ホモグラフィー

射影幾何学において、ホモグラフィは、射影空間の同型写像であり、射影空間が由来するベクトル空間の同型写像によって誘導される。 ^{[ 1 ]}これは直線を直線に写像する全単射であり、したがって共線写像である。一般に、共線写像の中にはホモグラフィではないものもあるが、射影幾何学の基本定理は、次元が2以上の実射影空間の場合はそうではないと主張している。同義語には、射影性、射影変換、射影共線写像などがある。

歴史的に、ホモグラフィー（および射影空間）は、ユークリッド幾何学における透視と射影を研究するために導入され、語源的には「類似の描画」を大まかに意味するホモグラフィーという用語は、この時代に由来します。19 世紀末には、射影空間の形式的な定義が導入され、無限遠点と呼ばれる新しい点を追加することで、ユークリッド空間とアフィン空間が拡張されました。「射影変換」という用語は、これらの抽象的な構成から生まれました。これらの構成は、同等であることが示された 2 つのクラスに分かれます。射影空間は、与えられた体上のベクトル空間の直線の集合として構成できます(上記の定義はこのバージョンに基づいています)。この構成により、射影座標の定義が容易になり、線形代数のツールをホモグラフィーの研究に使用できます。別のアプローチは、明示的にどの体も含まない一連の公理によって射影空間を定義することです (接続幾何学、合成幾何学も参照)。この文脈では、同型写像よりも同型写像の方が定義しやすく、同型写像は特定の同型写像として定義されるため、「射影同型写像」と呼ばれる。

簡潔にするため、特に断りのない限り、本稿で扱う射影空間は（可換）体上で定義されているものとする。同様に、パップスの六角形定理とデサルグの定理が成り立つものと仮定する。これらの定理が成り立たない射影幾何学においても、結果の大部分は依然として成り立つか、あるいは一般化できる。

Historically, the concept of homography had been introduced to understand, explain and study visual perspective, and, specifically, the difference in appearance of two plane objects viewed from different points of view.

In three-dimensional Euclidean space, a central projection from a point O (the center) onto a plane P that does not contain O is the mapping that sends a point A to the intersection (if it exists) of the line OA and the plane P. The projection is not defined if the point A belongs to the plane passing through O and parallel to P. The notion of projective space was originally introduced by extending the Euclidean space, that is, by adding points at infinity to it, in order to define the projection for every point except O.

Given another plane Q, which does not contain O, the restriction to Q of the above projection is called a perspectivity.

With these definitions, a perspectivity is only a partial function, but it becomes a bijection if extended to projective spaces. Therefore, this notion is normally defined for projective spaces. The notion is also easily generalized to projective spaces of any dimension, over any field, in the following way:

Given two projective spaces P and Q of dimension n, a perspectivity is a bijection from P to Q that may be obtained by embedding P and Q in a projective space R of dimension n + 1 and restricting to P a central projection onto Q.

f がPからQへの透視変換であり、g が中心が異なるQからPへの透視変換である場合、 Pの次元が 2 以上のとき、 g ⋅ fはPから P 自身へのホモグラフィであり、中心共線変換と呼ばれます。（下記の「中心共線変換」および「透視変換」の項を参照してください。）  

元々、ホモグラフィは有限個の透視図法の合成として定義されていました。 ^{[ 2 ]}この定義が、序論で概説され、以下に詳述されているより代数的な定義と一致することは、射影幾何学の基本定理の一部です（下記参照）。

体K上のn次元射影空間P ( V ) は、n + 1次元のKベクトル空間Vにおける原点を通る直線の集合として定義できます。V の基底が固定されている場合、 Vの点はK ^{n +1}の点( x ₀ , ..., x _n )で表すことができます。P( V )の点はV内の直線であるため、この直線上の任意の非ゼロ点の座標で表すことができ、これらの座標は射影点の同次座標と呼ばれます。

同じ次元の2 つの射影空間 P( V ) と P( W ) が与えられたとき、ホモグラフィとは、ベクトル空間の同型写像f : V → Wによって誘導される、P( V ) から P( W ) への写像のことです。このような同型写像は、 fの線形性により、P( V ) から P( W ) への全単射を誘導します。このような同型写像fとgが、 Kの非零元aが存在してg = afとなる場合に限り、同じホモグラフィを定義します。 

これは同次座標を用いて次のように記述できます。ホモグラフィφ は、非特異な( n + 1) × ( n + 1)行列[ a _{i , j} ]によって定義され、これをホモグラフィの行列と呼びます。この行列は、Kの非ゼロ要素による乗算を除いて定義されます。点の同次座標[ x ₀ : ... : x _n ]と、 φによるその点の像の座標[ y ₀ : ... : y _n ]は、次の関係式で表されます。    

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}&=a_{0,0}x_{0}+\dots +a_{0,n}x_{n}\\&\vdots \\y_{n}&=a_{n,0}x_{0}+\dots +a_{n,n}x_{n}.\end{aligned}}}$

射影空間がアフィン空間に無限遠点を追加することによって定義される場合（射影完備化）、前述の式はアフィン座標では次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&={\frac {a_{1,0}+a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}}{a_{0,0}+a_{0,1}x_{1}+\dots +a_{0,n}x_{n}}}\\&\vdots \\y_{n}&={\frac {a_{n,0}+a_{n,1}x_{1}+\dots +a_{n,n}x_{n}}{a_{0,0}+a_{0,1}x_{1}+\dots +a_{0,n}x_{n}}}\end{aligned}}}$

これは、次節で説明する同次関数の表現を一般化したものである。この表現は、アフィン空間間の部分関数のみを定義し、分母がゼロとなる超平面の外側でのみ定義される。

体K上の射影直線は、Kと「無限遠点」と呼ばれる点の和集合と同一視でき、∞ で表される (射影直線を参照)。この射影直線の表現では、ホモグラフィは写像である。

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},{\text{ where }}ad-bc\neq 0,}$

これらは同次関数または線形分数変換と呼ばれます。

リーマン球面と同一視できる複素射影直線の場合、ホモグラフィーはメビウス変換と呼ばれます。これらは、向きを保存し、等角写像であるリーマン球面の全単射に正確に対応します。^{[ 3 ]}

In the study of collineations, the case of projective lines is special due to the small dimension. When the line is viewed as a projective space in isolation, any permutation of the points of a projective line is a collineation,^[4] since every set of points are collinear. However, if the projective line is embedded in a higher-dimensional projective space, the geometric structure of that space can be used to impose a geometric structure on the line. Thus, in synthetic geometry, the homographies and the collineations of the projective line that are considered are those obtained by restrictions to the line of collineations and homographies of spaces of higher dimension. This means that the fundamental theorem of projective geometry (see below) remains valid in the one-dimensional setting. A homography of a projective line may also be properly defined by insisting that the mapping preserves cross-ratios.^[5]

A projective frame or projective basis of a projective space of dimension n is an ordered set of n + 2 points such that no hyperplane contains n + 1 of them. A projective frame is sometimes called a simplex,^[6] although a simplex in a space of dimension n has at most n + 1 vertices.

Projective spaces over a commutative field K are considered in this section, although most results may be generalized to projective spaces over a division ring.

Let P(V) be a projective space of dimension n, where V is a K-vector space of dimension n + 1, and p : V∖ {0} → P(V) be the canonical projection that maps a nonzero vector to the vector line that contains it.

P ( V )の任意のフレームに対して、フレームが( p ( e ₀ ), ..., p ( e n ₎ , p ( e ₀ + ... + e _n ))となるような Vの_基底e 0 _, ... , e n が存在し、この基底は、そのすべての要素をKの同じ非ゼロ要素で乗算することを除いて一意である。逆に、e ₀ , ..., e _{n が}Vの基底である場合、( p ( e ₀ ), ..., p ( e _n ), p ( e ₀ + ... + e _n ))はP ( V )のフレームである。

したがって、2 つのフレームが与えられたとき、最初のフレームを 2 番目のフレームに写像するホモグラフィはちょうど 1 つだけ存在する。特に、フレームの点を固定する唯一のホモグラフィは恒等写像である。この結果は、合成幾何学(射影空間が公理によって定義される)でははるかに難しい。これは、射影幾何学の第一基本定理と呼ばれることもある。^{[ 7 ]}

すべてのフレーム( p ( e ₀ ), ..., p ( e _n ), p ( e ₀ + ... + e _n ))は、射影座標、別名同次座標を定義することを可能にします。すべての点はp ( v )と書くことができ、このフレーム上のp ( v )の射影座標は、基底( e ₀ , ..., e _n )上のvの座標です。フレームもp ( v ) も変更せずにe _iとvを変更すると、射影座標がKの同じ非ゼロ要素で乗算されることを検証するのは難しくありません。

射影空間P _n ( K ) = P ( K ^{n +1} )は、K ^{n +1}の標準基底(1 つの非ゼロ要素 (1 に等しい) のみを持つ要素から構成される)のpによる像と( 1, 1, ..., 1)からなる標準フレームを持ちます。この基底では、 p ( v )の同次座標は、タプルvの要素 (係数) に等しくなります。同じ次元の別の射影空間P ( V )と、そのフレームFが与えられた場合、 F をP _n ( K )の標準フレームに写像するホモグラフィhはただ 1 つだけ存在します。フレーム F 上の点a の射影座標は、P n ( _K )の標準フレーム上のh ( a )の同次座標です。

上記の節では、線形代数を用いてホモグラフィを定義しました。総合幾何学では、ホモグラフィは伝統的に、中心共線変換と呼ばれる1つまたは複数の特殊なホモグラフィの合成として定義されます。この2つの定義が等価であることは、射影幾何学の基本定理の一部です。

次元n ≥ 2の射影空間Pにおいて、Pの共線化とは、直線を直線に写像するPからPへの全単射のことです。中心共線化(従来は透視性と呼ばれていましたが、^{[ 8 ]}この用語は別の意味を持つため紛らわしい場合があります。透視性を参照してください) は、PからPへの全単射αであり、 αによって点ごとに固定される超平面H ( αの軸と呼ばれる) (つまり、H内のすべての点Xに対してα ( X ) = X ) と、 αによって直線ごとに固定される点O ( αの中心と呼ばれる) ( Oを通る任意の直線はαによってそれ自身に写像されますが、必ずしも点ごとにではありません) が存在します。^{[ 9 ]}中心共線化には 2 種類あります。エレーションは中心が軸と一致する中心共線化であり、ホモロジーは中心が軸と一致しない中心共線化です。中心共線は、その中心、軸、および中心Oと異なり軸上にない任意の点Pの像α ( P )によって一意に定義されます。（他の任意の点Qの像α ( Q )は、 OとQによって定義される直線と、 α ( P )を通る直線と、 PとQによって定義される直線と軸との交点との交点です。）

中心共線化とは、n次元の固有空間を持つ( n + 1) × ( n + 1) 行列によって定義されるホモグラフィのことである。行列が別の固有値を持つ場合、それはホモロジーであり、したがって対角化可能である。すべての固有値が等しく、行列が対角化できない場合、それはエレーションである。

中心共線変換の幾何学的観点は、射影平面で見るのが最適である。中心共線変換αが与えられたとき、中心Oを通らない直線 ℓと、αによるその像ℓ ′ = α (ℓ)を考える。R = ℓ ∩ ℓ ′とすると、 αの軸はRを通る直線Mである。αによる ℓ の任意の点Aの像は、 OAと ℓ ′の交点である。ℓ に属さない点Bの像B ′は、次のように構成できる。S = AB ∩ Mとすると、B ′ = SA ′ ∩ OBとなる。

2 つの中心共線化の合成は、一般には依然としてホモグラフィではあるものの、中心共線化ではありません。実際、すべてのホモグラフィは有限個の中心共線化の合成です。総合幾何学では、射影幾何学の基本理論の一部であるこの性質が、ホモグラフィの定義として採用されています。^{[ 10 ]}

ホモグラフィ以外にも、コリネーションは存在する。特に、体Fの任意の体自己同型写像​​ σ は、点の（射影フレーム上の）すべての同次座標にσを適用することにより、F上のすべての射影空間のコリネーションを誘導する。これらのコリネーションは自己同型コリネーションと呼ばれる。

射影幾何学の基本定理は、以下の３つの定理から構成される。

1. 射影空間Pの 2 つの射影フレームが与えられたとき、最初のフレームを 2 番目のフレームに写像するPのホモグラフィがちょうど 1 つ存在する。
2. 射影空間Pの次元が2 以上であれば、Pのすべての共線化は、保型共線化とホモグラフィの合成である。特に、実数体上では、次元が 2 以上の射影空間のすべての共線化はホモグラフィである。^{[ 11 ]}
3. すべてのホモグラフィは、有限個の透視投影の合成である。特に、暗示される射影空間の次元が2以上であれば、すべてのホモグラフィは、有限個の中心共線変換の合成である。

射影空間が公理（総合幾何学）によって定義される場合、第3部は単なる定義となる。一方、射影空間が線形代数によって定義される場合、第1部は定義の容易な帰結となる。したがって、総合幾何学における第1部の証明と、線形代数における第3部の証明は、いずれも射影空間を定義する2つの方法の等価性を証明する上で重要なステップとなる。

すべてのホモグラフィには逆写像が存在し、 2つのホモグラフィの合成もまた別のホモグラフィとなるため、与えられた射影空間のホモグラフィは群を形成します。例えば、メビウス群は任意の複素射影直線のホモグラフィ群です。

同一次元の同一体上の射影空間はすべて同型であるため、それらのホモグラフィー群も同様に同型である。したがって、これらは複数の空間に作用する単一の群とみなされ、表記には特定の射影空間ではなく、次元と体のみが含まれる。

ホモグラフィ群は射影線形群とも呼ばれ、体F上のn次元射影空間に作用する場合、PGL( n + 1, F )と表記されます。上記のホモグラフィの定義から、PGL( n + 1, F ) は商群 GL( n + 1, F ) / F × Iと同一^視できることがわかります。ここで、GL( n + 1, F )は可逆行列の一般線形群であり、F ^× Iは( n + 1) × ( n + 1)サイズの単位行列とFの非ゼロ要素との積の群です。

Fがガロア体GF( q ) の場合、ホモグラフィー群はPGL( n , q )と表記されます。例えば、PGL(2,7) は有限体 GF(7) 上の射影直線の 8 つの点に作用し、交代群A5と同型なPGL(2,4)は₅つの点を持つ射影直線のホモグラフィー群です。^{[ 12 ]}

ホモグラフィ群PGL( n + 1, F )は、次元nの射影空間のコリネーションのコリネーション群PΓL( n + 1, F )の部分群です。射影空間の点と線をブロックデザインと見なす場合、ブロックは線に含まれる点の集合であり、コリネーション群をデザインの自己同型群と呼ぶのが一般的です。

4つの共線点の交差比は、直線のホモグラフィの研究において基礎となるホモグラフィの下で不変な量である。

体F上の射影直線上の3 つの異なる点a、b、c は、この直線の射影フレームを形成します。したがって、この直線からF ∪ {∞}への一意のホモグラフィhが存在し、aを∞に、bを 0 に、cを 1 に写像します。同じ直線上の 4 番目の点が与えられたとき、4 つの点a、b、c、dの交差比は[ a、b ; c、d ]と表記され、 F ∪ {∞}の要素h ( d )になります。言い換えれば、d が射影フレーム( a、b、c )上で同次座標[ k : 1]を持つ場合、[ a、b ; c、d ] = kとなります。^{[ 13 ]} 

Aを環とし、 Uをその単位群とする。ホモグラフィは、射影座標を持つ点U [ a, b ]からなるA上の射影直線P( A ) に作用する。P( A )上のホモグラフィは行列写像によって記述される。

${\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,\ zc+d].}$

Aが可換環の場合、ホモグラフィーは次のように書ける。

${\displaystyle z\mapsto {\frac {za+b}{zc+d}}\ ,}$

しかし、それ以外の場合は、線形分数変換は等価であるとみなされる。

${\displaystyle U[za+b,\ zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),\ 1].}$

整数環Zのホモグラフィー群はモジュラー群PSL(2, Z )である。環ホモグラフィーは四元数解析で使用されており、双対四元数とともにスクリュー理論を容易にするために使用されている。時空の共形群は、Aが双四元数の合成代数であるホモグラフィーで表すことができる。^{[ 14 ]}

ホモグラフィー${\displaystyle h={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$環がZ / n Z ( nを法とする整数) の場合、周期的である。${\displaystyle h^{n}={\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$アーサー・ケイリーは1879年に反復を計算した際に周期性に関心を持っていた。^{[ 15 ]} ホモグラフィの周期性に対する力任せのアプローチのレビューの中で、HSM コクセターは次のような分析を行った。

実ホモグラフィは、 a + d = 0の場合に限り、（周期 2 の）対合的である。周期n > 2 の周期的であれば、それは楕円的であり、 ad − bc = 1と仮定しても一般性は失われない。特性根は exp(± hπi / m ) であり、( h , m ) = 1なので、トレースはa + d = 2 cos( hπ / m )である。^{[ 16 ]}

• Wカーブ

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