複素解析

複素解析は、伝統的には複素変数の関数の理論として知られており、複素数の複素変数の関数を研究する数学解析の一分野です。関数解析、代数幾何学、数論、解析的組み合わせ論、応用数学などの数学の多くの分野、および流体力学、熱力学、量子力学、ツイスター理論などの物理学の分野で役立ちます。さらに、複素解析の使用は、原子力、航空宇宙、機械工学、電気工学などの工学分野にも応用されています。^{[ 1 ]}

一見すると、複素解析は複素変数の微分可能な関数である 正則関数の研究である。実数の場合とは対照的に、正則関数は常に無限回微分可能であり、定義域の各点の近傍におけるテイラー級数の和に等しい。このため、複素解析の手法と結果は実解析の手法と結果とは大きく異なる。複素関数は経路積分においても非常に異なる振る舞いをする。複素平面上の経路に沿った正則関数の積分は、経路の詳細には依存せず、関数の特異点の周りをどのように巡るかのみに依存する。与えられた経路をより適切な経路に移動できることは、証明の大幅な簡略化につながることが多い。

多変数複素関数論は、1変数複素関数論を複数の複素次元に一般化したものです。この分野では、1変数複素関数論の多くの手法が用いられ、一般化されますが、多変数複素関数論では、バナッハ環や層理論などの追加の手法が用いられます。多変数複素関数論は、代数幾何学や対称空間における興味深い問題を扱うことが多いです。

複素解析は、18世紀とその直前に起源を持つ、数学の古典的な分野の一つです。複素数に関連する重要な数学者には、オイラー、ガウス、リーマン、コーシー、ワイエルシュトラスなどがおり、20世紀にはさらに多くの数学者が活躍しました。複素解析、特に共形写像の理論は、多くの物理的応用を持ち、解析的整数論全体にわたって用いられています。現代では、複素力学や、正則関数の反復によって生成されるフラクタルの図の登場により、非常に人気が高まっています。複素解析のもう一つの重要な応用は、量子場理論における共形不変量を研究する弦理論です。

複素関数とは、複素数から複素数への関数です。言い換えれば、複素数の部分集合を定義域とし、複素数を終域とする関数です。複素関数の定義域は、一般的に複素平面の空でない開部分集合を含むものとみなされます。

任意の複素関数の場合、値は${\displaystyle z}$ドメインとその画像から${\displaystyle f(z)}$範囲内の値は、実部と虚部に分けられる。

${\displaystyle z=x+iy\quad {\text{ および }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}$

どこ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)}$これらはすべて実数値です。

言い換えれば、複雑な関数${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$2 つの実数値関数に分解できる (${\displaystyle u}$、${\displaystyle v}$）2つの実変数（${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$):

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad }$そして${\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}$

複素関数が連続であるのは、それに対応する2変数ベクトル値関数も連続である場合に限る。しかし、この関係は微分可能性には適用されない。複素関数の導関数の定義は実関数の導関数の定義と非常によく似ているが、対応する2変数実関数が微分可能であるからといって、複素関数の導関数が存在するとは限らない。特に、複素関数が導関数を持つ場合、それはあらゆる階数の導関数を持ち、定義域のあらゆる点の近傍におけるテイラー級数の和に等しい。

したがって、ある点の近傍で等しい2つの微分可能な関数は、定義域が連結している場合、それらの定義域の交点でも等しくなります。この性質は解析接続の原理の基礎となっており、実数または複素数の解析関数を一意に拡張して、定義域が有限個の曲線弧を除去した複素平面全体である複素解析関数を得ることができます。複素指数関数、複素対数関数、三角関数など、多くの基本的な複素関数や特殊な複素関数はこのように定義されます。

開集合のすべての点で微分可能な複素関数${\displaystyle \Omega }$複素平面の は、上で正則であると言われている。${\displaystyle \Omega }$複素解析の文脈では、${\displaystyle f}$で${\displaystyle z_{0}}$^{[ 2 ]}と定義される

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

表面的には、この定義は実関数の導関数の定義と形式的に類似しているように見える。しかし、複素導関数と微分可能な関数は、実関数とは大きく異なる振る舞いをする。特に、この極限が存在するためには、差分商の値は、どのような方法で近似しても、同じ複素数に近づかなければならない。${\displaystyle z_{0}}$複素平面において。したがって、複素微分可能性は実微分可能性よりもはるかに強い意味を持ちます。例えば、正則関数は無限に微分可能ですが、実関数ではn階微分が存在するからといって( n +1)階微分が存在するとは限りません。さらに、すべての正則関数は解析性というより強い条件を満たします。つまり、関数は定義域のどの点においても、局所的に収束するべき級数で表されます。本質的に、これは複素平面上の正則関数が${\displaystyle \Omega }$は、 の任意の点の近傍の多項式によって任意によく近似できる。${\displaystyle \Omega }$これは微分可能な実関数とは大きく異なります。解析的でない無限に微分可能な実関数が存在します。非解析的な滑らかな関数 § 解析的でない滑らかな関数を参照してください。

指数関数、三角関数、およびすべての多項式関数を含むほとんどの基本関数は、関数として複素引数に適切に拡張されます。${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$は複素平面全体で正則であり、完全関数である一方、有理関数は${\displaystyle p/q}$（ここでpとqは多項式）は、qがゼロとなる点を除いた領域で正則である。孤立点の集合を除いてあらゆる場所で正則であるこのような関数は、有理型関数として知られている。一方、関数は${\displaystyle z\mapsto \Re (z)}$、${\displaystyle z\mapsto |z|}$、そして${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}$複素平面上のどこにも正則性はなく、コーシー・リーマン条件を満たさないことからそれがわかる（下記参照）。

正則関数の重要な性質の一つは、実部と虚部の偏導関数間の関係であり、これはコーシー・リーマン条件として知られています。${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$定義される${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$、どこ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }$は領域上で正則である${\displaystyle \Omega }$そして、すべての${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$、

$\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0,\ {\text{ただし}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\mathrel {:=} {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}$

関数の実部と虚部、uとvに関して言えば、これは次の2つの式と同等である。$u_x=v_y$そして${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$ここで、添え字は偏微分を表します。ただし、コーシー・リーマン条件は、追加の連続性条件なしには正則関数を特徴付けるものではありません（ルーマン・メンチョフの定理を参照）。

正則関数はいくつかの注目すべき特徴を示します。例えば、ピカールの定理によれば、整関数の値域は3つの形式しか取り得ません。${\displaystyle \mathbb {C} }$、${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}$、または${\displaystyle \{z_{0}\}}$一部の人にとって${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$言い換えれば、2つの異なる複素数が${\displaystyle z}$そして${\displaystyle w}$関数全体の範囲に含まれない${\displaystyle f}$、それから${\displaystyle f}$これは定数関数である。さらに、連結開集合上の正則関数は、任意の空でない開部分集合への制限によって決定される。

複素解析における中心的なツールの 1 つは線積分です。閉じた経路で囲まれた領域内で常に正則である関数の閉じた経路に沿った線積分は、コーシーの積分定理で述べられているように常にゼロになります。円盤内のこのような正則関数の値は、円盤の境界上の経路積分によって計算できます (コーシーの積分公式で示されているように)。複素平面上の経路積分は、複雑な実積分を決定するためによく使用され、ここでは留数理論などが適用可能です (経路積分法を参照)。関数の「極」(または孤立特異点) は、関数の値が有界でなくなる、つまり「爆発する」点です。関数がそのような極を持つ場合、その点で関数の留数を計算することができ、それを使用して関数を含む経路積分を計算できます。これが強力な留数定理の内容です。本質的特異点の近傍における正則関数の注目すべき挙動は、ピカールの定理によって記述されます。極のみを持ち、本質的な特異点を持たない関数は、有理型関数と呼ばれます。ローラン級数はテイラー級数の複素数値版ですが、多項式などのよりよく理解されている関数の無限級数を通して、特異点近傍における関数の挙動を研究するために使用できます。

複素平面全体で正則な有界関数は定数関数でなければならない。これはリウヴィルの定理である。この定理を用いることで、複素数体が代数的に閉じていることを述べる代数学の基本定理を、自然かつ簡潔に証明することができる。

関数が連結領域全体で正則である場合、その値は任意のより小さな部分領域における値によって完全に決定されます。より大きな領域における関数は、より小さな領域における値から解析的に接続されていると言われます。これにより、当初は限られた領域でのみ収束する無限和で定義されていたリーマンゼータ関数などの関数の定義を、ほぼ複素平面全体に拡張することができます。自然対数の場合のように、複素平面内の非単連結領域に正則関数を解析的に接続することは不可能な場合もありますが、リーマン面と呼ばれる密接に関連する曲面上の正則関数に拡張することは可能です。

これらはすべて、1変数複素解析に関するものです。複素解析には、複数の次元にわたる非常に豊かな理論も存在し、冪級数展開などの解析的性質は引き継がれますが、1次元複素関数の幾何学的性質（例えば、等角性）のほとんどは引き継がれません。複素平面上の特定の領域の等角関係に関するリーマン写像定理は、1次元理論において最も重要な結果の一つかもしれませんが、高次元では著しく成り立たなくなります。

特定の複素空間の主要な応用例の一つは、量子力学における波動関数である。

• 複雑な幾何学
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• 複素解析のトピック一覧
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• リーマン・ロッホの定理
• ルンゲの定理
• ベクトル解析

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• Wolfram ResearchのMathWorld複素解析ページ
• 複素解析を習得するためのガイド：複素分野の探求（Jiri Lebl著）（クリエイティブ・コモンズ BY-NC-SA）