過激な

代数学において、実数aの根号または超根号は、多項式の唯一の実根である。  $${\displaystyle x^{5}+x+a.}$$

複素数 aの Bring 根号は、上記の多項式の 5 つの根号のいずれか (したがって多価)、または特定の根号のいずれかです。特定の根号は通常、実数aに対して Bring 根号が実数値であり、実数直線の近傍で解析関数となるように選択されます。4 つの分岐点が存在するため、Bring 根号は複素平面全体で連続する関数として定義できず、その連続領域は 4 つの分岐カットを除外する必要があります。

ジョージ・ジェラードは、エルランド・ブリングによって導入された根号とブリング根号を使用して、いくつかの五次方程式を閉じた形で解くことができることを示しました。

この記事では、 aの Bring 根号はと表記されます。実数の場合、これは奇数、単調減少、無制限であり、大きな に対して漸近的な挙動を示します。 ${\displaystyle \operatorname {BR} (a).}$${\displaystyle \operatorname {BR} (a)\sim -a^{1/5}}$${\displaystyle a}$

五次方程式は、最も一般的な形式では 5 つの独立した係数を持つため、直接解を得るのはかなり困難です。 $${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.}$$

これまで開発されてきた五次方程式を解くためのさまざまな方法は、一般的に、独立した係数の数を減らすために、チルンハウス変換を使用して五次方程式を簡略化しようとします。

一般五次式は、四次項と三次項を除いた 主五次形式と呼ばれる形式に簡約することができます。$${\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,}$$

一般五次方程式と主五次方程式の根が二次チルンハウス変換 によって関連付けられている場合、 係数およびは結果のを使うか、根とニュートン恒等式のべき乗和によって決定できます。これにより、二次方程式と一次方程式からなるおよびの連立方程式が得られ、2 つの解のいずれかを使用して主五次方程式の対応する 3 つの係数を取得できます。^[1]$${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,}$$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$

この形式はフェリックス・クラインの五次方程式の解法で使用されている。^[2]

5次方程式をさらに簡略化して2次項を消去し、ブリング・ジェラード正規形を作成することもできます。 チェルンハウスが試みた ように、3次変換で再びべき乗和公式を使用するのはうまくいきません。なぜなら、結果として得られる方程式系は6次方程式になるからです。 しかし、1796年にブリングは、4次のチェルンハウス変換を使用して主5次方程式の根をブリング・ジェラード5次方程式の根に関連付けるという回避策を見つけました。 $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.}$$$${\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \, 。}$$

この 4 次変換によって得られる追加のパラメータにより、ブリングは他のパラメータの次数を減らすことができました。これにより、6 つの未知数を持つ 5 つの方程式のシステムが得られ、3 次方程式と 2 次方程式を解く必要があります。この方法は1852 年にジェラードによっても発見されましたが、 ^[3] ジェラードはブリングのこの分野における以前の研究を知らなかった可能性があります。^{[1] (pp92–93)}完全な変換は、Mathematica ^[4] やMapleなどのコンピュータ代数パッケージを使用して簡単に実行できます。^[5] これらの変換の複雑さから予想されるように、結果として得られる式は、特に低次方程式の根号の解と比較すると非常に大きくなり、記号係数を持つ一般的な 5 次方程式では数メガバイトのストレージが必要になります。^[4]

代数関数として考えると、 の解に はd ₁とd ₀という 2 つの変数が含まれます。しかし、この簡約は実際には 1 変数の代数関数への簡約であり、ブリング・ジェラード形式をさらに簡約できるため、根号の解と非常によく似ています。たとえば と設定すると 、方程式は z を1 変数の代数関数として 含む形式に簡約されます(ただし ) 。この形式は、以下で説明する微分分解のエルミート・クロネッカー・ブリオスキー法、グラッサー法、コックル・ハーレー法で必要になります。 $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0}$$$${\displaystyle z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}}}}}$$$${\displaystyle z^{5}-z+a=0\,,}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}}$

となる よう に設定することで別の形式が得られます 。この形式は、以下の Bring 根号を定義するために使用されます。 ${\displaystyle u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}}}}}}$${\displaystyle u^{5}+u+b=0\,,}$${\displaystyle b=d_{0}(d_{1})^{-5/4}}$

5次方程式には、ブリオスキ正規 形と呼ばれるもう1つの1パラメータ正規形があり、 これは有理数チルンハウス変換を使用して 一般5次方程式の根をブリオスキ5次方程式に関連付けることで導出できます。パラメータの値はリーマン球面上の多面体関数を使用して導出でき、 20面体対称のオブジェクトを5つの4面体対称のオブジェクトに分割することに関連しています。^[6]$${\displaystyle w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}wC^{2}=0,}$$$${\displaystyle w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}}$$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$

この Tschirnhaus 変換は、主五次方程式を Bring-Jerrard 形式に変換するのに使用される難しい変換よりもかなり単純です。この標準形式は、Doyle-McMullen 反復法と Kiepert 法で使用されます。

Bring 根号のテイラー級数、および超幾何関数による表現は、次のように導出できます。この式は、と書き直すことができます。 が奇数であるため、目的の解はと設定するとになります。 ${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$${\displaystyle x^{5}+x=-a.}$${\displaystyle f(x)=x^{5}+x,}$${\displaystyle x=f^{-1}(-a)=-f^{-1}(a)}$${\displaystyle f(x)}$

の級数は、 （単に である）のテイラー級数を逆変換することによって得られ、 となる。 ここで、係数の 絶対値は、OEISのシーケンス A002294 を形成する。級数の収束半径は、${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x+x^{5}}$$${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}a^{4k+1}}{4k+1}}=-a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,}$$${\displaystyle 4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})\approx 0.53499.}$

超幾何形式では、ブリング根号は次のように表される^[4] $${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right).}$$

これを、以下の Glasser の導出と微分分解法で生じる超幾何関数と比較すると興味深いかもしれません。

多項式の根は、 ブリング根号 とその 4 つの共役項を用いて表すことができます。^[要出典]これで、問題は、解ける多項式方程式を用いたブリング・ジェラード形式に簡約され、根号に 4 次までの多項式表現を含む変換が使用されるため、逆変換は根号で解ける多項式の根を見つけることで実行できます。この手順では余分な解が得られますが、数値的手段によって正しい解が見つかった場合は、5 次式の根号を平方根、立方根、ブリング根号で表すことができます。したがって、これは 1 変数の代数関数 (ブリング根号を含むように広く定義) を用いた代数解、つまり一般の 5 次式の代数解になります。 $${\displaystyle x^{5}+px+q}$$$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{p}}\,\operatorname {BR} \left(p^{-{\frac {5}{4}}}q\right)}$$

ブリング根号の特徴付けは他にも数多く開発されているが、その最初のものは 1858 年にシャルル・エルミートが「楕円超越関数」（楕円関数とモジュラー関数に関連）に基づいており、その後他の数学者によってさらなる方法が開発された。

1858年、シャルル・エルミート^[7]は 「楕円超越関数」による一般五次方程式の解法を初めて発表し、ほぼ同時期にフランチェスコ・ブリオスキ^[8] とレオポルド・クロネッカー^{[9]も同等の解法を発見した。エルミートは、}三角関数による三次方程式 のよく知られた解法を一般化することでこの解法に到達し、ブリング・ジェラール形式で五次方程式の解法を見つけた。 $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

示したように、任意の 5 次方程式は、チルンハウス変換によってこの方程式に簡約できます。彼は、楕円関数が、3 次方程式の解法で三角関数が果たしたのと同様の役割を果たすことを観察しました。 および を、第 1 種の完全楕円積分として書きます。 ここで、 2 つの「楕円超越関数」を定義します。^{[注 1]} これらは、無限級数によって同等に定義できます。^{[注 2]}${\displaystyle K}$${\displaystyle K',}$$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2 }\ヴァルフィ }}}}$$ $${\displaystyle K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^ {2}\varphi }}}}$$$${\displaystyle k^{2}+k'^{2}=1.}$$ $${\displaystyle \varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$ $${\displaystyle \psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi \tau }{2i}},\quad \operatorname {Im } \タウ >0}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\tau )&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}(1-e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-3e^{3\pi i\tau }+4e^{4\pi i\tau }-6e^{5\pi i\tau }+9e^{6\pi i\tau }-\cdots ),\quad \operatorname {Im} \tau >0\\\psi (\tau )&={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&=1-2e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-4e^{3\pi i\tau }+6e^{4\pi i\tau }-8e^{5\pi i\tau }+12e^{6\pi i\tau }-\cdots ,\quad \operatorname {Im} \tau >0\end{aligned}}}$$

nが素数の場合、2つの値とを次のように 定義できます 。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$$${\displaystyle v=\varphi (\tau )}$$

n が奇数の素数のとき、パラメータおよびは、におけるn  + 1次方程式によって結び付けられ、^{[注 3] 、}モジュラー方程式として知られ、そのにおける根は次のように与えられます: ^{[10] [注 4]} および ここで、 は、2 がn を法とする平方剰余であるかどうかによって、それぞれ 1 または −1 になります、^{[注 5]}および。n = 5のとき、上に示したように に 6 つの根を持つ モジュラー方程式が得られます: ^[11]。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(u,v)=0}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle u}$ $${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$$${\displaystyle u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)}$$${\displaystyle \varepsilon (n)}$${\displaystyle m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}$ $${\displaystyle \Omega _{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0}$$${\displaystyle u}$

のモジュラー方程式は、モジュラー方程式の 6 つの根の次の関数によってブリング・ジェラール 5 次関数に関連付けられている可能性があります (Hermite のSur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degréでは、最初の因子は間違っています)として与えられます): ^[12]${\displaystyle n=5}$${\displaystyle [\varphi (5\tau )+\varphi (\tau /5)]}$

$${\displaystyle \Phi (\tau )=\left[-\varphi (5\tau )-\varphi \left({\frac {\tau }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +32}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +48}{5}}\right)\right]}$$

あるいは、式^[13]は の数値評価に有用である。エルミートによれば、展開におけるの係数は任意の に対してゼロである。^[14]$${\displaystyle \Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )}$$${\displaystyle \Phi (\tau )}$${\displaystyle e^{n\pi i\tau /5}}$${\displaystyle n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)}$

5つの量、、、、は、係数が有理数である5次方程式の根である。^[15]これは、次の置換 によってブリング・ジェラード形式に簡単に変換できる。 ブリング・ジェラード5次方程式を導く。 ここ で ${\displaystyle \Phi (\tau )}$${\displaystyle \Phi (\tau +16)}$${\displaystyle \Phi (\tau +32)}$${\displaystyle \Phi (\tau +48)}$${\displaystyle \Phi (\tau +64)}$${\displaystyle \varphi (\tau )}$ $${\displaystyle \Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0}$$$${\displaystyle \Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )x}$$$${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

エルミート・クロネッカー・ブリオスキ法は、の値に対応する の値を見つけ、 の値を使用して対応するモジュラー方程式の根を求めることになります。根を求めるアルゴリズムを使用して、方程式(*)からを求めることができます(つまり、の部分逆関数を計算します)。 (*) を二乗すると、 ( を使用)のみで 4 次方程式が得られます。( ) における (*) のすべての解は4 次方程式の解ですが、4 次方程式のすべての解が (*) の解であるとは限りません。 ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \varphi ^{4}(\tau )}$${\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}$${\displaystyle \tau }$

Bring–Jerrard 5次方程式の根は次のように与えられ ます。 $${\displaystyle x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$

代替の「統合」アプローチは次のとおりです。

どこを考えれば、 どこ の解決策がある か ${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$${\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$$${\displaystyle \tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}}$$$${\displaystyle a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$$${\displaystyle s={\begin{cases}-\operatorname {sgn} \operatorname {Im} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a=0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a\neq 0,\end{cases}}}$$

$${\displaystyle A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}}}{2}}.}$$

式(**)の根は^[13] である （いくつかの重要な参考文献では誤って^{[6] [7]} と示されていることに注意）。これらの根の1つは楕円係数として使用できます。 $${\displaystyle k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}}$$${\displaystyle \sin \alpha =4/A^{2}}$${\displaystyle \sin \alpha =1/(4A^{2})}$${\displaystyle k}$

Bring–Jerrard 5次方程式の根は次のように与えられ ます。 $${\displaystyle x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$

このプロセスは、次のように表現できる n 乗根の一般化を使用していることがわかります。 または、もっと正確に言えば、 エルミート-クロネッカー-ブリオスキー法は、本質的に、指数関数を「楕円超越関数」に置き換え、積分（または実数直線上の の逆関数）を楕円積分（または「楕円超越関数」の部分逆関数）に置き換えます。クロネッカーは、この一般化は、任意の高次方程式に適用できる、さらに一般的な定理の特殊なケースであると考えました。トーマエの公式として知られるこの定理は、1984 年に梅村浩^{[16]によって完全に表現されました。梅村は、指数関数/楕円超越関数の代わりに}シーゲル モジュラー形式を 使用し、積分を超楕円積分に置き換えました。 $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)}$$$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).}$$${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$${\displaystyle \exp }$

^{M.ローレンス・グラッサー[17]}によるこの導出は、この記事の前半で紹介した級数法を一般化し、次の形式の 三項方程式の解を求めるものである。$${\displaystyle x^{N}-x+t=0}$$

特に、5次方程式は、上記に示したように、チルンハウス変換を使用することでこの形式に簡約できます。 とすると、一般形は次のようになります。 ここで ${\displaystyle x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$$${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta )}$$$${\displaystyle \phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}}$$

ラグランジュの公式によれば、任意の解析関数 に対して、 によって変換された一般方程式の根の近傍では、上記は無限級数として表現できる。 ${\displaystyle f\,}$${\displaystyle \zeta \,}$$${\displaystyle f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a=e^{2\pi i}}}$$

この式を入力すると、根を導き出すことができます。 ${\displaystyle f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$$${\displaystyle x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}}$$ $${\displaystyle k=1,2,3,\dots ,N-1\,}$$

ガウスの乗法定理を用いると、上記の無限級数は超幾何関数の有限級数に分解できます。 $${\displaystyle \psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}}$$

$${\displaystyle x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1}$$

$${\displaystyle x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}}$$

そして、この形式の三項式には根がある $${\displaystyle ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}}$$ $${\displaystyle x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}={}&-e^{\frac {2n\pi i}{N-2}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+\\&+{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}\sum _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi i}}{q!}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2\end{aligned}}}$$

したがって、方程式の根は、最大で超幾何関数 の和として表すことができます。この方法を縮小された Bring-Jerrard 五次方程式に適用して、次の関数を定義します。 これらは、上記の級数式に現れる超幾何関数です。五次方程式の根は次のようになります。 ${\displaystyle N-1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{rcrcccccc}x_{1}&=&{}-tF_{2}(t)\\[1ex]x_{2}&=&{}-F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{3}&=&F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{4}&=&{}-iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\\end{array}}}$$