収束半径

数学において、べき級数の収束半径とは、級数が収束する級数の中心にある最大の円板の半径のことである。これは非負の実数または である。これが正の場合、べき級数は、収束半径に等しい半径の開円板の内部にあるコンパクト セット上で絶対かつ一様に収束し、収束するのは解析関数のテイラー級数である。関数に複数の特異点がある場合 (特異点とは、関数が定義されていない引数の値である)、収束半径は、収束円板の中心から関数のそれぞれの特異点まで計算されたすべてのそれぞれの距離 (すべて非負の数) の最短または最小値である。 ${\displaystyle \infty}$

次のように定義されるべき級数fについて:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(za)^{n},}$

どこ

• aは複素定数であり 、収束円の中心である。
• c _{n は}n番目の複素係数であり、
• z は複素変数です。

収束半径rは非負の実数または次の式で収束する数である。 ${\displaystyle \infty}$

${\displaystyle |za|<r}$

そして、

${\displaystyle |za|>r.}$

存在は明らかなので、別の定義を好む人もいるかもしれません。

${\displaystyle r=\sup \left\{|za|\ \left|\ \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(za)^{n}\ {\text{ 収束する }}\right.\right\}}$

境界、つまり| z  −  a | = rでは、べき級数の挙動は複雑になり、級数はzのある値に対して収束し、他の値に対しては発散することがあります。級数がすべての複素数 zに対して収束する場合、収束半径は無限大です。^[1]

次の 2 つのケースが考えられます。

• 最初のケースは理論的なものです。すべての係数がわかっている場合は、特定の制限を取り、正確な収束半径を見つけます。${\displaystyle c_{n}}$
• 2 番目のケースは実際的です。難しい問題のべき級数解を構築する場合、通常、べき級数内の項の数は有限個しかわかりません。その数は数項から 100 項までです。この 2 番目のケースでは、プロットを外挿することで収束半径を推定します。

収束半径は、級数の項に ルートテストを適用することで求めることができます。ルートテストでは、次の数を使用します。

${\displaystyle C=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-a)^{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }\left({\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\right)|z-a|}$

「lim sup」は、限界が上であることを表します。ルートテストは、 C  < 1 の場合は級数が収束し、 C > 1の場合は発散することを述べています。したがって、 zから中心aまで の距離が以下の 場合、べき級数は収束します。

${\displaystyle r={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}}$

距離がその数を超えると発散します。この定理はコーシー・アダマールの定理です。r = 1/0 は無限大の半径と解釈され、f は完全な関数であることに注意してください。

比率テストに含まれる限界は通常は計算が容易であり、その限界が存在する場合、収束半径が有限であることを示します。

${\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$

これは次のように示される。比検定によれば、級数は収束する。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}(z-a)^{n+1}|}{|c_{n}(z-a)^{n}|}}<1.}$

それは次のものに相当する

${\displaystyle |z-a|<{\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}|}{|c_{n}|}}}}=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$

通常、科学的な応用では、有限個の係数のみが知られています。通常、が増加すると、これらの係数は、最も近い半径制限特異点によって決定される規則的な動作に落ち着きます。この場合、テイラー級数の係数が、rが収束半径である 比率に対してほぼ指数関数的であるという事実に基づいて、2 つの主要な手法が開発されました。${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/r}$

• 基本的なケースは、係数が最終的に共通の符号を共有するか、符号が交互に変わる場合です。この記事の前半で指摘したように、多くの場合、極限が存在し、この場合は です。負は、収束制限特異点が負の軸上にあることを意味します。 を に対してプロットしてこの極限を推定し、線形近似を介して(実質的に)にグラフで外挿します。 との切片は、収束半径 の逆数を推定します。このプロットはDomb–Sykes プロットと呼ばれます。^[3]${\textstyle \lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$${\textstyle 1/r=\lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle c_{n}/c_{n-1}}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle 1/n=0}$${\displaystyle n=\infty }$${\displaystyle 1/n=0}$${\displaystyle 1/r}$
• より複雑なケースは、係数の符号がより複雑なパターンを持つ場合です。Mercer と Roberts は次の手順を提案しました。^[4] 関連するシーケンスを定義します。有限個の既知の をに対してプロットし、線形近似によって にグラフ的に外挿します。 との切片は、収束半径の逆数 を推定します。$${\displaystyle b_{n}^{2}={\frac {c_{n+1}c_{n-1}-c_{n}^{2}}{c_{n}c_{n-2}-c_{n-1}^{2}}}\quad n=3,4,5,\ldots .}$$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle 1/n=0}$${\displaystyle 1/n=0}$${\displaystyle 1/r}$
  この手順では、収束限界特異点の他の 2 つの特性も推定します。最も近い特異点が 度で、実軸に対して角度を持っていると仮定します。この場合、上記の線形近似の傾きは です。さらに、 に対してプロットすると、 に外挿された線形近似は で切片を持ちます。${\displaystyle p}$${\displaystyle \pm \theta }$${\displaystyle -(p+1)/r}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {c_{n-1}b_{n}}{c_{n}}}+{\frac {c_{n+1}}{c_{n}b_{n}}}\right)}$${\textstyle 1/n^{2}}$${\textstyle 1/n^{2}=0}$${\displaystyle \cos \theta }$

正の収束半径を持つべき級数は、その引数を複素変数とすることで 正則関数にすることができます。収束半径は、次の定理によって特徴付けられます。

点aを中心とするべき級数fの収束半径は、fが正則となるような方法で定義できない最も近い点までの距離に等しくなります。

aまでの距離が収束半径よりも厳密に小さいすべての点の集合は、収束円板と呼ばれます。

最近点とは、複素平面上の最近点を意味し、中心とすべての係数が実数であっても、必ずしも実数直線上にあるとは限らない。例えば、関数

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$

は実根を持たないので、実数直線上には特異点を持たない。0 についてのテイラー級数は次のように与えられる。 ${\displaystyle 1+z^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}.}$

ルートテストにより、収束半径は 1 であることが示されます。これに従って、関数f ( z ) は ± iに特異点を持ち、その距離は 0 から 1 です。

この定理の証明については、正則関数の解析性を参照してください。

三角法の逆正接関数は、べき級数に展開できます。

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots .}$

この場合、ルート テストを適用して収束半径が 1 であることを確認するのは簡単です。

次のべき級数を考えてみましょう:

${\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}}$

ここで、有理数B _{n は}ベルヌーイ数です。この級数の収束半径を求めるために比のテストを適用するのは面倒かもしれません。しかし、上で述べた複素解析の定理は、この問題をすぐに解決します。z = 0 では、特異点は除去可能であるため、実質的に特異点は存在しません。したがって、除去不可能な特異点は、分母がゼロである他の点のみにあります。

${\displaystyle e^{z}-1=0}$

z = x + iyかつe ^iy = cos( y ) + i sin( y )であれば、

${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),}$

そして、xとy を実数とします。y は実数なので、 cos( y ) + i sin( y )の絶対値は必然的に 1 になります。 したがって、 e ^zの絶対値が1 になるのはe ^xが 1 の場合のみです。xは実数なので、これはx = 0 の場合のみ発生します。 したがって、z は純虚数で、cos( y ) + i sin( y ) = 1です。y は実数なので、これは cos( y ) = 1 かつ sin( y ) = 0の場合のみ発生し、y は2 πの整数倍になります。 したがって、この関数の特異点は

z = 2πiのゼロ以外の整数倍。

べき級数展開の中心である 0 に最も近い特異点は ±2 π iにあります。中心からこれらの点のいずれかまでの距離は 2 πなので、収束半径は 2 πです。

冪級数を点a の周囲に展開し、収束半径をrとすると、 | z − a | = rとなるすべての点zの集合は、収束円の境界と呼ばれる円になります。冪級数は、境界上のすべての点で発散する場合もあれば、一部の点で発散して他の点で収束する場合もあれば、境界上のすべての点で収束する場合もあります。さらに、級数が境界上のどこでも収束する場合でも (一様に収束する場合でも)、必ずしも絶対収束するとは限りません。

例1:関数f ( z ) = 1/(1 − z )の冪級数をz = 0 の周りで展開すると、単純に

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n},}$

収束半径は 1 で、境界上のすべての点で発散します。

例2: g ( z ) = −ln(1 − z )の冪級数をz = 0 の周りで展開すると、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}z^{n},}$

収束半径は1で、z = 1では発散します が、境界上の他のすべての点では収束します。例1の関数f ( z )はg ( z )の導関数です。

例3: べき級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}}$

収束半径は 1 で、境界上のどこでも絶対収束します。hが単位円上でこの級数によって表される関数である場合、h ( z ) の導関数は例 2 のgでg ( z )/ zに等しくなります。h ( z )は二重対数関数であることがわかります。

例4: べき級数

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}z^{i}{\text{ where }}a_{i}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}{\text{ for }}n=\lfloor \log _{2}(i)\rfloor +1{\text{, the unique integer with }}2^{n-1}\leq i<2^{n},}$

収束半径は1で、境界全体| z | = 1で一様に収束するが、境界上では絶対収束しない。 ^[5]

関数を展開すると

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x}$

点x = 0 の周囲では、この級数の収束半径は、この級数がすべての複素数に対して収束することを意味していることがわかります。ただし、アプリケーションでは、数値の答えの精度が重要になることがよくあります。項の数と級数が評価される値の両方が、答えの精度に影響します。たとえば、sin(0.1) を小数点以下 5 桁までの精度で計算する場合、級数の最初の 2 つの項のみが必要です。ただし、x = 1について同じ精度が必要な場合は、級数の最初の 5 つの項を評価して合計する必要があります。sin(10)の場合、級数の最初の 18 項が必要であり、sin(100)の場合は最初の 141 項を評価する必要があります。 ${\displaystyle \infty }$

したがって、これらの特定の値では、べき級数展開の収束が最も速いのは中心であり、収束の中心から離れるにつれて、収束速度は遅くなり、境界（存在する場合）に到達して境界を越えると、級数は発散します。

類似の概念はディリクレ級数の収束の横座標である。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

このような級数は、係数a _n （収束の横座標）に応じて、sの実部が特定の数より大きい場合に収束します。

• ブラウン、ジェームズ; チャーチル、ルーエル (1989)、『複素変数とその応用』、ニューヨーク:マグロウヒル、ISBN 978-0-07-010905-6
• スタイン、エリアス、シャカルチ、ラミ（2003）、複素解析、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-11385-8

• アーベルの定理
• 収束テスト
• ルートテスト

• 収束半径とは何ですか?