正弦と余弦

正弦と余弦
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(\theta )={\frac {\textrm {反対}}{\textrm {斜辺}}}\\[8pt]&\cos(\theta )={\frac {\textrm {隣接}}{\textrm {斜辺}}}\\[8pt]\end{aligned}}}$
応用分野	三角法、フーリエ級数など

数学では、正弦と余弦は角度の三角関数です。鋭角の正弦と余弦は直角三角形の文脈で定義されます。指定された角度について、正弦は、その角度の反対側の辺の長さと三角形の最長辺(斜辺)の長さの比であり、余弦は、隣接する辺の長さと斜辺の長さの比です。角度 の場合、正弦関数と余弦関数は、およびと表されます。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \sin(\theta )}$${\displaystyle \cos(\theta )}$

正弦と余弦の定義は、単位円内の特定の線分の長さに関する任意の実数値に拡張されています。より現代的な定義では、正弦と余弦を無限級数として、または特定の微分方程式の解として表現し、任意の正と負の値、さらには複素数にまで拡張できます。

正弦関数と余弦関数は、音波や光波、調和振動子の位置と速度、太陽光の強度と昼の長さ、年間の平均気温の変化などの周期的な現象をモデル化するためによく使用されます。これらは、グプタ朝時代のインド天文学で使用されたjyā関数とkoṭi-jyā関数に由来しています。

鋭角の正弦と余弦を定義するには、測定角度を含む直角三角形から始めます。添付の​​図では、直角三角形の角度が対象の角度です。三角形の3辺は次のように名前が付けられています。^[1]${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle ABC}$

• 対辺は、関心のある角度の反対側の辺です。この場合は です。${\displaystyle a}$
• 斜辺は直角の反対側の辺です。この場合は です。斜辺は常に直角三角形の最も長い辺です。${\displaystyle h}$
• 隣接辺は残りの辺です。この場合は です。これは、関心のある角度と直角の両方の辺を形成し、両方の角度に隣接します。${\displaystyle b}$

このような三角形が選択されると、角度の正弦は対辺の長さを斜辺の長さで割ったものに等しく、角度の余弦は隣接辺の長さを斜辺の長さで割ったものに等しくなります。^[1] $${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {\text{反対}}{\text{斜辺}}},\qquad \cos(\alpha )={\frac {\text{隣接}}{\text{斜辺}}}.}$$

角度の他の三角関数も同様に定義できます。たとえば、正接は、対辺と隣接辺の比、または正弦関数と余弦関数の比です。正弦の逆数は余割で、斜辺の長さと対辺の長さの比を与えます。同様に、余弦の逆数は割で、斜辺の長さと隣接辺の長さの比を与えます。余接関数は、隣接辺と対辺の比であり、正接関数の逆数です。これらの関数は次のように定式化できます。^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta )&={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\text{反対}}{\text{隣接}}},\\\cot(\theta )&={\frac {1}{\tan(\theta )}}={\frac {\text{隣接}}{\text{反対}}},\\\csc(\theta )&={\frac {1}{\sin(\theta )}}={\frac {\text{斜辺}}{\text{反対}}},\\\sec(\theta )&={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {\textrm {斜辺}}{\textrm {隣接}}}.\end{aligned}}}$$

前述のように、値と は、角度 を含む直角三角形の選択に依存するように見えます。しかし、すべてのそのような三角形は と相似であるため、これは当てはまりません。したがって、それぞれの比は同じです。たとえば、45-45-90 の直角三角形の各辺は1 単位で、斜辺は です。したがって、 です。^[2]次の表は、 から までの範囲で、正弦と余弦の両方について各入力の特別な値を示しています。この表の入力には、度、ラジアンなど、さまざまな単位系が用意されています。これら 5 つの角度以外の角度は、計算機を使用して取得できます。^{[3] [4]}${\displaystyle \sin(\alpha )}$${\displaystyle \cos(\alpha )}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\textstyle \sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$${\textstyle 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}}}$

正弦定理は、2 つの角度と 1 つの辺がわかっている場合に、三角形の未知の辺の長さを計算するのに役立ちます。[5] 三角形の辺が^、、 で、それらの辺と反対側の角度が 、 、 であるとします。この法則は、次 の式の最初の 3 つの等式に等しいことを 示しています 。 ここで、 は三角形の円周半径です。 ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}.}$$$${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}$$${\displaystyle R}$

余弦定理は、他の2辺と角度が分かっている場合に、未知の辺の長さを計算するのに役立ちます。^[5]この法則は、 の 場合、結果として得られる式はピタゴラスの定理となると述べています。^[6]$${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}}$$${\displaystyle \gamma =\pi /2}$${\displaystyle \cos(\gamma )=0}$

外積と内積は、ユークリッド ベクトル空間の2 つのベクトルに対する演算です。正弦関数と余弦関数は、外積と内積によって定義できます。と がベクトルで、 がと の間の角度である場合、正弦関数と余弦関数は次のように定義できます。 ${\displaystyle \mathbb {a} }$${\displaystyle \mathbb {b} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbb {a} }$${\displaystyle \mathbb {b} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {|\mathbb {a} \times \mathbb {b} |}{|a||b|}},\\\cos(\theta )&={\frac {\mathbb {a} \cdot \mathbb {b} }{|a||b|}}.\end{aligned}}}$$

正弦関数と余弦関数は、原点を中心とする半径 1 の円である単位円を使って、より一般的な方法で定義することもできます。単位円は、直交座標系の方程式として定式化されます。原点を通る直線が単位円と交差し、-軸の正の半分との角度をなすとします。この交点の-および-座標は、それぞれおよびに等しくなります。つまり、^[7]${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \cos(\theta )}$${\displaystyle \sin(\theta )}$ $${\displaystyle \sin(\theta )=y,\qquad \cos(\theta )=x.}$$

この定義は、単位円の斜辺の長さが常に 1 であるため、直角三角形の正弦と余弦の定義と一致しています。数学的に言えば、角度の正弦は三角形の反対側の辺、つまり-座標に等しくなります。余弦関数についても同様の議論をすることができ、単位円を使用した新しい定義でも、角度の余弦は であることがわかります。 ^{[8] [9]}${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle y}$${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$

単位円の定義を使用すると、正弦関数と余弦関数のグラフを描くことができるという利点があります。これは、入力 に応じて、円周に沿って点を反時計回りに回転させることによって実行できます。正弦関数では、入力が の場合、点は反時計回りに回転し、-軸上で正確に停止します。 の場合、点は円の中間点にあります。 の場合、点は原点に戻ります。この結果、正弦関数と余弦関数の両方の範囲は の間になります。^[10]${\displaystyle \theta >0}$${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle \theta =2\pi }$${\displaystyle -1\leq y\leq 1}$

角度を任意の実数領域に拡張すると、点は反時計回りに連続的に回転します。これはコサイン関数でも同様に行うことができますが、点は最初に-座標から回転します。言い換えると、正弦関数と余弦関数はどちらも周期的であり、円周の円によって追加された角度は角度そのものであることを意味します。数学的には、^[11]${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \sin(\theta +2\pi )=\sin(\theta ),\qquad \cos(\theta +2\pi )=\cos(\theta ).}$$

関数がのとき奇関数であると言い、 のとき偶関数であると言います。正弦関数は奇関数ですが、余弦関数は偶関数です。^[12]正弦関数と余弦関数はどちらも似ており、その差はだけずれています。つまり、^[13]${\displaystyle f}$${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$${\displaystyle f(-x)=f(x)}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right),\\\cos(\theta )&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right).\end{aligned}}}$$

ゼロは正弦関数の唯一の実数不動点である。言い換えれば、正弦関数と恒等関数の唯一の交点は である。余弦関数の唯一の実数不動点はドッティ数と呼ばれる。ドッティ数は方程式 の唯一の実根である。ドッティ数の小数展開は約 0.739085 である。^[14]${\displaystyle \sin(0)=0}$${\displaystyle \cos(x)=x}$

正弦関数と余弦関数は無限に微分可能である。^[15]正弦関数の導関数は余弦関数であり、余弦関数の導関数は負の正弦関数である。^[16] このプロセスを高次の導関数で続けると、同じ関数が繰り返される。正弦関数の4次導関数は正弦関数そのものである。^[15]これらの導関数は1次導関数テストに適用でき、これによれば関数の単調性は関数の1次導関数の不等式が0より大きいか小さいかとして定義できる。^{[17]これは}2次導関数テストにも適用でき、これによれば関数の凹性は関数の2次導関数の不等式が0より大きいか小さいかを適用することで定義できる。^[18]次の表は、正弦関数と余弦関数の両方が特定の間隔で凹面性と単調性を持っていることを示しています。正の符号（）はグラフが増加（上向き）していることを示し、負の符号（）は減少（下向き）していることを示します。 ^[19]この情報は、4つの象限に分割された直交座標系として表すことができます。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x),\qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$$${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$

正弦関数と余弦関数はどちらも微分方程式を使って定義できます。 のペアは、初期条件がおよびである2 次元の微分方程式系 と の解です。 上記の定義の単位円は、与えられた初期条件を持つ微分方程式の位相空間軌道を定義するものとして解釈できます。 これは、初期条件とから始まる微分方程式系 と の位相空間軌道として解釈できます。^{[引用が必要]}${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$${\displaystyle (x(\theta ),y(\theta ))}$ ${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$ ${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle x(0)=1}$${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle x(0)=1}$

曲線の下の面積は、ある限られた区間で 積分することで得られる。その不導関数は、次の通りである。 ここで、 は積分定数を表す。^[20]これらの不導関数は、与えられた区間で正弦関数と余弦関数の両方の曲線の測定特性を計算するために適用できる。例えば、との間の正弦曲線の弧の長さは、ここ で、は係数 を持つ第2種不完全楕円積分である。これは、初等関数では表せない。^[21]完全な周期の場合、その弧の長さは、 ここで、はガンマ関数、はレムニスケート定数である。^[22]$${\displaystyle \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C\qquad \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle \int _{0}^{t}\!{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx={\sqrt {2}}\operatorname {E} \left(t,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),}$$${\displaystyle \operatorname {E} (\varphi ,k)}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle L={\frac {4{\sqrt {2\pi ^{3}}}}{\Gamma (1/4)^{2}}}+{\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}={\frac {2\pi }{\varpi }}+2\varpi \approx 7.6404\ldots }$$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \varpi }$

正弦の逆関数はアークサインまたは逆正弦であり、「arcsin」、「asin」、または と表記される。^[23]余弦の逆関数はアークコサインであり、「arccos」、「acos」、または と表記される。^{[a]正弦と余弦は}単射ではないため、その逆関数は正確な逆関数ではなく、部分逆関数である。たとえば、だけでなく、 、 なども可能である。したがって、アークサイン関数は多値であり、 だけでなく、、 なども可能である。1 つの値だけが必要な場合、関数を主枝に制限することができる。この制限により、ドメイン内の各 について、式は主値と呼ばれる単一の値のみに評価される。アークサインの主値の標準範囲は から であり、アークコサインの標準範囲は から である。[ ^24]${\displaystyle \sin ^{-1}}$${\displaystyle \cos ^{-1}}$${\displaystyle \sin(0)=0}$${\displaystyle \sin(\pi )=0}$${\displaystyle \sin(2\pi )=0}$${\displaystyle \arcsin(0)=0}$${\displaystyle \arcsin(0)=\pi }$${\displaystyle \arcsin(0)=2\pi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \arcsin(x)}$${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi }$

正弦と余弦の逆関数は次のように定義されます: ^[要出典] ここで、ある整数に対して、 定義により、両方の関数は次の式を満たします: ^[要出典] そして $${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right),}$$${\displaystyle k}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &y=\arcsin(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\\\cos(y)=x\iff &y=\arccos(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=-\arccos(x)+2\pi k\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x\qquad \cos(\arccos(x))=x}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\\\arccos(\cos(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad 0\leq \theta \leq \pi \end{aligned}}}$$

ピタゴラスの定理によれば、直角三角形の2つの2乗した辺の和は斜辺の2乗である。両辺の式を斜辺の2乗で割るとピタゴラスの三角定理が得られ、正弦の2乗と余弦の2乗の和は1となる。^{[25] [b]} $${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1.}$$

正弦と余弦は次の二倍角の公式を満たす: ^[26] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin(\theta )\cos(\theta ),\\\cos(2\theta )&=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\\&=2\cos ^{2}(\theta )-1\\&=1-2\sin ^{2}(\theta )\end{aligned}}}$$

コサインの二倍角の公式は、sin ²と cos ²がそれ自体、シフトされスケールされた正弦波であることを意味します。具体的には、^[27] グラフは正弦関数と正弦二乗関数の両方を示しており、正弦は青、正弦二乗は赤で示されています。両方のグラフは同じ形をしていますが、値の範囲と周期が異なります。正弦二乗は正の値のみを持ちますが、周期の数は 2 倍です。^[要出典]$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\qquad \cos ^{2}(\theta )={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$$

正弦関数と余弦関数は、高次の導関数を含むべき級数であるテイラー級数を使って定義できます。 § 連続性と微分で述べたように、正弦の導関数は余弦であり、余弦の導関数は正弦の負です。つまり、 の連続した導関数は、、、、となり、これら 4 つの関数を繰り返し続けます。点 0 で評価された -番目の導関数:ここ で、上付き文字は繰り返し微分を表します。これは、 での次のテイラー級数展開を意味します。 次に、テイラー級数の理論を使用して、すべての実数に対して次の恒等式が成り立つことを示します。ここで、はラジアン単位の角度です。^[28]より一般的には、すべての複素数に対して: ^[29] 各項の導関数を取ると、余弦のテイラー級数が得られます: ^{[28] [29]}${\displaystyle \sin(x)}$${\displaystyle \cos(x)}$${\displaystyle -\sin(x)}$${\displaystyle -\cos(x)}$${\displaystyle \sin(x)}$${\displaystyle (4n+k)}$$${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{when }}k=0\\1&{\text{when }}k=1\\0&{\text{when }}k=2\\-1&{\text{when }}k=3\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

複数の角度を持つ正弦関数と余弦関数は、線形結合として表され、多項式となる。このような多項式は三角多項式として知られている。三角多項式の幅広い応用は、補間 や、フーリエ級数として知られる周期関数の拡張で得られる。および を任意の係数とすると、次数 の三角多項式 (と表記) は次のように定義される: ^{[30] [31]}${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle T(x)}$ $${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx).}$$

三角級数も三角多項式と同様に無限反転で定義できる。と を任意の係数とすると、三角級数は次のように定義できる: ^[32] 与えられた積分関数 を持つフーリエ級数の場合、三角級数の係数は次のようになる: ^[33]${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx).}$$${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\\B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\sin(nx)\,dx.\end{aligned}}}$$

正弦関数と余弦関数は、実数と虚数の両方からなる数の集合である複素数によってさらに拡張できます。実数の場合、正弦関数と余弦関数の定義は、次のように指数関数の観点から複素平面で拡張できます。^[34]${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}},\\\cos(\theta )&={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}},\end{aligned}}}$$

あるいは、両方の関数はオイラーの公式で定義することもできる：^[34] $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos(\theta )+i\sin(\theta ),\\e^{-i\theta }&=\cos(\theta )-i\sin(\theta ).\end{aligned}}}$$

複素平面上にプロットすると、の実数値に対する関数は複素平面上の単位円を描く。正弦関数と余弦関数は両方とも の虚部と実部に次のように簡略化できる。^[35]${\displaystyle e^{ix}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle e^{i\theta }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\operatorname {Im} (e^{i\theta }),\\\cos \theta &=\operatorname {Re} (e^{i\theta }).\end{aligned}}}$$

実数値および（ ）のとき、正弦関数と余弦関数は両方とも、実正弦関数、実余弦関数、双曲線関数で次のように表すことができます。^[要出典]${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\\\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\end{aligned}}}$$

正弦と余弦は、複素数の実部と虚部をその極座標 に接続するために使われます。 実部と虚部は、 複素数の大きさと角度を表す、 およびです。 ${\displaystyle (r,\theta )}$$${\displaystyle z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta )),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} (z)&=r\cos(\theta ),\\\operatorname {Im} (z)&=r\sin(\theta ),\end{aligned}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle z}$

任意の実数 に対して、極座標に関するオイラーの公式は と表されます。 ${\displaystyle \theta }$${\textstyle z=re^{i\theta }}$

正弦と余弦の級数定義を複素引数zに適用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\\&=-i\sinh \left(iz\right)\\\cos(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\\&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\\&=\cosh(iz)\\\end{aligned}}}$

ここで sinh と cosh は双曲正弦と双曲余弦です。これらは完全な関数です。

複素正弦関数と複素余弦関数を、引数の実部と虚部で表現すると便利な場合もあります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\\cos(x+iy)&=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy)\\&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\\end{aligned}}}$

複素解析における部分分数展開法を用いると、無限級数 が収束し、 に等しいことが分かる。同様に、 $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z-n}}={\frac {1}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}-z^{2}}}}$$${\textstyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}.}$$

積展開法を用いると、 $${\displaystyle \sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).}$$

sin( z )はガンマ関数の関数方程式に含まれ、

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\pi \over \sin(\pi s)},}$

これはリーマンゼータ関数の関数方程式に見られる。

${\displaystyle \zeta (s)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\zeta (1-s).}$

正則関数として、sin z はラプラス方程式の 2D 解です。

${\displaystyle \Delta u(x_{1},x_{2})=0.}$

複素正弦関数は振り子の水準曲線にも関係している。^{[どのように？ ] [36] [より良い情報源が必要]}

正弦（sine ）という単語は、間接的にサンスクリット語のjyā「弓弦」、またはより具体的にはその同義語jīvá（両方とも古代ギリシャ語の χορδή「弦」から採用）に由来しており、円弧とその弦が弓と弦と見た目に似ていることに由来しています（jyā、koti-jyā、utkrama-jyāを参照）。これはアラビア語でjībaと音訳されましたが、アラビア語では意味をなさないためjb ( جب ) と表記されました。アラビア語は短母音なしで表記されるため、jb は同音異義語jayb ( جيب )と解釈され、これは「懐」「ポケット」「折り目」を意味します。^{[37] [38]} 12世紀にクレモナのジェラルドがアラビア語のアル・バタニとアル・フワーリズミーのテキストを中世ラテン語に翻訳したとき、彼はラテン語の同義語であるsinus（「湾」または「ひだ」を意味し、より具体的には「胸の上に垂れ下がったトーガのひだ」を意味する）を使用した。 ^{[39] [40] [41]}ジェラルドはおそらくこの翻訳を使用した最初の学者ではない。彼より前にロバート・オブ・チェスターが使用していたようで、さらに古い使用の証拠がある。^{[42] [43]英語の}sineという形は1590年代に導入された。^[c]

コサインという単語は、ラテン語のcomplementi sinus「補角の正弦」をエドマンド・グンターのCanon triangulorum（1620年）でcosinusと略したことに由来しており、そこにはコタンゲンの同様の定義も含まれています。^[44]

三角法の研究は古代にまで遡りますが、現在使用されている三角関数は中世に開発されました。弦関数はニカイアのヒッパルコス（紀元前180年 - 125年）とローマ帝国エジプトのプトレマイオス（紀元90年 - 165年）によって発見されました。 ^[45]

正弦関数と余弦関数は、サンスクリット語からアラビア語、そしてアラビア語からラテン語への翻訳を経て、グプタ朝時代（アーリヤバティヤとスーリヤ・シッダーンタ）のインド天文学で使用されていたjyā関数とkoṭi -jyā関数に由来しています。^[39]

現在使われている6つの三角関数はすべて、9世紀までにイスラム数学で知られており、三角形を解くのに使われる正弦法則も同様でした。^[46]正弦（インドの数学から取り入れられた）を除いて、他の5つの現代の三角関数は、コサイン、タンジェント、コタンジェント、セカント、コセカントを含めてアラビアの数学者によって発見されました。^[46]アル・フワーリズミー（780年頃–850年）は、サイン、コサイン、タンジェントの表を作成した。^{[47] [48]}ムハンマド・イブン・ジャービル・アル・ハラニー・アル・バッターニー（853年–929年）は、セカントとコセカントの逆関数を発見し、1°から90°までの各度数に対するコセカントの最初の表を作成した。^[48]

sin、cos、tanの略語を最初に出版したのは、16世紀フランスの数学者アルベール・ジラールである。これらはオイラーによってさらに普及した（下記参照）。コペルニクスの弟子であるゲオルク・ヨアヒム・レティクスのOpus palatinum de triangulisは、三角関数を円ではなく直角三角形で直接定義し、6つの三角関数すべての表を示したヨーロッパ初の著書であると思われる。この著作は、レティクスの弟子であるヴァレンティン・オトによって1596年に完成した。

1682年に発表された論文で、ライプニッツはsin xがxの代数関数ではないことを証明した。^[49]ロジャー・コーツは著書『Harmonia Mensurarum』 （1722年）で正弦の導関数を計算した。^[50]レオンハルト・オイラーの『Introduction in analysin infinitorum』（1748年）は、ヨーロッパにおける三角関数の解析的扱いを確立する上で大きな役割を果たした。また、三角関数を無限級数として定義し、「オイラーの公式」や、ほぼ現代的な略語であるsin.、cos.、tang.、cot.、sec.、cosec. を提示した。 ^[39]

正弦と余弦を計算するための標準的なアルゴリズムは存在しない。信頼性の高い浮動小数点計算の仕様として最も広く使用されている標準規格であるIEEE 754は、正弦などの三角関数の計算については触れていない。その理由は、特に大きな入力に対して、指定された精度で正弦と余弦を計算する効率的なアルゴリズムが知られていないためである。^[51]

正弦を計算するアルゴリズムは、速度、精度、移植性、または受け入れられる入力値の範囲などの制約についてバランスが取られる場合があります。これにより、特に非常に大きな入力などの特殊な状況では、アルゴリズムごとに異なる結果が生じる可能性があります。 sin(1022)

特に 3D グラフィックスで使用される一般的なプログラミング最適化は、正弦値のテーブル (たとえば 1 度につき 1 つの値) を事前に計算し、その間の値については最も近い事前計算値を選択するか、最も近い 2 つの値の間を線形補間して近似値を求めることです。これにより、結果をリアルタイムで計算するのではなく、テーブルから参照できます。最新の CPU アーキテクチャでは、この方法に利点がない可能性があります。^{[引用が必要]}

CORDICアルゴリズムは、科学計算用計算機でよく使用されます。

正弦関数と余弦関数は、他の三角関数と同様に、さまざまなプログラミング言語やプラットフォームで広く使用されています。コンピューティングでは、これらは通常、sinおよび と省略されますcos。

80387 以降の Intel x87 FPU など、一部の CPU アーキテクチャには正弦演算用の組み込み命令があります。

プログラミング言語では、sinおよびはcos通常、組み込み関数であるか、言語の標準数学ライブラリ内にあります。たとえば、C 標準ライブラリは、math.h内に、、および という正弦関数を定義します。それぞれのパラメータは、角度をラジアンで指定する浮動小数点値です。各関数は、受け入れるのと同じデータ型を返します。他の多くの三角関数も、余弦、逆正弦、双曲正弦 (sinh) など、math.hで定義されています。同様に、 Python は組み込みモジュール内におよび を定義します。複素正弦関数と余弦関数もモジュール内で使用できます (例: ) 。CPythonの数学関数は C ライブラリを呼び出し、倍精度浮動小数点形式を使用します。 sin(double)sinf(float)sinl(long double)math.sin(x)math.cos(x)mathcmathcmath.sin(z) math

一部のソフトウェアライブラリでは、半回転の入力角度を使用して正弦関数と余弦関数の実装を提供しています。半回転とは、180 度またはラジアンの角度です。角度を回転または半回転で表すと、精度と効率の点で有利になる場合があります。^{[52] [53]} MATLAB、OpenCL、R、Julia、CUDA、および ARM では、これらの関数はおよび と呼ばれます。^{[52] [54] [53] [55] [56] [57]}たとえば、は と評価されます。ここで、 x は半回転で表現されるため、関数への最終入力πx はsinによってラジアンで解釈できます。 ${\displaystyle \pi }$sinpicospisinpi(x)${\displaystyle \sin(\pi x),}$

精度の利点は、1 回転、半回転、1/4 回転などの主要な角度をバイナリ浮動小数点または固定小数点でロスレスに完全に表現できることから生まれます。対照的に、、、をバイナリ浮動小数点またはバイナリ スケール固定小数点で表現すると、無理数は有限個のバイナリ桁で表現できないため、常に精度が低下します。 ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

ターンには、1 周期を法として計算する場合の精度と効率の面でも利点があります。1 ターンを法として計算するか、2 半ターンを法として計算することは、浮動小数点と固定小数点の両方でロスレスかつ効率的に計算できます。たとえば、2 進小数点スケールの固定小数点値に対して 1 を法として計算するか、2 を法として計算するには、ビット シフトまたはビット単位の AND 演算のみが必要です。対照的に、法を計算すると、表現に不正確さが生じます。 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

角度センサーを使用するアプリケーションの場合、センサーは通常、回転または半回転と直接互換性のある形式で角度測定値を提供します。たとえば、角度センサーは、1 回転で 0 から 4096 までカウントする場合があります。^[58]半回転を角度の単位として使用すると、センサーによって提供される値は、バイナリ ポイントの右側に 11 ビットを持つ固定小数点データ型に直接かつロスレスにマッピングされます。対照的に、ラジアンを角度の格納単位として使用すると、生のセンサー整数に近似値を乗算することによる不正確さとコストが発生します。 ${\textstyle {\frac {\pi }{2048}}}$

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