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数学 において、関数はそれが持つ性質に基づいて分類される。これらの性質は、特定の条件下における関数の挙動を記述するものである。
これらの性質は、関数の定義域、値域、および像に関するものです。
これらの特性は、関数が引数に対する算術演算によってどのように影響を受けるかに関するものです。
否定に関して：
二項演算と順序に関して：
トポロジーと順序に関して：
測定とトポロジーに関して：
一般的に、関数は従属変数の名前と、それが何にマッピングされるべきかを計算する方法を指定することによって定義されることが多い。この目的のために、シンボルまたは教会のはよく使われます。また、数学者は関数の定義域と値域を次のように表記することもあります。これらの概念は、それぞれラムダ計算と型理論に直接拡張される。
これらは関数に対して操作を行う関数、または他の関数を生成する関数です。高階関数を参照してください。例は次のとおりです。
圏論は、射または射によって特殊関数の概念を形式化する数学の一分野です。圏は、（抽象的に）オブジェクトのクラスと、オブジェクトの任意のペアに対する射の集合から構成される代数的オブジェクトです。射には、合成と呼ばれる部分的な（あるいは依存型付きの）二項演算が提供され、すべてのオブジェクトには、そのオブジェクトに対する恒等射と呼ばれる、オブジェクト自身への特別な射が1つ存在し、合成と恒等射は特定の関係に従う必要があります。
いわゆる具体的なカテゴリーでは、対象は集合、マグマ、群、環、位相空間、ベクトル空間、距離空間、半順序、微分可能多様体、一様空間などの数学的構造に関連付けられ、2つの対象間の射はそれらの間の構造保存関数に関連付けられます。上記の例では、これらはそれぞれ関数、マグマ準同型、群準同型、環準同型、連続関数、線形変換（または行列）、距離写像、単調関数、微分可能関数、一様連続関数になります。
代数理論である圏論の利点の1つは、最小限の仮定で多くの一般的な結果を証明できることである。数学における多くの一般的な概念（例えば、全射、単射、自由対象、基底、有限表現、同型）は、純粋に圏論的な用語で定義することができる（単射、全射を参照）。
