和集合（集合論）

集合論において、集合の集合の和集合（∪で表される）は、集合に含まれるすべての要素の集合である。 ^{[ 1 ]}これは、集合を結合したり、互いに関連付けたりするための基本的な演算の1つである。ゼロ和とは、ゼロの和を指します（${\displaystyle 0}$⁠ )空集合と等しい。

この記事で使用されている記号の説明については、数学記号表を参照してください。

2 つの集合AとBの和集合は、 Aに含まれる要素、Bに含まれる要素、またはAとBの両方に含まれる要素の集合です。^{[ 2 ]}集合構成記法 では、

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ または }}x\in B\}}$[ ^{3 ]​}

例えば、A = {1, 3, 5, 7} かつB = {1, 2, 4, 6, 7} の場合、A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} となります。より詳細な例（2 つの無限集合を含む）は次のとおりです。

A = { xは1 より大きい偶数}

B = { xは 1 より大きい奇数}

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

別の例として、9は素数の集合{2, 3, 5, 7, 11, ...}と偶数の集合{2, 4, 6, 8, 10, ...}の和集合には含まれません。なぜなら、9は素数でも偶数でもないからです。

セットには重複する要素を持つことはできません。^{[ 3 ] [ 4 ]}したがって、セット{1, 2, 3}と{2, 3, 4}の和集合は{1, 2, 3, 4}です。

一般概念の表記法は大きく異なる場合があります。有限集合の和集合の場合${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$よく書く$${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$$または${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$任意の和集合を表す一般的な表記法には以下のようなものがある。${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$、${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$、 そして${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$これらの表記のうち最後のものは、コレクションの和集合を表します。${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$ここで、Iはインデックス集合であり、${\displaystyle A_{i}}$すべてのセットです${\displaystyle i\in I}$⁠ 。インデックス集合Iが自然数の集合である場合、次の表記法を使用します。${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$これは、級数の無限和に類似している。^{[ 7 ]}

記号「∪」が他の記号の間ではなく前に配置されると、通常はより大きなサイズで表示されます。

最も一般的な概念は、任意の集合の和集合であり、無限和集合と呼ばれることもあります。Mが要素が集合である集合またはクラスである場合、 x がM の和集合の要素であるのは、 Mの要素Aのうち、x がAの要素であるような要素が少なくとも 1 つ存在する場合に限ります。^{[ 7 ]}記号で表すと次のようになります。

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

この考え方は、前述のセクションを包含するものです。例えば、A ∪ B ∪ Cは集合{ A , B , C }の和集合です。また、Mが空の集合である場合、 Mの和集合は空集合になります。

二項和は結合法則を満たす演算です。つまり、任意の集合に対して⁠${\displaystyle A,B,{\text{ and }}C}$⁠、 $${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$$ したがって、括弧は曖昧さなく省略できます。上記のいずれも次のように記述できます。${\displaystyle A\cup B\cup C}$また、和集合は可換であるため、集合は任意の順序で記述できます。 ^{[ 9 ]} 空集合は和集合演算の単位元です。つまり、${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$任意の集合に対して${\displaystyle A}$また、和集合演算は冪等性を持つ。${\displaystyle A\cup A=A}$これらの性質はすべて、論理的選言に関する類似の事実から導かれる。

交差は和集合に対して分配される $${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$$ そして和集合は交差部分に対して分配される^{[ 2 ]}$${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$$集合の 冪集合${\displaystyle U}$は、和集合、積集合、補集合によって与えられる演算とともに、ブール代数です。このブール代数では、和集合は積集合と補集合を用いて次の式で表すことができます。 $${\displaystyle A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },}$$ 上付き文字${\displaystyle {}^{\complement }}$全体集合 の補集合を表す${\displaystyle U}$あるいは、積集合は、同様の方法で和集合と補集合を用いて表現することもできます。${\displaystyle A\cap B=(A^{\complement }\cup B^{\complement })^{\complement }}$これらの2つの表現を合わせてド・モルガンの法則と呼びます。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

英語のunionという単語は、中世フランス語で「共に集まる」という意味の言葉に由来し、これは後期ラテン語のunionem、「一体性」に由来する。^{[ 13 ]}集合論における union の元の用語はVereinigung (ドイツ語) で、1895 年にゲオルク・カントールによって導入された。^{[ 14 ]}数学における 2 つの集合の和集合という英語の使用は、少なくとも 1912 年までにジェームズ・ピアポントによって使用され始めた。^{[ 15 ] [ 16 ]}記号${\displaystyle \cup }$数学における和集合を表す記号は、1889年にジュゼッペ・ペアノが著書『算術原理』の中で、交差を表す記号とともに導入した。${\displaystyle \cap }$メンバーシップを設定する${\displaystyle \in }$、および部分集合${\displaystyle \subset }$[ ^{17 ]​}

• 集合の代数– 集合に関する恒等式と関係 
• 交替（形式言語理論） −文字列の集合の和集合
• 和集合の公理– 公理的集合論における概念 
• 互いに素な和集合– 数学において、集合に対する演算 
• 包含排除原理― 組み合わせ論における計数技法 
• 共通部分（集合論）– いくつかの集合すべてに共通する要素の集合 
• 反復二項演算– 一連の演算を繰り返し適用すること 
• 集合の恒等式と関係のリスト– 集合の組み合わせに関する等式 
• 素朴な集合論– 非形式的な集合論 
• 対称差– 2つの集合のうち、ちょうど一方にのみ含まれる要素 

• 「集合の和集合」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ProvenMathにおける無限和と無限積分：集合論の公理から正式に証明されたド・モルガンの法則。