数学 において 、 体 上の 双対系 、 双対対 、または 双対性は、2 つの ベクトル空間 、 および 、 および非 退化 双線型写像 からなる 3 つ組です 。
け
{\displaystyle \mathbb {K} }
（ バツ 、 はい 、 b ）
{\displaystyle (X,Y,b)}
バツ
{\displaystyle X}
はい
{\displaystyle Y}
け
{\displaystyle \mathbb {K} }
b : バツ × はい →
け
{\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }
数学 において 、 双対性は 二重システムの研究であり、 関数解析 において重要です。双対性は ヒルベルト空間 の理論に広範囲に応用されるため、 量子力学 において重要な役割を果たします。
定義、表記法、慣例
ペアリング あ 体上の ペアリング または ペアは 、 と表記されることもある 3つ組で 上の 2つのベクトル空間 と 、 および ペアリングに関連付けられた双線型写像 と 呼ばれる 双線型写像 、 、あるいは単にペアリングの 写像 またはその 双線型形式 と呼ばれる双線型写像から構成されます。ここでの例は、 実数 または 複素数 の が、数学的な理論は一般的なものです。
け
{\displaystyle \mathbb {K} }
（ バツ 、 はい 、 b ） 、
{\displaystyle (X,Y,b),}
b （ バツ 、 はい ） 、
{\displaystyle b(X,Y),}
バツ
{\displaystyle X}
はい
{\displaystyle Y}
け
{\displaystyle \mathbb {K} }
b : バツ × はい →
け
{\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }
け
{\displaystyle \mathbb {K} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Ｃ
{\displaystyle \mathbb {C} }
任意の に対して を定義し
、任意の に対して を 定義します
。
任意の は 上の 線型関数 であり 、任意のは 上の 線型関数 です 。したがって、どちらも
線型関数
のベクトル空間を形成します 。
x ∈ バツ
{\displaystyle x\in X}
b （ x 、 ⋅ ） :
はい
→
け
ええ
↦
b （ x 、 ええ ）
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}
ええ ∈ はい 、
{\displaystyle y\in Y,}
b （ ⋅ 、 ええ ） :
バツ
→
け
x
↦
b （ x 、 ええ ） 。
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}
b （ x 、 ⋅ ）
{\displaystyle b(x,\,\cdot \,)}
はい
{\displaystyle Y}
b （ ⋅ 、 ええ ）
{\displaystyle b(\,\cdot \,,y)}
バツ
{\displaystyle X}
b （ バツ 、 ⋅ ） := { b （ x 、 ⋅ ） : x ∈ バツ }
そして
b （ ⋅ 、 はい ） := { b （ ⋅ 、 ええ ） : ええ ∈ はい } 、
{\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ および }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\},}
の代わりに と 書くことが一般的であり 、場合によっては、ペアリングは ではなくで示されることがあります。ただし、この記事では 、この主題に精通していない読者の混乱を避けるために、 を
標準的な 評価マップ （以下で定義）のみに使用します。
⟨ x 、 ええ ⟩
{\displaystyle \langle x,y\rangle }
b （ x 、 ええ ）
{\displaystyle b(x,y)}
⟨
バツ 、 はい
⟩
{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
（ バツ 、 はい 、 ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ ）
{\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
デュアルペアリング ペアリング は
（ バツ 、 はい 、 b ）
{\displaystyle (X,Y,b)}
デュアルシステム 、 デュアルペア [ または 双線形形式 が非 退化で ある場合 上の 双対性は 成り立ち、これは次の 2 つの分離公理を満たすことを意味します。
け
{\displaystyle \mathbb {K} }
b
{\displaystyle b}
はい
{\displaystyle Y}
の点を分離（区別）します 。 が と なるような場合 、 となります。または同等に、すべての非ゼロ に対して 、マップは 同一ではありません（つまり、 各 に対して と なるような が 存在します ）。
バツ
{\displaystyle X}
x ∈ バツ
{\displaystyle x\in X}
b （ x 、 ⋅ ） = 0
{\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}
x = 0
{\displaystyle x=0}
x ∈ バツ
{\displaystyle x\in X}
b （ x 、 ⋅ ） : はい →
け
{\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }
0
{\displaystyle 0}
ええ ∈ はい
{\displaystyle y\in Y}
b （ x 、 ええ ） ≠ 0
{\displaystyle b(x,y)\neq 0}
x ∈ バツ
{\displaystyle x\in X}
バツ
{\displaystyle X}
は の点を分離（区別）します 。 が と なるような場合 、 となります。または同等に、すべての非ゼロ に対して、 マップは 同一ではありません （つまり、 各 に対して と なるような が存在します ）。
はい
{\displaystyle Y}
ええ ∈ はい
{\displaystyle y\in Y}
b （ ⋅ 、 ええ ） = 0
{\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}
ええ = 0
{\displaystyle y=0}
ええ ∈ はい 、
{\displaystyle y\in Y,}
b （ ⋅ 、 ええ ） : バツ →
け
{\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }
0
{\displaystyle 0}
x ∈ バツ
{\displaystyle x\in X}
b （ x 、 ええ ） ≠ 0
{\displaystyle b(x,y)\neq 0}
ええ ∈ はい
{\displaystyle y\in Y}
この場合は 非退化 であり、 は と を 双対性 （または、冗長だが明示的には 分離した双対性）に 配置する と言えます 。 は、 3 つの の 双対性ペアリング と呼ばれます 。
b
{\displaystyle b}
b
{\displaystyle b}
バツ
{\displaystyle X}
はい
{\displaystyle Y}
b
{\displaystyle b}
（ バツ 、 はい 、 b ）
{\displaystyle (X,Y,b)}
合計サブセット の サブセット は
S
{\displaystyle S}
はい
{\displaystyle Y}
任意の に対して が成り立つ場合 、 ことを意味します
の全部分集合は 同様 に定義されます (脚注を参照)。 [注 1] したがって、 が の全部分集合である 場合に限り、 の点が分離されます 。
についても同様です
x ∈ バツ
{\displaystyle x\in X}
b （ x 、 s ） = 0
全ての
s ∈ S
{\displaystyle b(x,s)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}
x = 0.
{\displaystyle x=0.}
バツ
{\displaystyle X}
バツ
{\displaystyle X}
はい
{\displaystyle Y}
バツ
{\displaystyle X}
バツ
{\displaystyle X}
はい
{\displaystyle Y}
直交性 ベクトル と は、のとき 直交し 、 と表記さ れ ます 。 2 つの部分集合 と は、のとき 直交し 、 と表記されます。 つまり、 すべての およびに対して である場合です 。部分集合がベクトルに直交するという定義は、 同様に と 定義されます。
x
{\displaystyle x}
ええ
{\displaystyle y}
x ⊥ ええ
{\displaystyle x\perp y}
b （ x 、 ええ ） = 0
{\displaystyle b(x,y)=0}
R ⊆ バツ
{\displaystyle R\subseteq X}
S ⊆ はい
{\displaystyle S\subseteq Y}
R ⊥ S
{\displaystyle R\perp S}
b （ R 、 S ） = { 0 }
{\displaystyle b(R,S)=\{0\}}
b （ r 、 s ） = 0
{\displaystyle b(r,s)=0}
r ∈ R
{\displaystyle r\in R}
s ∈ S
{\displaystyle s\in S}
部分集合の 直交補集合 または 相殺 集合 は です
。 したがって、 が の全部分集合で ある場合、かつ が に等しい場合に 限ります 。
R ⊆ バツ
{\displaystyle R\subseteq X}
R
⊥
:= { ええ ∈ はい : R ⊥ ええ } := { ええ ∈ はい : b （ R 、 ええ ） = { 0 } }
{\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}
R
{\displaystyle R}
X
{\displaystyle X}
R
⊥
{\displaystyle R^{\perp }}
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
極座標 上のペアリングを定義する 3つ組が与えられたとき 、の 絶対極集合 または の 部分集合の 極集合は 次の集合である: 対称的に の 絶対極集合または の部分集合の極集合 は で表され 、 で定義される。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
A
∘
:=
{
y
∈
Y
:
sup
x
∈
A
|
b
(
x
,
y
)
|
≤
1
}
.
{\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}
B
{\displaystyle B}
Y
{\displaystyle Y}
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
B
∘
:=
{
x
∈
X
:
sup
y
∈
B
|
b
(
x
,
y
)
|
≤
1
}
.
{\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}
双対性の両側の反対称性を追跡するのに役立つ簿記を使用すると、 のサブセットの絶対極は、 の 絶対前極 または 前極 とも呼ばれ、 で表すことができます。
B
{\displaystyle B}
Y
{\displaystyle Y}
B
{\displaystyle B}
B
∘
.
{\displaystyle B^{\circ }.}
極座標は 必然的に、 がバランスしているなら も であり 、 が のベクトル部分空間で あれば のベクトル部分空間でもある を 含む 凸集合である。
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
0
∈
Y
{\displaystyle 0\in Y}
B
{\displaystyle B}
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
B
{\displaystyle B}
X
{\displaystyle X}
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
Y
.
{\displaystyle Y.}
が のベクトル部分空間である 場合、これは の 実極 とも等しくなります。 の場合 、 の 双極子 ( と表記) は の直交補集合の極子 、つまり集合です 。同様に、 の場合、 の双極子 は
A
{\displaystyle A}
X
,
{\displaystyle X,}
A
∘
=
A
⊥
{\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}
A
.
{\displaystyle A.}
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
A
{\displaystyle A}
A
∘
∘
{\displaystyle A^{\circ \circ }}
A
{\displaystyle A}
∘
(
A
⊥
)
.
{\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right).}
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
B
{\displaystyle B}
B
∘
∘
:=
(
∘
B
)
∘
.
{\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}
二重の定義と結果 ペアリングが与えられた場合、 すべての およびに対して となる 新しいペアリングを定義する 。
(
X
,
Y
,
b
)
,
{\displaystyle (X,Y,b),}
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
d
(
y
,
x
)
:=
b
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(y,x):=b(x,y)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
双対性理論には、ペアリングの定義には必ずそのペアリングの双対定義が存在するという 一貫したテーマがある。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
(
Y
,
X
,
d
)
.
{\displaystyle (Y,X,d).}
規則と定義 : ペアリングに対する任意の定義が与えられた場合、 それをペアリングに適用することで 双対定義 が得られます 。これらの規則は定理にも適用されます。
(
X
,
Y
,
b
)
,
{\displaystyle (X,Y,b),}
(
Y
,
X
,
d
)
.
{\displaystyle (Y,X,d).}
たとえば、「は の点を区別します (それぞれ、「 は の完全なサブセットです」) が上記のように定義されている場合、この規則により、「 は の点を区別します (それぞれ、「 は の完全なサブセットです」) という二重の定義が直ちに生成されます 。
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
S
{\displaystyle S}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
この表記法はほぼ普遍的であり、記号を割り当てることを避けることができる。
d
.
{\displaystyle d.}
規則と表記法 : ペアリングに対する定義とその表記法 が と の順序に依存する場合 (たとえば、 上の Mackey 位相 の定義)、 と の順序を入れ替えると 、 定義が に適用されることを意味します (同じ例を続けると、位相 は 実際には位相 を表します )。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
τ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \tau (X,Y,b)}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
Y
,
{\displaystyle Y,}
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
τ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \tau (Y,X,b)}
τ
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle \tau (Y,X,d)}
別の例として、 上の弱い位相 が で定義されると 、この双対定義は自動的にペアリングに適用され 、 上の弱い位相の定義が得られ 、この位相は ではなくで表されます 。
X
{\displaystyle X}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
Y
{\displaystyle Y}
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
σ
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,d)}
の識別
(
X
,
Y
)
{\displaystyle (X,Y)}
と
(
Y
,
X
)
{\displaystyle (Y,X)}
技術的には正しくなく、表記法の乱用ではあるが、この記事では、ペアリングをと互換的に扱い 、また で表記するという 、ほぼ普遍的な慣例に従う。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
(
Y
,
X
,
b
)
.
{\displaystyle (Y,X,b).}
例
ペアリングの制限 が ペアリング、 が のベクトル部分空間 、が の ベクトル部分空間であるとします 。このとき、 から への 制限 は ペアリング です。 が双対性である 場合 、制限が双対性にならない可能性があります (たとえば、 および の場合 )。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
M
{\displaystyle M}
X
,
{\displaystyle X,}
N
{\displaystyle N}
Y
{\displaystyle Y}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
M
×
N
{\displaystyle M\times N}
(
M
,
N
,
b
|
M
×
N
)
.
{\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right).}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
Y
≠
{
0
}
{\displaystyle Y\neq \{0\}}
N
=
{
0
}
{\displaystyle N=\{0\}}
この記事では、制限を 次のように表記する一般的な慣例を使用します。
(
M
,
N
,
b
|
M
×
N
)
{\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}
(
M
,
N
,
b
)
.
{\displaystyle (M,N,b).}
ベクトル空間上の正準双対性 が ベクトル空間であり、 が の 代数的双対空間 （つまり、 上のすべての線型関数の空間） を表すとします。 に は標準双対性があり、 は 評価写像 、または上の 自然 または 標準 双線型関数 と呼ばれます。
特に、任意の に対して は を表す別の方法にすぎないことに注意してください 。つまり、
X
{\displaystyle X}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
(
X
,
X
#
,
c
)
{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
c
(
x
,
x
′
)
=
⟨
x
,
x
′
⟩
=
x
′
(
x
)
,
{\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x),}
X
×
X
#
.
{\displaystyle X\times X^{\#}.}
x
′
∈
X
#
,
{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\#},}
c
(
⋅
,
x
′
)
{\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}
x
′
{\displaystyle x^{\prime }}
c
(
⋅
,
x
′
)
=
x
′
(
⋅
)
=
x
′
.
{\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}
が のベクトル部分空間である 場合、 から へ の制限は 標準ペアリング と呼ばれます 。ここで、このペアリングが双対性である場合は、代わりに 標準双対性 と呼ばれます。明らかに、 は常に の点を区別するため、 が の点を分離する 場合に限り、標準ペアリングは双対系です
。次の表記法は、現在、双対性理論でほぼ普遍的です。
N
{\displaystyle N}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
(
X
,
X
#
,
c
)
{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
X
×
N
{\displaystyle X\times N}
X
{\displaystyle X}
N
{\displaystyle N}
N
{\displaystyle N}
X
.
{\displaystyle X.}
評価マップは（ではなく ） で表され、 ではなく と表記されます。
⟨
x
,
x
′
⟩
=
x
′
(
x
)
{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}
c
{\displaystyle c}
⟨
X
,
N
⟩
{\displaystyle \langle X,N\rangle }
(
X
,
N
,
c
)
.
{\displaystyle (X,N,c).}
仮定 : 慣例通り、が ベクトル空間でが 上の線型関数のベクトル空間である場合 、特に断りがない限り、それらは標準的なペアリングに関連付けられていると仮定されます。
X
{\displaystyle X}
N
{\displaystyle N}
X
,
{\displaystyle X,}
⟨
X
,
N
⟩
.
{\displaystyle \langle X,N\rangle .}
が のベクトル部分空間である 場合 、 の点を区別する場合 （または同等に、 は双対性である）、 および が の点を区別する場合に限ります。または 同等に、 が全である場合（つまり、 すべて に対して は を意味する ）に限ります。
N
{\displaystyle N}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
X
{\displaystyle X}
N
{\displaystyle N}
(
X
,
N
,
c
)
{\displaystyle (X,N,c)}
N
{\displaystyle N}
X
,
{\displaystyle X,}
N
{\displaystyle N}
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle n(x)=0}
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
位相ベクトル空間上の正準双対性 が連続双対空間を持つ 位相ベクトル空間 (TVS) で ある とします。この場合、正準双対性の × へ
の制限により、 の点を分離する ペアリングが定義されます。 が の点を分離する
場合 (たとえば、 がハウスドルフ局所凸空間である場合に当てはまります)、このペアリングは双対性を形成します。
X
{\displaystyle X}
X
′
.
{\displaystyle X^{\prime }.}
(
X
,
X
#
,
c
)
{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
(
X
,
X
′
,
c
|
X
×
X
′
)
{\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}
X
{\displaystyle X}
X
′
.
{\displaystyle X^{\prime }.}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
仮定 : 一般的に行われているように、 TVSの場合は、特に明記しない限り、コメントなしでそれが標準的なペアリングに関連付けられていると想定されます。
X
{\displaystyle X}
⟨
X
,
X
′
⟩
.
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}
TVS の極性と双対性 次の結果は、 TVS 上の 連続線形関数が 、まさに原点の近傍で制限される線形関数であることを示しています。
内積空間と複素共役空間 プレ ヒルベルト空間 が双対となるのは、 が 上のベクトル空間であるか 、 が 次元を持つ場合のみです。 ここでは、 セスクイリニア形式 が第 2 座標で 共役同次 であり、第 1 座標で同次であると仮定します。
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
H
{\displaystyle H}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
H
{\displaystyle H}
0.
{\displaystyle 0.}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
が実 ヒルベルト空間 である 場合 、 双対系を形成します。
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
(
H
,
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
が複素 ヒルベルト空間 である場合 、双対系が形成されるのは、 が 自明でない 場合であり、 内積が 双線型ではなく 二線型であるため、ペアリングも形成されない。
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
(
H
,
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
dim
H
=
0.
{\displaystyle \operatorname {dim} H=0.}
H
{\displaystyle H}
(
H
,
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
が複素プレヒルベルト空間であり、スカラー乗法が通常どおり並置またはドットで表されていると します
。右辺が のスカラー乗法を使用する
マップを定義します
。 が の 複素共役ベクトル空間を 表すもの
と します。 ここで は の加法群を表します (したがって、 でのベクトル加算は でのベクトル加算と同じです )。ただし、 でのスカラー乗法は マップになります ( に備わっているスカラー乗法の代わりに)。
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
⋅
.
{\displaystyle \cdot .}
⋅
⊥
⋅
:
C
×
H
→
H
by
c
⊥
x
:=
c
¯
x
,
{\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}
H
.
{\displaystyle H.}
H
¯
{\displaystyle {\overline {H}}}
H
,
{\displaystyle H,}
H
¯
{\displaystyle {\overline {H}}}
(
H
,
+
)
{\displaystyle (H,+)}
H
¯
{\displaystyle {\overline {H}}}
H
{\displaystyle H}
H
¯
{\displaystyle {\overline {H}}}
⋅
⊥
⋅
{\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}
H
{\displaystyle H}
によって定義される マップは 両方の座標で線形であり [注 2] 、したがって 双対を形成します。
b
:
H
×
H
¯
→
C
{\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }
b
(
x
,
y
)
:=
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }
(
H
,
H
¯
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}
その他の例
全ての点 について と とする と、 は の点を区別する が の点を区別しない のペアリングとなる 。 さらに、
X
=
R
2
,
{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},}
Y
=
R
3
,
{\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{3},}
(
x
1
,
y
1
)
∈
X
and
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
∈
Y
,
{\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}
b
(
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
)
:=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
.
{\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
X
{\displaystyle X}
Y
,
{\displaystyle Y,}
Y
{\displaystyle Y}
X
.
{\displaystyle X.}
X
⊥
:=
{
y
∈
Y
:
X
⊥
y
}
=
{
(
0
,
0
,
z
)
:
z
∈
R
}
.
{\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}
(ただし は となるようなもの) とする と、 は 双対 系になります。
0
<
p
<
∞
,
{\displaystyle 0<p<\infty ,}
X
:=
L
p
(
μ
)
,
{\displaystyle X:=L^{p}(\mu ),}
Y
:=
L
q
(
μ
)
{\displaystyle Y:=L^{q}(\mu )}
q
{\displaystyle q}
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
b
(
f
,
g
)
:=
∫
f
g
d
μ
.
{\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
とを 同じ体上のベクトル空間とする と 、双線型形式により と が 双対性を持つようになる。
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
K
.
{\displaystyle \mathbb {K} .}
b
(
x
⊗
y
,
x
∗
⊗
y
∗
)
=
⟨
x
′
,
x
⟩
⟨
y
′
,
y
⟩
{\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
X
#
×
Y
#
{\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}
シーケンス 空間 と、次の ように定義される双線型写像を持つ その ベータ双対 は、双対システムを形成します。
X
{\displaystyle X}
Y
:=
X
β
{\displaystyle Y:=X^{\beta }}
⟨
x
,
y
⟩
:=
∑
i
=
1
∞
x
i
y
i
{\displaystyle \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
y
∈
X
β
{\displaystyle y\in X^{\beta }}
弱いトポロジー が上の ベクトル空間 のペアリングである とする
。 の 場合、 （および） によって誘導される 上の弱い位相は 上の最も弱い TVS 位相であり、 または で表され、 すべての写像が 上の範囲 として連続になるだけである が文脈から明らかでない場合は 、 のすべてであると仮定する必要があり、 その場合、 （によって誘導される） 上の 弱い位相 と呼ばれる。 または という表記は （混乱が生じない場合）単に が 弱い位相に恵まれていること を表すために使用される。
重要なのは、弱い位相は 上の通常の位相の 関数 と の ベクトル空間 構造に 完全に依存するが、 の 代数構造 には依存 しないこと である。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
K
.
{\displaystyle \mathbb {K} .}
S
⊆
Y
{\displaystyle S\subseteq Y}
X
{\displaystyle X}
S
{\displaystyle S}
b
{\displaystyle b}
X
,
{\displaystyle X,}
σ
(
X
,
S
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,S,b)}
σ
(
X
,
S
)
,
{\displaystyle \sigma (X,S),}
b
(
⋅
,
y
)
:
X
→
K
{\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }
y
{\displaystyle y}
S
.
{\displaystyle S.}
S
{\displaystyle S}
Y
,
{\displaystyle Y,}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
σ
(
X
,
S
,
b
)
,
{\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},}
X
σ
(
X
,
S
)
,
{\displaystyle X_{\sigma (X,S)},}
X
σ
{\displaystyle X_{\sigma }}
X
{\displaystyle X}
σ
(
X
,
S
,
b
)
.
{\displaystyle \sigma (X,S,b).}
b
,
{\displaystyle b,}
C
,
{\displaystyle \mathbb {C} ,}
X
{\displaystyle X}
Y
.
{\displaystyle Y.}
同様に、 のとき、 （および） によって誘導される 上の 弱い 位相 の双対定義は、 または単に と表記される （詳細は脚注を参照）。 [注 3]
R
⊆
X
{\displaystyle R\subseteq X}
Y
{\displaystyle Y}
R
{\displaystyle R}
b
{\displaystyle b}
σ
(
Y
,
R
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,R,b)}
σ
(
Y
,
R
)
{\displaystyle \sigma (Y,R)}
定義と表記法 : " " が位相的な定義 (例: -収束、 -有界 など) に付加されている場合、最初の空間 (つまり ) が位相を持つときの定義を意味します。混乱が生じなければ 、 や の 記述 を省略できます。したがって、たとえば、 内のシーケンスが " -収束する" または "弱収束する" 場合、これは 内で収束することを意味します が、 内のシーケンスの場合 は 内で収束することを意味します 。
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
cl
σ
(
X
,
Y
,
b
)
(
S
)
,
{\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S),}
X
{\displaystyle X}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
b
{\displaystyle b}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
(
a
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
Y
{\displaystyle Y}
σ
{\displaystyle \sigma }
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
,
b
)
)
{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}
X
{\displaystyle X}
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
位相は 局所的に凸で ある。なぜなら、 が 上に存在する として 定義される 半ノルムの族によって決定されるからである ネット が に
収束 する 場合、かつその場合 に 限り 、
すべて に対して が に 収束 する。 が ヒルベルト空間内の 正規直交 ベクトルの列である
場合、 は 0 に弱収束するが、 0 (または他の任意のベクトル) にはノルム収束しない。
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
p
y
:
X
→
R
{\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }
p
y
(
x
)
:=
|
b
(
x
,
y
)
|
,
{\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|,}
y
{\displaystyle y}
Y
.
{\displaystyle Y.}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
X
,
{\displaystyle X,}
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
x
{\displaystyle x}
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
x
{\displaystyle x}
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
.
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
x
{\displaystyle x}
y
∈
Y
,
{\displaystyle y\in Y,}
b
(
x
i
,
y
)
{\displaystyle b\left(x_{i},y\right)}
b
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle b(x,y).}
(
x
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
(
x
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
がペアリングであり、 が の適切なベクトル部分空間で、が 双対ペアである 場合、 は よりも 厳密に 粗い。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
N
{\displaystyle N}
Y
{\displaystyle Y}
(
X
,
N
,
b
)
{\displaystyle (X,N,b)}
σ
(
X
,
N
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,N,b)}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
.
{\displaystyle \sigma (X,Y,b).}
有界部分集合 の 部分集合 が -有界となるのは
、
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
sup
|
b
(
S
,
y
)
|
<
∞
for all
y
∈
Y
,
{\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}
|
b
(
S
,
y
)
|
:=
{
b
(
s
,
y
)
:
s
∈
S
}
.
{\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}.}
ハウスドルフネス がペアリングの場合 、以下は同等です。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
X
{\displaystyle X}
のポイントを区別します 。
Y
{\displaystyle Y}
この写像は から の 代数的双対空間への 射影 を定義する 。
y
↦
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
ハウスドルフ である 。
弱表現定理 次の定理は、双対性理論にとって根本的に重要である。なぜなら、それは連続双対空間を完全に特徴付けるからである。
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
.
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}
弱表現定理 — を 体上のペアリングと する と、 の 連続双対空間は 、 さらに、
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
K
.
{\displaystyle \mathbb {K} .}
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
b
(
⋅
,
Y
)
:=
{
b
(
⋅
,
y
)
:
y
∈
Y
}
.
{\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}
が上の 連続線型関数 である 場合、 となる ものが存在する 。そのような が存在する場合、 が の点を区別する 場合に限り、 は一意である。
f
{\displaystyle f}
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
f
=
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)}
y
{\displaystyle y}
X
{\displaystyle X}
Y
.
{\displaystyle Y.}
の点を区別する かどうかは、 の特定の選択に依存しないことに注意してください。
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
y
.
{\displaystyle y.}
の連続双対空間は、 次の商空間と同一視できる 。
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
Y
/
X
⊥
,
{\displaystyle Y/X^{\perp },}
X
⊥
:=
{
y
∈
Y
:
b
(
x
,
y
)
=
0
for all
x
∈
X
}
.
{\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0{\text{ for all }}x\in X\}.}
これは、ポイントを区別する か どうかに関係なく当てはまります 。
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
X
.
{\displaystyle X.}
その結果、 の 連続双対空間 は
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
′
=
b
(
⋅
,
Y
)
:=
{
b
(
⋅
,
y
)
:
y
∈
Y
}
.
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}
標準的なペアリングに関して、 が、連続双対空間が 上の点を分離する TVS である場合 （つまり、 が ハウスドルフであり、 も必然的にハウスドルフであることを意味する ）、 の連続双対空間は、 上の範囲としての 「点 での評価 」写像のすべての集合（つまり、 を に 送る写像 ）に等しくなります。 これは通常、 と書き表されます。
この非常に重要な事実は、連続双対空間 上の極位相（たとえば 上の 強双対位相 など）の結果が、元の TVS にもしばしば適用できる理由です 。たとえば、 と同一視されるということは、 上の 位相を 上の位相として考えることができることを意味します
。 さらに、 が よりも 細かい 位相を備えている場合 、 の連続双対空間には が 部分集合として 必ず含まれます。 たとえば、 が強い双対位相を持つ場合（したがって は と表記される ）、 は
、（とりわけ） が、 例えば強い双対位相によって誘導される部分空間位相を持つことが可能となります（この位相は強い 双対 位相とも呼ばれ、 反射空間 の理論に登場します 。ハウスドルフの局所凸 TVS は、 のとき 半反射的 であると言われ、 さらに の強い双対位相 が の元の/開始位相 に等しいときも 反射的と 呼ばれます ）。
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
(
X
,
σ
(
X
,
X
′
)
)
{\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}
X
{\displaystyle X}
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
X
{\displaystyle X}
x
′
∈
X
′
{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}
x
′
(
x
)
{\displaystyle x^{\prime }(x)}
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
′
=
X
or
(
X
σ
′
)
′
=
X
.
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}
β
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
(
X
σ
′
)
′
{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
β
(
(
X
σ
′
)
′
,
X
σ
′
)
{\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}
(
X
σ
′
)
′
{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
X
.
{\displaystyle X.}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
(
X
σ
′
)
′
{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
β
′
{\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}
(
X
β
′
)
′
⊇
(
X
σ
′
)
′
=
X
{\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}
X
{\displaystyle X}
β
(
(
X
β
′
)
′
,
X
β
′
)
{\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}
X
{\displaystyle X}
(
X
β
′
)
′
=
X
{\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}
β
(
(
X
β
′
)
′
,
X
β
′
)
{\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
直交、商、部分空間 がペアリングである場合、 の 任意の部分集合に対して :
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
S
⊥
=
(
span
S
)
⊥
=
(
cl
σ
(
Y
,
X
,
b
)
span
S
)
⊥
=
S
⊥⊥⊥
{\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}
そしてこの集合は 閉集合である。
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
S
⊆
S
⊥⊥
=
(
cl
σ
(
X
,
Y
,
b
)
span
S
)
{\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}
; したがって、が の -閉ベクトル部分空間 である 場合、
S
{\displaystyle S}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
X
{\displaystyle X}
S
⊆
S
⊥⊥
.
{\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}
が の閉ベクトル部分空間 の族である 場合 、
(
S
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
X
{\displaystyle X}
(
⋂
i
∈
I
S
i
)
⊥
=
cl
σ
(
Y
,
X
,
b
)
(
span
(
⋃
i
∈
I
S
i
⊥
)
)
.
{\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}
が の部分集合の族である 場合 、
(
S
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}
X
{\displaystyle X}
(
⋃
i
∈
I
S
i
)
⊥
=
⋂
i
∈
I
S
i
⊥
.
{\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}
がノルム空間である場合、 正準双対性のもとで、 はノルム閉であり 、 はノルム閉である
X
{\displaystyle X}
S
⊥
{\displaystyle S^{\perp }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
S
⊥⊥
{\displaystyle S^{\perp \perp }}
X
.
{\displaystyle X.}
部分空間 が のベクトル部分空間である とし 、 が へ の制限を表すものとする。 上の
弱い位相は から継承される 部分 空間位相 と同一である。
M
{\displaystyle M}
X
{\displaystyle X}
(
M
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (M,Y,b)}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
M
×
Y
.
{\displaystyle M\times Y.}
σ
(
M
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (M,Y,b)}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
.
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}
また、 は対空間（ を 意味する ）であり、 は 次のように定義される。
(
M
,
Y
/
M
⊥
,
b
|
M
)
{\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}
Y
/
M
⊥
{\displaystyle Y/M^{\perp }}
Y
/
(
M
⊥
)
{\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}
b
|
M
:
M
×
Y
/
M
⊥
→
K
{\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }
(
m
,
y
+
M
⊥
)
↦
b
(
m
,
y
)
.
{\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}
この位相は から継承される 部分 空間位相 に等しい。
さらに、が 双対系であれば
σ
(
M
,
Y
/
M
⊥
,
b
|
M
)
{\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}
M
{\displaystyle M}
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
.
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
(
M
,
Y
/
M
⊥
,
b
|
M
)
.
{\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right).}
商 がのベクトル部分空間である とすると、は
次 のように定義される
対空間となる。
M
{\displaystyle M}
X
.
{\displaystyle X.}
(
X
/
M
,
M
⊥
,
b
/
M
)
{\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}
b
/
M
:
X
/
M
×
M
⊥
→
K
{\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }
(
x
+
M
,
y
)
↦
b
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}
この位相は によって 誘導される 通常の 商位相と同一である。
σ
(
X
/
M
,
M
⊥
)
{\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
X
/
M
.
{\displaystyle X/M.}
極座標と弱い位相 が 局所凸空間であり、が 連続双対空間の部分集合である場合 、が-有界 である ことは、 の任意の 樽 に対して
X
{\displaystyle X}
H
{\displaystyle H}
X
′
,
{\displaystyle X^{\prime },}
H
{\displaystyle H}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
H
⊆
B
∘
{\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}
B
{\displaystyle B}
X
.
{\displaystyle X.}
以下の結果は、極性トポロジを定義する上で重要です。
がペアリングで ある場合、 次のようになります。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
A
⊆
X
,
{\displaystyle A\subseteq X,}
の 極 は、
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
A
{\displaystyle A}
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
,
b
)
)
.
{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b)).}
次の集合の極座標は同一である: (a) ; (b) の凸包 ; (c) の 平衡包 ; (d) の -閉包 ; (e) の 凸平衡包 の -閉包
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
A
{\displaystyle A}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
A
.
{\displaystyle A.}
双極 定理 ：で表される の双極は、 の凸均衡包の -閉包 に等しい。
A
,
{\displaystyle A,}
A
∘
∘
,
{\displaystyle A^{\circ \circ },}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
A
.
{\displaystyle A.}
特に双極定理は「双対性を扱う上で欠かせないツールである」 [ 4
A
{\displaystyle A}
が有界であるとき、そしてその場合 に 限り、 が 吸収する
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
Y
.
{\displaystyle Y.}
さらに が の点を区別する場合、 が - 有界で あるのは、 が - 完全に有界である 場合に限ります。
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
A
{\displaystyle A}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
が対で、が双対性と矛盾しない 局所凸位相である 場合 、 の部分集合 が の 樽 で あり、かつ がの -有界部分集合 の 極 である場合に限る
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
τ
{\displaystyle \tau }
X
{\displaystyle X}
B
{\displaystyle B}
X
{\displaystyle X}
(
X
,
τ
)
{\displaystyle (X,\tau )}
B
{\displaystyle B}
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
Y
.
{\displaystyle Y.}
転置する
ペアリングに関する線形写像の転置 と を 上のペアリング とし 、 を 線型写像とします。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
すべての に対して を で定義される写像と します 。次の条件が満たされる場合、
の 転置 または随伴写像 は 明確に定義されている
と言えます。
z
∈
Z
,
{\displaystyle z\in Z,}
c
(
F
(
⋅
)
,
z
)
:
X
→
K
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} }
x
↦
c
(
F
(
x
)
,
z
)
.
{\displaystyle x\mapsto c(F(x),z).}
F
{\displaystyle F}
X
{\displaystyle X}
の点を区別する（または同等に、 から への 代数的双対への 写像は に単射で ある ）、そして
Y
{\displaystyle Y}
y
↦
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
Y
{\displaystyle Y}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
c
(
F
(
⋅
)
,
Z
)
⊆
b
(
⋅
,
Y
)
,
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),}
ここで 、および 。
c
(
F
(
⋅
)
,
Z
)
:=
{
c
(
F
(
⋅
)
,
z
)
:
z
∈
Z
}
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\}}
b
(
⋅
,
Y
)
:=
{
b
(
⋅
,
y
)
:
y
∈
Y
}
{\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}
この場合、任意の に対して、 となる 唯一の が存在する（条件 2 より） 。ここで のこの要素は で表される。
これは線型写像を定義する。
z
∈
Z
{\displaystyle z\in Z}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
c
(
F
(
⋅
)
,
z
)
=
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)}
Y
{\displaystyle Y}
t
F
(
z
)
.
{\displaystyle {}^{t}F(z).}
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
は、および に関する の 転置 または 随伴関数
F
{\displaystyle F}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
と呼ばれます（ エルミート随伴関数 と混同しないでください）。上で述べた 2 つの条件（つまり、「転置が明確に定義されている」）は 、 が明確に定義されている ためにも必要であることは容易にわかります。任意の に対して の定義条件は 、
すべての に対して
、
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
z
∈
Z
,
{\displaystyle z\in Z,}
t
F
(
z
)
{\displaystyle {}^{t}F(z)}
c
(
F
(
⋅
)
,
z
)
=
b
(
⋅
,
t
F
(
z
)
)
,
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}
c
(
F
(
x
)
,
z
)
=
b
(
x
,
t
F
(
z
)
)
{\displaystyle c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right)}
x
∈
X
.
{\displaystyle x\in X.}
この記事の冒頭で述べた慣例によれば、これは [注4] [注5] [注6] [注7] などの形式の線型写像の転置も定義します（脚注を参照）。
Z
→
Y
,
{\displaystyle Z\to Y,}
X
→
Z
,
{\displaystyle X\to Z,}
W
→
Y
,
{\displaystyle W\to Y,}
Y
→
W
,
{\displaystyle Y\to W,}
転置の性質 全体を通して、 およびは 上のペアリングとなり 、転置が 明確に定義された
線形マップとなります。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
が単射 （すなわち） である ためには、 の範囲が において稠密であることが必要である。
ker
t
F
=
{
0
}
{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}
F
{\displaystyle F}
(
W
,
σ
(
W
,
Z
,
c
)
)
.
{\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right).}
が明確に定義されていることに加えて 、 の転置 も明確に定義されている場合、
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
t
t
F
=
F
.
{\displaystyle {}^{tt}F=F.}
が上のペアリングであり 、が転置 が明確に定義されている 線型写像であると する 。すると、 の転置は 明確に定義されており、
(
U
,
V
,
a
)
{\displaystyle (U,V,a)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
E
:
U
→
X
{\displaystyle E:U\to X}
t
E
:
Y
→
V
{\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}
F
∘
E
:
U
→
W
,
{\displaystyle F\circ E:U\to W,}
t
(
F
∘
E
)
:
Z
→
V
,
{\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V,}
t
(
F
∘
E
)
=
t
E
∘
t
F
.
{\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.}
がベクトル空間同型 ならば、は全単射であり、 その 転置は 明確に定義され、
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
F
−
1
:
W
→
X
,
{\displaystyle F^{-1}:W\to X,}
t
(
F
−
1
)
:
Y
→
Z
,
{\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z,}
t
(
F
−
1
)
=
(
t
F
)
−
1
{\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}}
とする と、は の 絶対極 を表す 。
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
S
∘
{\displaystyle S^{\circ }}
A
,
{\displaystyle A,}
[
F
(
S
)
]
∘
=
(
t
F
)
−
1
(
S
∘
)
{\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}
; ある 人にとって は 、
F
(
S
)
⊆
T
{\displaystyle F(S)\subseteq T}
T
⊆
W
,
{\displaystyle T\subseteq W,}
t
F
(
T
∘
)
⊆
S
∘
{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}
が となる 場合、 と なる 。
T
⊆
W
{\displaystyle T\subseteq W}
t
F
(
T
∘
)
⊆
S
∘
,
{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ },}
F
(
S
)
⊆
T
∘
∘
{\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }}
および が弱閉円板である 場合、 で あることは、またその場合に限ります 。
T
⊆
W
{\displaystyle T\subseteq W}
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
t
F
(
T
∘
)
⊆
S
∘
{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}
F
(
S
)
⊆
T
{\displaystyle F(S)\subseteq T}
ker
t
F
=
[
F
(
X
)
]
⊥
.
{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.}
これらの結果は、 絶対極の代わりに 実極を使用した場合に当てはまります。 とが それらの標準双対性の下でノルム空間であり、が連続線型写像である場合 、 [
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
‖
F
‖
=
‖
t
F
‖
.
{\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}
弱い連続性 が連続である場合、線型写像は 弱連続 です（ および に関して ） 。
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
→
(
W
,
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}
次の結果は、転置写像の存在が弱位相と密接に結びついていることを示しています。
命題 — の 点を区別し 、が 線型写像であると
仮定します。このとき、以下は同値です。
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
F
{\displaystyle F}
弱連続である（つまり、 連続である）
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
→
(
W
,
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}
c
(
F
(
⋅
)
,
Z
)
⊆
b
(
⋅
,
Y
)
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}
; の転置は 明確に定義されています。
F
{\displaystyle F}
が弱連続であれ
ば
F
{\displaystyle F}
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
は弱連続であり、 連続していることを意味します。
t
F
:
(
Z
,
σ
(
Z
,
W
,
c
)
)
→
(
Y
,
(
Y
,
X
,
b
)
)
{\displaystyle {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))}
の転置が明確に定義されるのは、 が の点を区別する 場合のみであり、 その場合
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
Z
{\displaystyle Z}
W
,
{\displaystyle W,}
t
t
F
=
F
.
{\displaystyle {}^{tt}F=F.}
弱位相と標準双対性 がベクトル空間で、 が その代数的双対であると 仮定する。すると、 のすべての - 有界部分集合は 有限次元ベクトル部分空間に含まれ、 のすべてのベクトル部分空間は- 閉で ある 。
X
{\displaystyle X}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
σ
(
X
,
X
#
)
{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
σ
(
X
,
X
#
)
{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}
弱い完全性 が完全な位相ベクトル空間 である 場合、は -完全 である か、（曖昧さが生じない場合） 弱完全である と言う。弱完全ではない バナッハ空間 が存在する （ノルム位相では完全であるにもかかわらず）。
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
X
{\displaystyle X}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
がベクトル空間である 場合、正準双対性の下では、 は完全である。
逆に、が 連続双対空間を持つ ハウスドルフ 局所凸 TVSである場合、 が完全であるためには が必要で あり、つまり、 を 評価マップに 送ることで定義されるマップ （すなわち ）が全単射である場合に限ります。
X
{\displaystyle X}
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
Z
{\displaystyle Z}
Z
′
,
{\displaystyle Z^{\prime },}
(
Z
,
σ
(
Z
,
Z
′
)
)
{\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}
Z
=
(
Z
′
)
#
{\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}}
Z
→
(
Z
′
)
#
{\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}}
z
∈
Z
{\displaystyle z\in Z}
z
{\displaystyle z}
z
′
↦
z
′
(
z
)
{\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)}
特に、正準双対性に関して、 が のベクトル部分空間であり 、 が の点を分離する 場合、 が完全となるのは の場合に限り ます
。言い換えると 、 がハウスドルフであり、 弱*位相 （つまり、点ごとの収束の位相） で完全となる ような、 の 適切なベクトル部分空間は存在し ません。したがって、 ハウスドルフ 局所凸 TVS の 連続双対空間に 弱*位相 が備わっている場合 、が 完全 となるのは の場合に限り ます （つまり、上の すべての 線型関数 が連続する場合に限ります）。
Y
{\displaystyle Y}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
Y
{\displaystyle Y}
X
,
{\displaystyle X,}
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X))}
Y
=
X
#
.
{\displaystyle Y=X^{\#}.}
Y
≠
X
#
{\displaystyle Y\neq X^{\#}}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
(
X
,
σ
(
X
,
Y
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y))}
Y
{\displaystyle Y}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
X
σ
′
{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}
X
′
=
X
#
{\displaystyle X^{\prime }=X^{\#}}
X
{\displaystyle X}
の識別 はい 代数的双対の部分空間を持つ が の点を区別し 、 が 注入の範囲を表す場合 、 は の 代数的双対空間 のベクトル部分空間であり 、ペアリングは 標準ペアリング (ここでは自然な評価マップ) と標準的に同一視されます。特に、この状況では、 一般性を失うことなく 、 は の代数的双対 のベクトル部分空間であり、 は 評価マップであると
想定されます。
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
y
↦
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
Z
{\displaystyle Z}
X
{\displaystyle X}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
⟨
X
,
Z
⟩
{\displaystyle \langle X,Z\rangle }
⟨
x
,
x
′
⟩
:=
x
′
(
x
)
{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
b
{\displaystyle b}
慣例 ： が単射であるときはいつでも （特に が双対を形成するとき）、 一般性を失うことなく が の代数的双対空間のベクトル部分空間であると 仮定 するのが一般的であり、 は 自然な評価写像であり、 によっても表される 。
y
↦
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
Y
{\displaystyle Y}
X
,
{\displaystyle X,}
b
{\displaystyle b}
Y
{\displaystyle Y}
X
′
.
{\displaystyle X^{\prime }.}
全く同様に、が の点を区別する場合、 を の代数的双対空間 のベクトル部分空間として識別すること が可能です。
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
代数的随伴 双対性が標準双対性であり 、 線型写像の転置が 常に明確に定義されている特殊なケースでは、この転置は の 代数的随伴 と呼ばれ、 と表記されます 。つまり、この場合、すべての
に対して となります。 ただし、 の定義条件は次のとおり です。
または、同等に、
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
⟨
W
,
W
#
⟩
,
{\displaystyle \left\langle W,W^{\#}\right\rangle ,}
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
F
{\displaystyle F}
F
#
{\displaystyle F^{\#}}
F
#
=
t
F
:
W
#
→
X
#
.
{\displaystyle F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.}
w
′
∈
W
#
,
{\displaystyle w^{\prime }\in W^{\#},}
F
#
(
w
′
)
=
w
′
∘
F
{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F}
F
#
(
w
′
)
{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)}
⟨
x
,
F
#
(
w
′
)
⟩
=
⟨
F
(
x
)
,
w
′
⟩
for all
>
x
∈
X
,
{\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}>x\in X,}
F
#
(
w
′
)
(
x
)
=
w
′
(
F
(
x
)
)
for all
x
∈
X
.
{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad {\text{ for all }}x\in X.}
ある整数がの 基底で、 双対基底が 線形演算子であり 、の行列表現が に関するもの である 場合 、 の転置は に関する行列表現である 。
X
=
Y
=
K
n
{\displaystyle X=Y=\mathbb {K} ^{n}}
n
,
{\displaystyle n,}
E
=
{
e
1
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}}
X
{\displaystyle X}
E
′
=
{
e
1
′
,
…
,
e
n
′
}
,
{\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},}
F
:
K
n
→
K
n
{\displaystyle F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}
F
{\displaystyle F}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
M
:=
(
f
i
,
j
)
,
{\displaystyle M:=\left(f_{i,j}\right),}
M
{\displaystyle M}
E
′
{\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }}
F
#
.
{\displaystyle F^{\#}.}
継続性と開放性が弱い と が 双対系である 標準対（つまり と）であり、 が 線型写像であるとする。 が 弱 連続であるためには、次の同値な条件のいずれかを満たす必要がある:
⟨
X
,
Y
⟩
{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
⟨
W
,
Z
⟩
{\displaystyle \langle W,Z\rangle }
Y
⊆
X
#
{\displaystyle Y\subseteq X^{\#}}
Z
⊆
W
#
{\displaystyle Z\subseteq W^{\#}}
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
Y
)
)
→
(
W
,
σ
(
W
,
Z
)
)
{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}
連続的です。
F
#
(
Z
)
⊆
Y
{\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y}
F の転置は 、 および に関して 明確に定義されます。
t
F
:
Z
→
Y
,
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y,}
⟨
X
,
Y
⟩
{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
⟨
W
,
Z
⟩
{\displaystyle \langle W,Z\rangle }
が弱連続で あれば 連続となり、さらに
F
{\displaystyle F}
t
F
::
(
Z
,
σ
(
Z
,
W
)
)
→
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}
t
t
F
=
F
{\displaystyle {}^{tt}F=F}
位相空間間の 写像が 相対的に開いて いるとは、 が 開写像 であり 、 が の値域である場合である。
g
:
A
→
B
{\displaystyle g:A\to B}
g
:
A
→
Im
g
{\displaystyle g:A\to \operatorname {Im} g}
Im
g
{\displaystyle \operatorname {Im} g}
g
.
{\displaystyle g.}
とが 双対系であり、 が弱連続線型写像であると 仮定する。このとき、以下は同値である:
⟨
X
,
Y
⟩
{\displaystyle \langle X,Y\rangle }
⟨
W
,
Z
⟩
{\displaystyle \langle W,Z\rangle }
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
Y
)
)
→
(
W
,
σ
(
W
,
Z
)
)
{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}
比較的オープンです。 の値域 は で閉じてい ます 。
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
σ
(
Y
,
X
)
{\displaystyle \sigma (Y,X)}
Y
{\displaystyle Y}
Im
t
F
=
(
ker
F
)
⊥
{\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }}
さらに、
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
が単射（単射）であるのは、 が全射（単射）である場合に限ります。
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
が相対的に開いていて単射である 場合に限り、 は射影的です。
t
F
::
(
Z
,
σ
(
Z
,
W
)
)
→
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}
TVS間のマップの転置 2 つの TVS 間の写像の転置は、が弱連続である場合にのみ定義されます 。
F
{\displaystyle F}
が2つのハウスドルフ局所凸位相ベクトル空間間の線型写像である 場合、次のようになる。
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
が連続している場合 、それは弱連続であり、 Mackey 連続かつ強連続でもあります。
F
{\displaystyle F}
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
が弱連続である場合 、それは Mackey 連続かつ強連続です (以下で定義)。
F
{\displaystyle F}
が弱連続である場合、 の 等連続部分集合を の 等 連続部分集合に 写像する 場合に限り、 は連続である。
F
{\displaystyle F}
t
F
:
′
→
X
′
{\displaystyle {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }}
Y
′
{\displaystyle Y^{\prime }}
X
′
.
{\displaystyle X^{\prime }.}
とが ノルム空間である 場合、 が連続であることは弱連続であることと同値であり、その場合
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
F
{\displaystyle F}
‖
F
‖
=
‖
t
F
‖
.
{\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}
が連続である 場合、 が相対的に開いていることと、 が弱相対的に開いていること（つまり、 が 相対的に開いていること）は同値であり、 のすべての同連続部分集合は のいくつかの同連続部分集合の像である。
F
{\displaystyle F}
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
F
{\displaystyle F}
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
X
′
)
)
→
(
Y
,
σ
(
Y
,
Y
′
)
)
{\displaystyle F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}
Im
t
F
=
t
F
(
Y
′
)
{\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)}
Y
′
.
{\displaystyle Y^{\prime }.}
が連続注入である 場合、 は TVS埋め込み（または同等の 位相埋め込み ）であり、 のすべての同次連続部分集合が のいくつかの同次連続部分集合の像である 場合に限ります。
F
{\displaystyle F}
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
Y
′
.
{\displaystyle Y^{\prime }.}
計量可能性と分離可能性 を連続双対空間を持つ 局所凸 空間とし 、 [
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
K
⊆
X
′
.
{\displaystyle K\subseteq X^{\prime }.}
が 等連続 またはコンパクト であり 、が に稠密で ある場合、 を継承する 部分空間位相は を継承する 部分空間位相と同一である。
K
{\displaystyle K}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
D
⊆
X
′
{\displaystyle D\subseteq X^{\prime }}
span
D
{\displaystyle \operatorname {span} D}
X
,
{\displaystyle X,}
K
{\displaystyle K}
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
D
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)}
K
{\displaystyle K}
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
.
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}
が 可分かつ等 連続 である 場合、 によって誘導される部分空間位相が付与されると、は 距離化可能 に なります 。
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle K}
K
,
{\displaystyle K,}
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
,
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}
が分離可能かつ 距離化可能 である場合 、 は 分離可能です。
X
{\displaystyle X}
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
がノルム空間である 場合、 が 可分であることと、 の閉単位と呼ばれる連続双対空間が、 によって誘導される部分空間位相が与えられたときに距離化可能であることは同じです。
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
.
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}
がノルム空間であり、その連続双対空間が可分である 場合（通常のノルム位相が与えられた場合）、 は 可分です。
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
極性トポロジーとペアリングと互換性のあるトポロジー 弱い位相のみから始めて、 極集合 を使用すると、さまざまな局所凸位相が生成されます。このような位相は 極位相 と呼ばれます。弱い位相は、 この範囲で
最も弱い位相です。
全体を通して、 は上のペアリングとなり 、はの - 有界部分集合 の空でない集合となる。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
X
.
{\displaystyle X.}
極性トポロジー の部分集合の 集合が与えられたとき 、 （および） によって決定される 上の 極位相 、または 上の -位相 は、 上の唯一の位相 ベクトル空間 （TVS）位相であり 、 は
原点で近傍の 部分基底
を形成します。 にこの -位相が備わっている
場合 、それは Y と表記されます。すべての極位相は必然的に 局所的に凸 です 。 が部分集合包含に関して有向 集合 である
場合（つまり、 すべてに対して となる ものが存在する場合 ）、0 におけるこの近傍部分基底は実際に 0 における 近傍基底を形成します。
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
b
{\displaystyle b}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
{
r
G
∘
:
G
∈
G
,
r
>
0
}
{\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}
Y
{\displaystyle Y}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
G
,
K
∈
G
{\displaystyle G,K\in {\mathcal {G}}}
K
∈
G
{\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}
G
∪
H
⊆
K
{\displaystyle G\cup H\subseteq K}
次の表に、より重要な極性トポロジの一部を示します。
表記 : が 上の極位相を表す場合 、 この位相を伴う は または単に で表されます (例: の場合 となる ため、 となり 、 すべて を 伴う を表します )。
Δ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \Delta (X,Y,b)}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
Y
Δ
(
Y
,
X
,
b
)
,
{\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},}
Y
Δ
(
Y
,
X
)
{\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}
Y
Δ
{\displaystyle Y_{\Delta }}
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
Δ
=
σ
{\displaystyle \Delta =\sigma }
Y
σ
(
Y
,
X
,
b
)
,
{\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},}
Y
σ
(
Y
,
X
)
{\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}
Y
σ
{\displaystyle Y_{\sigma }}
Y
{\displaystyle Y}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
極性トポロジーに関する定義 連続
線型写像は、が連続であるとき（ および に関して ） マッキー連続で ある 。
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
F
:
(
X
,
τ
(
X
,
Y
,
b
)
)
→
(
W
,
τ
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}
線型写像は、が連続であるとき（ および に関して ） 強連続で ある 。
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
F
:
(
X
,
β
(
X
,
Y
,
b
)
)
→
(
W
,
β
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))}
有界部分集合 のサブセットが 弱有界 (それぞれ Mackey 有界 、 強く有界 ) である とは、それが で有界である場合 (それぞれ で有界、 で 有界である場合 ) です。
X
{\displaystyle X}
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
(
X
,
τ
(
X
,
Y
,
b
)
)
,
{\displaystyle (X,\tau (X,Y,b)),}
(
X
,
β
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\beta (X,Y,b))}
ペアと互換性のあるトポロジ が上のペアリングであり 、が 上 のベクトル位相である 場合、は ペアリング の位相 であり、 局所的に凸 であり 、の連続双対空間が である場合、 それは ペアリング と 両立可能 （またはと 一致している ）である。 [注 8] がの点を区別する
場合、 を の代数的双対 のベクトル部分空間として 識別することにより、定義条件は次のようになる。
一部の著者（例えば [Trèves 2006] および [Schaefer 1999]）は、ペアの位相もハウスドルフであることを要求しており、 が の点を区別する場合 （これらの著者はこれを仮定している）は
ハウスドルフでなけれ ばならない。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
X
{\displaystyle X}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
(
X
,
T
)
=
b
(
⋅
,
Y
)
.
{\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)=b(\,\cdot \,,Y).}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
(
X
,
T
)
′
=
Y
.
{\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
弱い位相は ペアリングと互換性があり （弱い表現定理で示されているように）、実際そのような位相の中で最も弱い。このペアリングと互換性のある最も強い位相があり、それは マッキー位相 である。が 反射的 でないノルム空間である場合 、その連続双対空間上の通常のノルム位相は 双対性と互換性が ない
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
N
{\displaystyle N}
(
N
′
,
N
)
.
{\displaystyle \left(N^{\prime },N\right).}
マッキー・アレンスの定理 以下は双対理論における最も重要な定理の 1 つです。
マッキー・アレンズ定理 I — を の点を区別する ペアリング 、 を 上の局所凸位相 （必ずしもハウスドルフではない）とする。 が が を覆う -コンパクト ディスク の 集合によって決定される極位相である 場合のみで ある [注 9]
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
X
{\displaystyle X}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
Y
.
{\displaystyle Y.}
すると、Mackey 位相 (これは、すべての -コンパクト ディスク によって生成される極位相であることを思い出してください)は、ペア リングと互換性のある 上の最も強い局所凸位相になります。与えられた
位相が Mackey 位相と同一である局所凸空間は、 Mackey 空間 と呼ばれます。上記の Mackey-Arens 定理の次の結果は、Mackey-Arens 定理とも呼ばれます。
τ
(
X
,
Y
,
b
)
,
{\displaystyle \tau (X,Y,b),}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
Y
,
{\displaystyle Y,}
X
{\displaystyle X}
(
X
,
Y
,
b
)
.
{\displaystyle (X,Y,b).}
マッキー・アレンズ定理II — が の点を区別する ペアリングであり 、 が 上の局所凸位相であるとすると
、 が ペアリングと両立できるのは、
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
X
.
{\displaystyle X.}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
⊆
T
⊆
τ
(
X
,
Y
,
b
)
.
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b).}
マッキーの定理、樽、そして閉じた凸集合 がTVS（ または ）の 場合、 半空間は、 ある実数 とある連続 実線 型関数の 形の集合である 。
X
{\displaystyle X}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
≤
r
}
{\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}
r
{\displaystyle r}
f
{\displaystyle f}
X
.
{\displaystyle X.}
上記の定理は、局所凸空間の閉部分集合と凸部分集合は、 連続双対空間に 完全に 依存することを意味している。したがって、閉部分集合と凸部分集合は、双対性と両立する任意の位相において同じである。つまり、およびが同じ連続双対空間を持つ 任意の局所凸位相である場合 、 の凸部分集合が位相 において閉じている必要十分条件は、 それが位相において閉じている場合である 。これは、 の任意の 凸部分集合の -閉包がその -閉包 に等しく、 の任意の - 閉円 板 に対して が等しいことを意味する。
特に、 がの部分集合である場合、 が の 樽 で ある場合 必要十分条件は、それが 樽である場合である。
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
X
{\displaystyle X}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
A
{\displaystyle A}
X
,
{\displaystyle X,}
A
=
A
∘
∘
.
{\displaystyle A=A^{\circ \circ }.}
B
{\displaystyle B}
X
{\displaystyle X}
B
{\displaystyle B}
(
X
,
L
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
(
X
,
L
)
.
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}
次の定理は、 樽型 （つまり閉じた 吸収 円盤 ）が弱有界部分集合の極座標とまったく同じであることを示しています。
が位相ベクトル空間である 場合、次の式が成り立つ:
X
{\displaystyle X}
の閉じた 吸収 平衡 部分集合 は、 の 各凸コンパクト部分集合を吸収します(つまり、その集合を含む 実数 が存在する )。
B
{\displaystyle B}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
r
>
0
{\displaystyle r>0}
r
B
{\displaystyle rB}
がハウスドルフで局所凸なら ば、 のあらゆるバレルは の あらゆる凸有界完全部分集合を吸収する。
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
.
{\displaystyle X.}
これらすべては、双対システム理論の中心的な定理の 1 つである Mackey の定理につながります。簡単に言うと、同じ双対性と互換性のある任意の 2 つのハウスドルフ局所凸位相に対して、有界部分集合は同じであることを示しています。
マッキーの定理 — が連続双対空間を持つハウスドルフ局所凸空間である とし 、標準双対性を考える。が 上の位相で 上の 双対 性と両立するもの
であれば 、 の有界部分集合は の有界部分集合と同じである。
(
X
,
L
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
⟨
X
,
X
′
⟩
.
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
X
{\displaystyle X}
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
X
{\displaystyle X}
(
X
,
L
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
(
X
,
L
)
.
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}
有限列の空間 が十分に大きいすべての に対して となる スカラー列全体の成す空間を表し 、 によって
双線型写像を定義するとします
[
1
さらに、部分集合 が - 有界 (または -有界) であるとは、すべての およびすべてのインデックス (または および ) に対して となる正の実数列 が存在する場合のみを指します
X
{\displaystyle X}
r
∙
=
(
r
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
r
i
=
0
{\displaystyle r_{i}=0}
i
.
{\displaystyle i.}
Y
=
X
{\displaystyle Y=X}
b
:
X
×
X
→
K
{\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K} }
b
(
r
∙
,
s
∙
)
:=
∑
i
=
1
∞
r
i
s
i
.
{\displaystyle b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.}
σ
(
X
,
X
,
b
)
=
τ
(
X
,
X
,
b
)
.
{\displaystyle \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b).}
T
⊆
X
{\displaystyle T\subseteq X}
σ
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,X,b)}
β
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \beta (X,X,b)}
m
∙
=
(
m
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
|
t
i
|
≤
m
i
{\displaystyle \left|t_{i}\right|\leq m_{i}}
t
∙
=
(
t
i
)
i
=
1
∞
∈
T
{\displaystyle t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T}
i
{\displaystyle i}
m
∙
∈
X
{\displaystyle m_{\bullet }\in X}
したがって、 には強く有界ではない (つまり、 有界ではない)弱有界 (つまり、 有界) のサブセットが存在することになります。
σ
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,X,b)}
X
{\displaystyle X}
β
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \beta (X,X,b)}
参照 ベータデュアル空間 双直交系 双対空間 – 数学では、線型形式のベクトル空間 デュアルトポロジー 双対性（数学） – 数学における一般的な概念と操作 内積 – 内積の一般化。ヒルベルト空間の定義に用いられる。 Pages displaying short descriptions of redirect targets L-半内積 – すべてのノルム空間に適用される内積の一般化 ペアリング – 数学における双線形写像 極集合 – 双対の特定の点によって囲まれるすべての点の部分集合（双対の場合） 極位相 – 有界部分集合の一部の集合上で一様収束する双対空間位相 還元的双対 強双対空間 – 有界集合上の一様収束の位相を備えた連続双対空間 強位相（極位相） - 有界集合上の一様収束の位相を備えた連続双対空間 Pages displaying short descriptions of redirect targets 線型写像の空間上の位相 弱位相 – 数学用語
注記
^ の サブセットが 全 であるとは 、すべての に対して が成り立つ場合です 。
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
b
(
s
,
y
)
=
0
for all
s
∈
S
{\displaystyle b(s,y)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}
y
=
0
{\displaystyle y=0}
^ 最初の座標では線形であることは明らかです。 が スカラーであると仮定します。すると、 が 2 番目の座標では線形である ことが示されます。
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
b
(
x
,
c
⊥
y
)
=
b
(
x
,
c
¯
y
)
=
⟨
x
,
c
¯
y
⟩
=
c
⟨
x
,
y
⟩
=
c
b
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle b(x,c\perp y)=b\left(x,{\overline {c}}y\right)=\langle x,{\overline {c}}y\rangle =c\langle x,y\rangle =cb(x,y),}
b
{\displaystyle b}
^ 上の弱い位相は、 上 の最も弱い TVS 位相であり、 が 上の範囲と なるため、 すべての写像が連続になります。 または の双対表記は 、単に が 弱い位相を備えている ことを表すためにも使用できます。 が文脈から明らかでない 場合は 、 のすべてであると仮定する必要があります。 その場合、それは単に 上の 弱い位相 ( によって誘導される ) と呼ばれます。
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
b
(
x
,
⋅
)
:
Y
→
K
{\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }
x
{\displaystyle x}
R
.
{\displaystyle R.}
(
Y
,
σ
(
Y
,
R
,
b
)
)
,
{\displaystyle (Y,\sigma (Y,R,b)),}
(
Y
,
σ
(
Y
,
R
)
)
,
{\displaystyle (Y,\sigma (Y,R)),}
(
Y
,
σ
)
{\displaystyle (Y,\sigma )}
Y
{\displaystyle Y}
σ
(
Y
,
R
,
b
)
.
{\displaystyle \sigma (Y,R,b).}
R
{\displaystyle R}
X
,
{\displaystyle X,}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
^ が線型写像である 場合、 の転置は、 が の点を と と区別する 場合に限り明確に定義されます。 この場合、 それぞれに対して の 定義条件は 次のようになります。
G
:
Z
→
Y
{\displaystyle G:Z\to Y}
G
{\displaystyle G}
t
G
:
X
→
W
,
{\displaystyle {}^{t}G:X\to W,}
Z
{\displaystyle Z}
W
{\displaystyle W}
b
(
X
,
G
(
⋅
)
)
⊆
c
(
W
,
⋅
)
.
{\displaystyle b(X,G(\,\cdot \,))\subseteq c(W,\,\cdot \,).}
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
t
G
(
x
)
{\displaystyle {}^{t}G(x)}
c
(
x
,
G
(
⋅
)
)
=
c
(
t
G
(
x
)
,
⋅
)
.
{\displaystyle c(x,G(\,\cdot \,))=c\left({}^{t}G(x),\,\cdot \,\right).}
^ が線型写像である 場合、 の転置は、 が の点を と と区別する 場合に限り明確に定義されます。 この場合、 それぞれに対して の 定義条件は 次のようになります。
H
:
X
→
Z
{\displaystyle H:X\to Z}
H
{\displaystyle H}
t
H
:
W
→
Y
,
{\displaystyle {}^{t}H:W\to Y,}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
c
(
W
,
H
(
⋅
)
)
⊆
b
(
⋅
,
Y
)
.
{\displaystyle c(W,H(\,\cdot \,))\subseteq b(\,\cdot \,,Y).}
w
∈
W
,
{\displaystyle w\in W,}
t
H
(
w
)
{\displaystyle {}^{t}H(w)}
c
(
w
,
H
(
⋅
)
)
=
b
(
⋅
,
t
H
(
w
)
)
.
{\displaystyle c(w,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(w)\right).}
^ が線型写像である 場合、 の転置は、 が の点を と と区別する 場合に限り明確に定義されます。 この場合、 それぞれに対して の 定義条件は 次のようになります。
H
:
W
→
Y
{\displaystyle H:W\to Y}
H
{\displaystyle H}
t
H
:
X
→
Q
,
{\displaystyle {}^{t}H:X\to Q,}
W
{\displaystyle W}
Z
{\displaystyle Z}
b
(
X
,
H
(
⋅
)
)
⊆
c
(
⋅
,
Z
)
.
{\displaystyle b(X,H(\,\cdot \,))\subseteq c(\,\cdot \,,Z).}
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
t
H
(
x
)
{\displaystyle {}^{t}H(x)}
c
(
x
,
H
(
⋅
)
)
=
b
(
⋅
,
t
H
(
x
)
)
.
{\displaystyle c(x,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(x)\right).}
^ が線型写像である 場合、 の転置は、 が の点を と と区別する 場合に限り明確に定義されます。 この場合、 それぞれに対して の 定義条件は 次のようになります。
H
:
Y
→
W
{\displaystyle H:Y\to W}
H
{\displaystyle H}
t
H
:
Z
→
X
,
{\displaystyle {}^{t}H:Z\to X,}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
c
(
H
(
⋅
)
,
Z
)
⊆
b
(
X
,
⋅
)
.
{\displaystyle c(H(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(X,\,\cdot \,).}
z
∈
Z
,
{\displaystyle z\in Z,}
t
H
(
z
)
{\displaystyle {}^{t}H(z)}
c
(
H
(
⋅
)
,
z
)
=
b
(
t
H
(
z
)
,
⋅
)
{\displaystyle c(H(\,\cdot \,),z)=b\left({}^{t}H(z),\,\cdot \,\right)}
^ もちろん、上のトポロジーが 「ペアリングと互換性がある」という類似の定義がありますが、この記事では上のトポロジーのみを扱います。
Y
{\displaystyle Y}
X
.
{\displaystyle X.}
^ 集合の部分集合の集合は、 のすべての点が その集合に属する何らかの集合に含まれている場合、 被覆する と言われることを思い出してください。
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
参考文献
文献 ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. マイケル・リードとバリー・サイモン、 「現代数理物理学の方法」第1巻、関数解析、 セクション III.3。アカデミック・プレス、サンディエゴ、1980年。ISBN 0-12-585050-6 。 ルディン、ウォルター (1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135. Schmitt, Lothar M (1992). 「ハーン・バナッハの定理の同変バージョン」 Houston J. Of Math . 18 : 429–447. トレヴ、フランソワ (2006) [1967]。 トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル 。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。 ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322.
外部リンク
![{\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c6a7922d41cd0fe07bef446e4e0beaa0b711b1)
![{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b541687345423da736a58a0e4fe8f6ef17c72f8)
