Xは空でないと想定されるため存在する）において、 ^{[注8 ]}、gは次のように定義される。${\displaystyle g(y)=x}$もし${\displaystyle y=f(x)}$そして${\displaystyle g(y)=x_{0}}$もし${\displaystyle y\not \in f(X).}$逆に、${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$そして${\displaystyle y=f(x),}$ それから${\displaystyle x=g(y),}$そしてこうして${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\}.}$

関数fは、その値域が である場合に全射(またはへの上、または全射である)である。${\displaystyle f(X)}$その値域に等しい${\displaystyle Y}$つまり、各要素について${\displaystyle y}$終域の要素が存在する${\displaystyle x}$ドメインの${\displaystyle f(x)=y}$（言い換えれば、原像${\displaystyle f^{-1}(y)}$あらゆる${\displaystyle y\in Y}$は空でない）。^{[ 17 ] [ 20 ]}現代数学で通常行われるように選択公理を仮定すると、fが全射であるのは、関数が存在する場合に限る。${\displaystyle g:Y\to X}$そのため${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y},}$すなわち、f が右逆関数を持つ場合。^{[ 20 ]}選択公理が必要となるのは、fが全射である場合、g を次のように定義するからである。${\displaystyle g(y)=x,}$どこ${\displaystyle x}$は任意に選択された要素です${\displaystyle f^{-1}(y).}$

関数fは、単射かつ全射である場合に全単射（または全単射または一対一対応）である。 ^{[ 17 ] [ 21 ]}つまり、すべての に対して、 が成り立つ場合にfは全単射である。${\displaystyle y\in Y,}$原像${\displaystyle f^{-1}(y)}$ちょうど 1 つの要素を含みます。関数fが全単射であるのは、逆関数、つまり関数f が 1 個存在する場合に限ります。${\displaystyle g:Y\to X}$そのため${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$そして${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.}$^{[ 21 ]}（全射の場合とは異なり、これは選択公理を必要としない。証明は簡単である）。

すべての機能${\displaystyle f:X\to Y}$合成として因数分解できる${\displaystyle i\circ s}$全射とそれに続く単射の式で、s はXからf ( X )への標準的な全射であり、i はf ( X )からYへの標準的な単射である。これはfの標準的な因数分解である。

「One-to-one」と「onto」は、古い英語文献でより一般的だった用語です。「injective」、「surjective」、「bijective」は、もともと20世紀第2四半期にブルバキグループによってフランス語で造語され、英語に取り入れられました。^{[ 22 ]}注意すべき点として、「1対1関数」は単射関数であり、「1対1対応」は全単射関数を指します。また、「fはXをYに 写像する」という記述は、「 fはXをBに 写像する」という記述とは異なり、前者はfが全射であることを示唆していますが、後者はfの性質について何も主張していません。複雑な推論では、1文字の違いを見落としやすいです。この古い用語の紛らわしさから、これらの用語は、より対称的であるという利点もあるブルバキアンの用語に比べて人気が低下しています。

もし${\displaystyle f:X\to Y}$は関数であり、SはXの部分集合であるとき、の制限は${\displaystyle f}$Sへ、と表記される${\displaystyle f|_{S}}$は、 SからYへの関数であり、次のように定義されます。

$${\displaystyle f|_{S}(x)=f(x)}$$

Sのすべてのxに対して。制限を使用して部分逆関数を定義できます。関数の定義域に部分集合Sが存在する場合${\displaystyle f}$そのため${\displaystyle f|_{S}}$が単射である場合、${\displaystyle f|_{S}}$そのイメージに${\displaystyle f|_{S}(S)=f(S)}$は全単射であり、したがって からの逆関数を持つ。${\displaystyle f(S)}$Sへ。 1 つの応用例は、逆三角関数の定義です。 例えば、コサイン関数は区間[ 0, π ]に制限すると単射になります。 この制限の像は区間[ −1, 1 ]であり、したがって制限には[ −1, 1 ]から[ 0, π ]への逆関数があり、これは逆コサインと呼ばれ、 arccos と表記されます。

関数制限は、関数同士を「つなぎ合わせる」ためにも使用できます。${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$Xを部分集合の和集合として分解したものとし、関数が${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to Y}$各${\displaystyle U_{i}}$各ペアに対して${\displaystyle i,j}$指標の制限${\displaystyle f_{i}}$そして${\displaystyle f_{j}}$に${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$等しい。すると、これは一意の関数を定義する。${\displaystyle f:X\to Y}$そのため${\displaystyle f|_{U_{i}}=f_{i}}$すべてのiに対して。これは多様体上の関数が定義される方法です。

関数fの拡張とは、 f がgの制限となるような関数gのことである。この概念の典型的な使用例は解析接続であり、これにより、定義域が複素平面のごく一部である関数を、定義域が複素平面のほぼ全体である関数に拡張することができる。

実数直線のホモグラフィを研究する際に遭遇する関数拡張のもう一つの古典的な例を以下に示します。ホモグラフィとは関数です。${\displaystyle h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$ad − bc ≠ 0となるような。定義域は、以下の値と異なるすべての実数の集合である。${\displaystyle -d/c,}$そしてその像は、${\displaystyle a/c.}$実数直線を∞ を含めて射影的に拡張した実数直線に拡張すると、 h を拡張した実数直線からそれ自身への全単射に拡張することができる。${\displaystyle h(\infty )=a/c}$そして${\displaystyle h(-d/c)=\infty }$。

実関数とは、実変数の実数値 関数、すなわち、終域が実数体であり、定義域が区間を含む実数の集合である関数のことです。このセクションでは、これらの関数を単に関数と呼びます。

数学とその応用において最も一般的に扱われる関数は、連続性、微分可能性、さらには解析性といった一定の規則性を持っています。この規則性によって、これらの関数はグラフによって視覚化することができます。このセクションでは、すべての関数は何らかの区間で微分可能であるものとします。

関数は点ごとの演算を享受する。つまり、fとg が関数である場合、それらの和、差、積は次のように定義される関数である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.}$$

結果として得られる関数の定義域は、fとgの定義域の共通部分である。2 つの関数の商は、同様に次のように定義される。

$${\displaystyle {\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}$$

しかし、結果として得られる関数の定義域は、fとgの定義域の交点からgの零点を取り除くことによって得られます。

多項式関数は多項式によって定義され、その定義域は実数全体です。これには定数関数、線形関数、二次関数が含まれます。有理関数は2つの多項式関数の商であり、その定義域はゼロ除算を避けるために有限個の実数を除いた実数です。最も単純な有理関数は関数です。${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}},}$そのグラフは双曲線であり、定義域は0を除く実数全体である。

実微分可能な関数の導関数は実関数です。連続実関数の原始関数は、元の関数を導関数として持つ実関数です。例えば、関数${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$は正の実数上で連続であり、微分も可能です。したがって、 x = 1のときに値がゼロになる原始関数は、自然対数と呼ばれる微分可能な関数です。

実関数fは、ある区間において、その符号が${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$区間内のxとyの選択には依存しません。関数が区間内で微分可能であれば、導関数の符号が区間内で一定であれば、関数は単調です。実関数fが区間Iで単調であれば、逆関数を持ちます。これは、定義域がf ( I )で像がIである実関数です。このようにして、三角関数を用いて逆三角関数が定義されます。ここで、三角関数は単調です。別の例: 自然対数は正の実数で単調であり、その像は実数全体です。したがって、実数と正の実数の間の全単射である逆関数を持ちます。この逆関数は指数関数です。

他の多くの実関数は、陰関数定理（逆関数はその特殊な例）によって定義されるか、微分方程式の解として定義されます。例えば、正弦関数と余弦関数は、線形微分方程式の解です。

$${\displaystyle y''+y=0}$$

そのため

$${\displaystyle \sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.}$$

関数の終域の要素がベクトルである場合、その関数はベクトル値関数と呼ばれます。このような関数は、例えば物理的特性のモデリングなど、様々な応用分野で特に有用です。例えば、流体の各点に速度ベクトルを割り当てる関数は、ベクトル値関数です。

ベクトル値関数の中には、サブセット上で定義されるものがある。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$または、幾何学的または位相的特性を共有する他の空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$多様体など。これらのベクトル値関数はベクトル場と呼ばれます。