関数（数学）

数学において、集合Xから集合Yへの関数は、 Xの各要素にYの要素をちょうど 1 つ割り当てます。^[1]集合Xは関数の定義域と呼ばれ、 ^[2]集合Yは関数の余域と呼ばれます。 ^[3]

関数はもともと、変化する量が別の量にどのように依存するかを理想化したものです。たとえば、惑星の位置は時間の関数です。歴史的には、この概念は17 世紀末に微分積分学で詳しく述べられ、19 世紀までは、考慮された関数は微分可能(つまり、高度な規則性を持つ) でした。関数の概念は 19 世紀末に集合論の観点から形式化され、これによりこの概念の適用範囲が大幅に広がりました。

関数は、 f、g、hなどの文字で表記されることが多い。関数fの、その定義域の要素x（つまり、xに関連付けられた共定義域の要素）における値は、 f ( x )と表記される。たとえば、x = 4におけるfの値は、 f (4)と表記される。通常、特定の関数は、 xに依存する式によって定義される。この場合、${\displaystyle f(x)=x^{2}+1;}$関数の評価は、特定の値における関数の値を推定するために必要になる場合があります。たとえば、${\displaystyle f(x)=x^{2}+1,}$${\displaystyle f(4)=4^{2}+1=17.}$

関数は、定義域と共役領域が与えられれば、すべてのペア ( x , f  ( x ))の集合によって一意に表現されます。これは関数のグラフと呼ばれ、関数を表す一般的な手段です。^{[注 1] [4]}定義域と共役領域が実数の集合である場合、各ペアは平面上の点の 直交座標と考えることができます。

関数は科学、工学、そして数学のほとんどの分野で広く使用されています。関数は数学のほとんどの分野で「研究の中心的対象」であると言われています。^[5]

関数の概念は、古代数学における非公式な起源から 19 世紀に公式化されるまで、何世紀にもわたって大きく進化してきました。詳細については、 関数の概念の歴史を参照してください。

集合Xから集合Yへの関数f は、 Yの 1 つの要素をXの各要素に割り当てることです。集合X は関数の定義域と呼ばれ、集合Y は関数の 共定義域と呼ばれます。

Yの要素y が関数fによってXのxに割り当てられている場合、 f はx をyにマップすると言い、これは通常、次のように書きます。この表記法では、x は関数の引数または変数です。 Xの特定の要素x は変数の値であり、Yの対応する要素はxにおける関数の値、または関数による xの像です。 ${\displaystyle y=f(x).}$

関数f、その定義域X、およびその共定義域Y は、しばしばという表記法で指定されます。の代わりに と書くこともできます。ここで、記号（「にマップする」と読む）は、定義域内の特定の要素xがfによってどこにマップされるかを指定するために使用されます。これにより、名前を付けずに関数を定義できます。たとえば、平方関数は関数です。${\displaystyle f:X\to Y.}$${\displaystyle x\mapsto y}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle \mapsto }$${\displaystyle x\mapsto x^{2}.}$

関数を定義するときに、定義域と共存域は必ずしも明示的に与えられるわけではない。特に、何らかの（おそらく困難な）計算を行わないと、特定の関数の定義域がより大きな集合に含まれることしか分からないことがよくある。たとえば、が実関数である場合、関数の定義域を決定するには、fの零点を知る必要がある。これが、数学的解析において、「 XからYへの関数」が、定義域としてXの適切な部分集合を持つ関数を指す場合がある理由の 1 つである。 ^{[注 2]}たとえば、「実数から実数への関数」は、定義域が実数の適切な部分集合、通常は空でない開区間を含む部分集合である実変数の実数値関数を指す場合がある。このような関数は部分関数と呼ばれる。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto 1/f(x)}$

関数の値域または像は、定義域内のすべての要素の像の集合である。 ^{[6] [7] [8] [9]}

集合S上の関数f は、定義域Sからの関数を、共定義域を指定せずに意味します。ただし、一部の著者は、関数がf  : S → Sであることを簡潔に表すためにこれを使用します。

上記の関数の定義は、本質的には、微積分の創始者であるライプニッツ、ニュートン、オイラーの定義です。しかし、数学的な「割り当て」の定義がないため、形式化することはできません。関数の最初の正式な定義が集合論の観点から提供されるようになったのは、19 世紀末になってからでした。この集合論的な定義は、関数が定義域の要素と共定義域の一部 (場合によってはすべて) の要素との関係を確立するという事実に基づいています。数学的には、 2 つの集合XとYの間の2 項関係は、およびとなるすべての順序付きペアの集合の部分集合です。これらのペアのすべての集合は、XとYの直積と呼ばれ、次のように表記されます。したがって、上記の定義は次のように形式化できます。 ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y.}$${\displaystyle X\times Y.}$

定義域Xと共定義域Yを持つ関数は、XとYの間の2項関係Rであり、次の2つの条件を満たす。^[10]

• の任意の値に対して、が存在する。${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (x,y)\in R.}$
• もし、そして${\displaystyle (x,y)\in R}$${\displaystyle (x,z)\in R,}$${\displaystyle y=z.}$

この定義は、関係の概念を明示的に参照せずに、より多くの表記法（セットビルダー表記法を含む）を使用して、より正式に書き直すことができます。

関数は、次の 3 つの条件を満たす 3 つの集合、定義域、 余域、グラフによって形成されます。${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle R}$

• ${\displaystyle R\subseteq \{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in R\qquad }$
• ${\displaystyle (x,y)\in R\land (x,z)\in R\implies y=z\qquad }$

部分関数は、通常の関数と同様に定義されますが、「全体」条件は除かれています。つまり、XからYへの部分関数は、 XとYの間の2項関係Rであり、任意のYに対して、最大で1つのyが存在し、${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (x,y)\in R.}$

関数表記法を使用すると、これは、がY内にあるか、または未定義である場合を意味します。 ${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle f(x)}$

が定義され、Yに属するようなXの要素の集合は、関数の定義域と呼ばれます。したがって、 XからYへの部分関数は、その定義域として関数の定義域と呼ばれるXのサブセットを持つ通常の関数です。定義域がXに等しい場合、部分関数は全関数であると言われることがよくあります。 ${\displaystyle f(x)}$

数学のいくつかの分野では、「関数」という用語は、通常の関数ではなく部分関数を指します。これは通常、関数の定義域を決定するのが困難または不可能になるような方法で関数が指定される場合に当てはまります。

微積分学では、実変数または実関数の実数値関数は、実数の集合からそれ自身への部分関数です。実関数が与えられた場合、その逆関数も実関数です。（部分）関数の逆関数の定義域を決定することは、関数のゼロ、つまり関数が定義されているが逆関数ではない値を計算することと同じです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f:x\mapsto f(x)}$ ${\displaystyle x\mapsto 1/f(x)}$

同様に、複素変数の関数は一般に、複素数の集合に含まれる定義域を持つ部分関数です。複素関数の定義域を決定することの難しさは、リーマンゼータ関数 の逆関数で示されます。関数の定義域を決定することは、数学における主要な未解決問題の1つであるリーマン予想の証明または反証にほぼ相当します。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z\mapsto 1/\zeta (z)}$

計算可能性理論では、一般再帰関数は、整数から、その値がアルゴリズムによって計算可能な整数への部分関数です(大まかに言えば)。このような関数の定義域は、アルゴリズムが永久に実行されない入力の集合です。計算可能性理論の基本定理は、任意の一般再帰関数を入力として受け取り、0 がその定義域に属するかどうかをテストするアルゴリズムは存在できないというものです (停止問題を参照)。

多変量関数、多変数関数、または複数の変数の関数は、複数の引数に依存する関数です。このような関数はよく見かけます。たとえば、道路上の車の位置は、移動時間と平均速度の関数です。

正式には、 n変数の関数とは、定義域がn組の集合である関数のことである。^{[注 3]} たとえば、整数の乗算は 2 変数の関数、つまり2 変数関数であり、定義域は整数の順序付きペア(2 組)の集合であり、共定義域は整数の集合である。同じことはすべての二項演算にも当てはまる。通常、n組は次のように括弧で囲んで表記される。関数表記 を使用する場合、通常は組を囲む括弧を省略し、次のように書く。 ${\displaystyle (1,2,\ldots ,n).}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle f((x_{1},\ldots ,x_{n})).}$

n個の集合が与えられたとき、その集合はの直積と呼ばれ、${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

したがって、多変数関数とは、デカルト積またはデカルト積の 適切な部分集合を定義域として持つ関数です。

${\displaystyle f:U\to Y,}$

ここで、ドメインUは次のような形式である。

${\displaystyle U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

すべてが実数の集合または複素数の集合に等しい場合、それぞれ複数の実変数の関数または複数の複素変数の関数と呼ばれます。 ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

関数を表す標準的な方法はいくつかあります。最も一般的に使用される表記法は関数表記法で、以下で最初に説明します。

関数表記では関数に名前を与える必要があります。関数が指定されていない場合、関数名は文字fであることが多いです。次に、関数を引数に適用する場合は、関数の名前に続いて引数（多変数関数の場合は引数）を括弧で囲んで指定します。例:

${\displaystyle f(x),\quad \sin(3),\quad {\text{or}}\quad f(x^{2}+1).}$

括弧内の引数は、関数のドメインの任意の要素、ドメインの特定の要素 (上記の例では3 )、またはドメインの要素に評価できる式(上記の例では ) を表す変数(多くの場合x ) です。括弧内の未指定の変数の使用は、"let " のように関数を明示的に定義する場合に便利です。 ${\displaystyle x^{2}+1}$${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}$

関数を表す記号が複数の文字で構成され、曖昧さが生じない場合は、関数表記の括弧を省略することができます。たとえば、sin( x )ではなくsin xと書くのが一般的です。

関数表記法は、1734年にレオンハルト・オイラーによって初めて使用されました。^[11]広く使用されている関数の中には、複数の文字（通常は2文字または3文字で、一般的に関数名の略語）で構成される記号で表されるものがあります。この場合、 1文字の記号にイタリック体フォントを使用するのとは対照的に、正弦関数には「 sin」などのローマン体が通常使用されます。

関数表記法は、"let be a function"のように、関数を参照すると同時にその引数に名前を付けるために口語的によく使用されます。これは、より単純な定式化に役立つ表記法の乱用です。 ${\displaystyle f(x)}$

矢印表記は、関数に名前を付ける必要なく、関数のルールをインラインで定義します。矢印記号 ↦ を使用し、「マップする」と発音します。たとえば、は実数を入力として受け取り、その数に 1 を加えた値を出力する関数です。ここでも、 のドメインとコドメインが暗黙的に示されます。 ${\displaystyle x\mapsto x+1}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ドメインとコドメインは、次のように明示的に記述することもできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}}$

これは、入力の二乗を返す、整数から整数への 関数sqr を定義します。

矢印表記の一般的な応用として、 が2 つの変数を持つ関数であると仮定し、新しい関数名を導入せずに、2 番目の引数を値t ₀に固定することによって生成された部分的に適用された関数を参照します。問題のマップは、矢印表記を使用して表すことができます。式(「x をxカンマtゼロのfにするマップ」と読みます) は、引数を 1 つだけ持つこの新しい関数を表しますが、式f ( x ₀ , t ₀ )は、点( x ₀ , t ₀ )における関数fの値を参照します。${\displaystyle f:X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}$ ${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$

関数表記の代わりにインデックス表記が使用される場合もある。つまり、f  ( x )と書く代わりに、${\displaystyle f_{x}.}$

これは通常、自然数の集合を定義域とする関数の場合に当てはまります。このような関数は数列と呼ばれ、この場合、要素は数列の n番目の要素と呼ばれます。${\displaystyle f_{n}}$

インデックス表記は、パラメータと呼ばれる変数を「真の変数」と区別するためにも使用できます。実際、パラメータは、問題の調査中に固定されていると見なされる特定の変数です。たとえば、すべての の式でマップのコレクションを定義する場合、マップ(上記を参照) はインデックス表記を使用して表されます。 ${\displaystyle x\mapsto f(x,t)}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{t}(x)=f(x,t)}$${\displaystyle x,t\in X}$

この表記法では、 記号x は値を表しません。これは単なるプレースホルダーです。つまり、矢印の左側でx が任意の値に置き換えられた場合、矢印の右側でも同じ値に置き換えられます。したがって、 x は任意の記号、多くの場合は句読点「⋅ 」に置き換えられます。これは、関数f  (⋅) をxにおける値f  ( x )と区別するのに役立ちます。 ${\displaystyle x\mapsto f(x),}$

たとえば、は関数 を表す場合があり、 は変数の上限を持つ積分によって定義された関数 を表す場合があります。 ${\displaystyle a(\cdot )^{2}}$${\displaystyle x\mapsto ax^{2}}$${\textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$

数学の分野によっては、関数を表す他の特殊な表記法もあります。たとえば、線型代数と関数解析では、線型形式とそれが作用するベクトルは、根本的な双対性を示すために双対ペアを使用して表されます。これは、量子力学におけるブラケット表記法の使用に似ています。論理学と計算理論では、ラムダ計算の関数表記法を使用して、関数の抽象化と適用の基本概念を明示的に表現します。圏論とホモロジー代数では、関数のネットワークは、上記の関数の矢印表記法を拡張して一般化する可換図を使用して、関数とその構成が互いにどのように交換できるかという観点から記述されます。

場合によっては、関数の引数は、いくつかのセットから取得された要素の順序付きペアであることがあります。たとえば、関数f は、任意の実数のペアをそれらの平方の合計 にマッピングするものとして定義できます。このような関数は、一般に と記述され、「2 つの変数の関数」と呼ばれます。同様に、 、などの表記を使用して、3 つ以上の変数の関数を持つこともできます。 ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle f(w,x,y)}$${\displaystyle f(w,x,y,z)}$

関数はマップまたはマッピングと呼ばれることもありますが、一部の著者は「マップ」と「関数」という用語を区別しています。たとえば、「マップ」という用語は、何らかの特別な構造を持つ「関数」（多様体のマップなど）に対してよく使用されます。特に、簡潔さのために準同型の代わりにマップが使用されることがあります（たとえば、 GからHへの群準同型ではなく、線型マップまたはGからHへのマップ）。一部の著者^[14]は、マッピングという単語を、共形領域の構造が関数の定義に明示的に属する場合に使用します。

セルジュ・ラング^[13]などの著者は、共役領域が実数または複素数のサブセットであるマップを指す場合にのみ「関数」を使用し、より一般的な関数には マッピングという用語を使用します。

力学系の理論では、マップは離散的な力学系を作成するために使用される進化関数を表します。ポアンカレ マップも参照してください。

マップのどの定義が使用される場合でも、ドメイン、コドメイン、単射、連続などの関連用語は関数の場合と同じ意味を持ちます。

定義により、関数 の定義域の各要素に関数 が与えられると、それに関連付けられた一意の要素、つまりにおけるの値があります。 が とどのように関連しているかを明示的または暗黙的に指定または記述する方法はいくつかあります。定理または公理は、より正確に記述することなく、いくつかの特性を持つ関数の存在を主張する場合があります。多くの場合、指定または記述は関数 の定義と呼ばれます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$

有限集合上の関数は、定義域の要素に関連付けられた共域の要素を列挙することによって定義できます。たとえば、 の場合、関数は次のように定義できます。${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.}$

関数は、多くの場合、算術演算と以前に定義された関数の組み合わせを記述する式によって定義されます。このような式を使用すると、ドメインの任意の要素の値から関数の値を計算できます。たとえば、上記の例では、 は、に対して式 によって定義できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(n)=n+1}$${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$

関数がこのように定義されると、その定義域の決定が困難な場合があります。関数を定義する式に除算が含まれている場合、分母が 0 である変数の値は定義域から除外する必要があります。したがって、複雑な関数の場合、定義域の決定は補助関数の0の計算を経由します。同様に、からへの関数の定義で平方根が発生する場合、定義域は平方根の引数が非負である変数の値の集合に含まれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

たとえば、x が実数であれば は常に正であるため、は定義域 となる関数を定義します。一方、 は、定義域が区間[−1, 1]に縮小される、実数から実数への関数を定義します。(古いテキストでは、このような定義域は関数の 定義域と呼ばれていました。)${\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle 1+x^{2}}$${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

関数は、それを定義する式の性質によって分類できます。

• 二次関数は、 a、b、cが定数である場合に表される関数です。${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$
• より一般的には、多項式関数は、加算、減算、乗算、および非負整数の累乗のみを含む式によって定義できる関数です。たとえば、およびは の多項式関数です。${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1}$${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}$${\displaystyle x}$
• 有理関数も同様ですが、除算も可能で、${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}},}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.}$
• 代数関数も同様ですが、n乗根や多項式の根も使用できます。
• 基本関数[^注4]も同様ですが、対数関数と指数関数が許可されます。

定義域Xと共定義域Y を持つ関数が全単射であるとは、 Yのすべてのyに対して、 y = f ( x )となるXの元x が1 つだけ存在する場合です。この場合、fの逆関数は、 y = f ( x )となる元に写像する関数です。たとえば、自然対数は、正の実数から実数への全単射関数です。したがって、自然対数には、実数を正の数に写像する指数関数と呼ばれる逆関数があります 。${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$

関数が全単射でない場合、fからEへの制限がEからFへの全単射となり、逆関数が存在するようなサブセットとを選択できる場合があります。逆三角関数はこのように定義されます。たとえば、コサイン関数は、制限により、区間[0, π ]から区間[−1, 1]への全単射を誘導し、その逆関数であるアークコサインは、 [−1, 1]を[0, π ]に写します。他の逆三角関数も同様に定義されます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle E\subseteq X}$${\displaystyle F\subseteq Y}$

より一般的には、2 つの集合XとYの間の2 項関係 Rが与えられ、任意の に対してx R yとなるようなものが存在するようなXのサブセットEとします。任意の に対してそのようなy を選択できる基準がある場合、これは関係Rによって暗黙的に定義されるため、暗黙関数と呼ばれる関数を定義します。 ${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle f:E\to Y,}$

たとえば、単位円 の方程式は実数の関係を定義します。−1 < x < 1の場合、 yには正と負の2 つの値があります。 x = ± 1の場合、これら 2 つの値は両方とも 0 になります。それ以外の場合、 yには可能な値はありません。つまり、方程式は、定義域[−1, 1]とそれぞれの共定義域[0, +∞)および(−∞, 0]を持つ 2 つの暗黙の関数を定義します。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

この例では、方程式はyについて解くことができ、 となりますが、より複雑な例ではこれは不可能です。たとえば、関係はy をxの暗黙の関数として定義します。これはBring 根号と呼ばれ、定義域と値域を持ちます。 Bring 根号は、四則演算とn乗根では表すことができません。 ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},}$${\displaystyle y^{5}+y+x=0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

暗黙関数定理は、点の近傍における暗黙関数の存在と一意性に関する 緩やかな微分可能性条件を提供します。

多くの関数は、別の関数の不定積分として定義できます。自然対数 は、 x = 1のときに 0 となる1/ xの不定積分の場合に該当します。別の一般的な例としては、誤差関数 があります。

より一般的には、ほとんどの特殊関数を含む多くの関数は、微分方程式の解として定義できます。最も単純な例はおそらく指数関数で、これはその導関数に等しく、 x = 0に対して値 1 を取る唯一の関数として定義できます。

べき級数を使用して、関数が収束する領域で関数を定義することができます。たとえば、指数関数は で与えられます。ただし、級数の係数はまったく任意であるため、収束する級数の和である関数は一般に別の方法で定義され、係数のシーケンスは別の定義に基づく何らかの計算の結果です。次に、べき級数を使用して関数の定義域を拡大することができます。通常、実変数の関数が、ある区間でのテイラー級数の和である場合、このべき級数により、級数の収束円である複素数の部分集合に定義域を直ちに拡大できます。次に、解析接続により、複素平面のほぼ全体を含むように定義域をさらに拡大できます。このプロセスは、複素数の対数、指数関数、三角関数を定義するために一般的に使用される方法です。 ${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$

非負の整数を定義域とする関数（数列と呼ばれる）は、再帰関係によって定義されることがあります。

非負整数（）上の階乗関数は、再帰関係によって定義される基本的な例である。 ${\displaystyle n\mapsto n!}$

${\displaystyle n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,}$

そして初期条件

${\displaystyle 0!=1.}$

グラフは、関数を直感的に理解するためによく使用されます。グラフが関数の理解にどのように役立つかを示す例として、グラフを見れば関数が増加しているか減少しているかが簡単にわかります。一部の関数は棒グラフで表されることもあります。

関数が与えられた場合、そのグラフは、形式的には集合 ${\displaystyle f:X\to Y,}$

${\displaystyle G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.}$

XとY が実数のサブセットである場合（または、区間など、そのようなサブセットと同一視される場合もある）、要素は、2 次元座標系（たとえば、直交平面）の座標x、yを持つ点と同一視されることがある。この一部は、関数（の一部）を表すプロットを作成することができる。プロットの使用はいたるところで行われるため、これも関数のグラフと呼ばれる。関数のグラフィック表現は、他の座標系でも可能である。たとえば、2 乗関数のグラフ${\displaystyle (x,y)\in G}$

${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$

の座標を持つすべての点で構成される関数を直交座標で表すと、よく知られている放物線 が得られます。同じ形式のグラフを持つ同じ 2 次関数(数値のペアで構成される) を極座標でプロットすると、フェルマーの螺旋が描かれます。 ${\displaystyle (x,x^{2})}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$ ${\displaystyle (r,\theta )=(x,x^{2}),}$

関数は値の表として表すことができます。関数の定義域が有限であれば、関数はこのように完全に指定できます。たとえば、次のように定義される乗算関数は、よく知られている乗算表で表すことができます。${\displaystyle f:\{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x,y)=xy}$

一方、関数のドメインが連続している場合は、ドメインの特定の値における関数の値を表で表すことができます。中間値が必要な場合は、補間を使用して関数の値を推定できます。たとえば、正弦関数の表の一部は、値が小数点以下 6 桁に丸められた状態で次のように表されます。

携帯型計算機やパーソナルコンピュータが登場する以前は、対数関数や三角関数などの関数についてこのような表が頻繁に作成され、公開されていました。

棒グラフは、定義域が有限集合、自然数、または整数である関数を表すことができます。この場合、定義域の要素x はx軸の区間で表され、関数の対応する値f ( x )は、 xに対応する区間を底辺とし、高さがf ( x )である（負の値になる可能性があり、その場合は棒がx軸の下に伸びる）四角形で表されます。

このセクションでは、ドメインとコドメインの特定のプロパティに依存しない関数の一般的なプロパティについて説明します。

頻繁に発生する標準関数がいくつかあります。

• あらゆる集合Xに対して、空関数、または空写像空集合からXへ。空関数のグラフは空集合です。^{[注 5]}空関数の存在は、理論の一貫性と、多くのステートメントで空集合に関する例外を回避するために必要です。関数を順序付き 3 つ組空集合であっても空関数等しくならないのは の場合のみです。${\displaystyle \varnothing \to X}$${\displaystyle \varnothing \to Y}$${\displaystyle X\neq Y}$
• すべての集合Xとすべての単集合 { s }に対して、 Xから{ s }への一意の関数が存在し、これはXのすべての要素をsにマッピングします。 X が空集合でない限り、これは全射です（以下を参照） 。
• 関数が与えられた場合、f のその像への標準射影は、 xをf ( x )に写すXからf ( X )への関数です。${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$
• 集合Xのすべての部分集合 Aについて、AのXへの包含写像は、 Aのすべての要素をそれ自体に写像する単射（以下を参照）関数です。
• 集合X上の恒等関数は、id X と表記されることが多く、_Xをそれ自身に含める関数です。

gの定義域がfの余域となるような2つの関数とが与えられたとき、それらの合成は次のように定義される 関数である。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle g\circ f:X\rightarrow Z}$

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$

つまり、 の値は、最初にxにf を適用してy = f ( x )を取得し、次に結果yにg を適用してg ( y ) = g ( f ( x ))を取得することによって得られます。この表記では、最初に適用される関数が常に右側に記述されます。 ${\displaystyle g\circ f}$

合成は、最初の関数の余域が2番目の関数の領域である場合にのみ定義される関数の演算です。 と の両方がこれらの条件を満たす場合でも、合成は必ずしも可換ではありません。つまり、関数と は等しい必要はなく、同じ引数に対して異なる値を返すことがあります。たとえば、f ( x ) = x ²およびg ( x ) = x + 1とすると、 とはについてのみ一致します。${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g(f(x))=x^{2}+1}$${\displaystyle f(g(x))=(x+1)^{2}}$${\displaystyle x=0.}$

関数合成は結合的であり、とのいずれかが定義されている場合、もう一方も定義されており、それらは等しい。つまり、したがって、通常は次のように書く。${\displaystyle (h\circ g)\circ f}$${\displaystyle h\circ (g\circ f)}$${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).}$${\displaystyle h\circ g\circ f.}$

恒等関数と関数は それぞれ、 XからYへの関数の右恒等関数と左恒等関数である。つまり、fが定義域X、共定義域Y を持つ関数である場合、 ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.}$

• 
  合成関数g ( f ( x )) は、2 つの「マシン」の組み合わせとして視覚化できます。
• 
  関数合成の簡単な例
• 
  別の構成。この例では、( g  ∘  f  )(c) = # です。

定義域Xの元xのfによる像はf ( x )である。[ ^6] A がXの任意の部分集合である場合、fによるAの像f ( A )は、 Aの元のすべての像からなる共定義域Yの部分集合である。^[6]つまり、 ${\displaystyle f:X\to Y.}$

${\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.}$

fの像は、全定義域の像、すなわち f ( X ) である。[ 17 ]これは^fの値域とも呼ばれる^{[6] [7] [8] [9]が、}値域という用語は共定義域を指すこともある。^{[9] [17] [18]}

一方、共役領域Yの元yのfによる逆像または逆元像は、 fによる像がyに等しい領域Xのすべての元の集合である。^{[6]記号では、} yの逆像は次のように表され、次の式で与えられる。 ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}$

同様に、共役領域Yの部分集合Bの逆像は、 Bの元の逆像の集合、つまり、Bに属する像を持つXのすべての元からなる領域Xの部分集合である。^[6]これは と表記され、次の式で与えられる 。${\displaystyle f^{-1}(B)}$

${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.}$

たとえば、平方関数によるの逆像は集合 です。 ${\displaystyle \{4,9\}}$${\displaystyle \{-3,-2,2,3\}}$

関数の定義により、定義域の元xの像は常に共役領域の単一の元になります。ただし、共役領域の元yの逆像は空の場合もあれば、任意の数の元を含む場合もあります。たとえば、 f が整数からそれ自身への関数で、すべての整数を 0 にマッピングするものである場合、次のようになります。 ${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle f^{-1}(0)=\mathbb {Z} }$

が関数で、AとB がXのサブセット、CとD がYのサブセットである場合、次の特性があります。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)}$
• ${\displaystyle C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)}$
• ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A))}$
• ${\displaystyle C\supseteq f(f^{-1}(C))}$
• ${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$
• ${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)}$

共役域の元yのfによる逆像は、文脈によっては、fによるyのファイバーと呼ばれることもあります。

関数f に逆関数がある場合 (下記参照)、この逆関数は と表記されます。この場合、 はCのfの像または逆像のいずれかを表します。これらの集合は等しいので、これは問題にはなりません。 と の表記は、などの、いくつかの部分集合を要素として含む集合の場合には曖昧になることがあります。この場合、部分集合の像と逆像には角括弧を使用し、要素の像と逆像には通常の括弧を使用するなど、多少の注意が必要になることがあります。 ${\displaystyle f^{-1}.}$${\displaystyle f^{-1}(C)}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle f^{-1}(C)}$${\displaystyle \{x,\{x\}\}.}$${\displaystyle f[A],f^{-1}[C]}$

関数と します。${\displaystyle f:X\to Y}$

関数fが単射（または一対一、または単射）であるとは、Xの任意の2つの異なる元aとbに対してf ( a ) ≠ f ( b )であるときである。^{[17] [19]}同様に、fが単射であるためには、任意の に対して、逆像が最大で1つの元しか含まないことが必要である。空関数は常に単射である。X が空集合でない場合、fが単射であるためには、つまり、f が左逆関数を持つ場合が必要である。^[19]証明: fが単射である場合、g を定義するために、 Xの元（Xが空でないと仮定して存在する）を選択し、^{[注 6]}かつ である場合にg を定義する。逆に かつである場合に、 かつしたがって${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$ ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle g(y)=x}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle g(y)=x_{0}}$${\displaystyle y\not \in f(X).}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$${\displaystyle y=f(x),}$${\displaystyle x=g(y),}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\}.}$

関数fが全射的（または上、または は全射）であるとは、その値域が余域 に等しい場合、つまり余域の各元に対して、となる領域の元が存在する場合（言い換えれば、すべての の逆像が空でない）である。^{[17] [20]}現代数学でよくあるように、選択公理が仮定される場合、fが全射であるためには、 となる関数が存在する場合、つまりf が右逆 を持つ場合である。^[20]選択公理が必要なのは、f が全射である場合、 gを で定義するためである。ここでは の任意に選択された元である。${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y},}$${\displaystyle g(y)=x,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f^{-1}(y).}$

関数fが全単射（または全単射あるいは一対一対応）であるとは、それが単射かつ全射であるときである。^{[17] [21]}つまり、任意の に対して原像がちょうど 1 つの要素を含むとき、 fは全単射である。関数fが全単射であるためには、逆関数、つまりかつ となる関数を許容する必要がある^[21]（全単射の場合とは異なり、これには選択公理は必要なく、証明は簡単である）。 ${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.}$

すべての関数は、全射とそれに続く単射の合成として因数分解できます。ここで、 s はXからf ( X )への標準全射であり、i はf ( X )からYへの標準単射です。これがfの標準因数分解です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle i\circ s}$

「1対1」と「上へ」は、古い英語文献でより一般的だった用語である。「単射」、「全射」、「全単射」は、もともと20世紀の第2四半期にブルバキグループによってフランス語として造られ、英語に輸入された。^[22]注意として、「1対1関数」は単射である関数であり、「1対1対応」は全単射関数を指す。また、「f はXを Yに 写像する」という文は、「 f はXをBに 写像する」とは異なり、前者はfが全射であることを暗示するのに対し、後者はfの性質について何も主張していない。複雑な推論では、この1文字の違いは簡単に見落とされる可能性がある。この古い用語の紛らわしさのため、これらの用語は、より対称的であるという利点もあるブルバキ用語に比べて人気が低下している。

が関数でS がXのサブセットである場合、 のSへの制限は と表され、 SからYへの関数として定義されます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f|_{S}}$

${\displaystyle f|_{S}(x)=f(x)}$

Sに属するすべてのxに対して成り立つ。制約条件は、部分逆関数を定義するために使用できる。つまり、関数の定義域のサブセットSがあり、 が単射である場合、 のその像への標準射影は全単射であり、したがって からSへの逆関数が存在する。1 つの応用例は、逆三角関数の定義である。たとえば、余弦関数は、区間[0, π ]に制限されている場合、単射である。この制約条件の像は区間[−1, 1]であり、したがって制約条件には[−1, 1]から[0, π ]への逆関数が存在する。これは逆余弦と呼ばれ、 arccosと表記される。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f|_{S}}$${\displaystyle f|_{S}}$${\displaystyle f|_{S}(S)=f(S)}$${\displaystyle f(S)}$

関数の制限は、関数を「接着」するためにも使用できます。 をサブセットの和集合としてのXの分解とし、各インデックスのペアごとにと の制限が等しい関数がそれぞれに定義されているとします。すると、すべてのiに対してとなる一意の関数が定義されます。これは、多様体上の関数が定義される方法です。 ${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to Y}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f|_{U_{i}}=f_{i}}$

関数fの拡張とは、関数g のうち、f がgの制限となるものである。この概念の典型的な使用法は解析接続のプロセスであり、これにより、定義域が複素平面の小さな部分である関数を、定義域が複素平面のほぼ全体である関数に拡張することができる。

実数直線のホモグラフィを研究するときに遭遇する関数拡張のもう 1 つの古典的な例を示します。ホモグラフィは、 ad − bc ≠ 0となる関数です。その定義域はとは異なるすべての実数全体の集合であり、その像は とは異なるすべての実数全体の集合です。∞を含めることによって実数直線を射影拡張された実数直線に拡張する場合、 および を設定することで、拡張された実数直線からh をその直線自体への全単射に拡張できます。 ${\displaystyle h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$${\displaystyle -d/c,}$${\displaystyle a/c.}$${\displaystyle h(\infty )=a/c}$${\displaystyle h(-d/c)=\infty }$

17 世紀に始まった関数の考え方は、新しい無限小計算の基礎となった。当時は、実変数の実数値関数のみが考慮され、すべての関数は滑らかであると想定されていた。しかし、その定義はすぐに複数の変数の関数や複素変数の関数にまで拡張された。19 世紀後半には、数学的に厳密な関数の定義が導入され、任意の定義域と共定義域を持つ関数が定義された。

関数は現在、数学のあらゆる分野で使用されています。初級微積分学では、関数という語が修飾語なしで使用される場合、それは単一の実変数の実数値関数を意味します。関数のより一般的な定義は、通常、STEM専攻の大学 2 年生または 3 年生に紹介され、4 年生になると、実解析や複素解析などのコースで、より大規模で厳密な設定で微積分学が紹介されます。

実関数は実変数の実数値 関数、つまり、共役領域が実数体であり、定義域が区間を含む実数集合である関数です。このセクションでは、これらの関数を単に関数と呼びます。

数学とその応用で最も一般的に考慮される関数には、連続、微分可能、さらには解析的であるという規則性があります。この規則性により、これらの関数をグラフで視覚化できます。このセクションでは、すべての関数がある区間で微分可能です。

関数は点ごとの演算を楽しむ。つまり、fとgが関数であれば、それらの和、差、積は次のように定義される関数である。

${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.}$

結果として得られる関数の定義域は、fとgの定義域の共通部分である。2つの関数の商も同様に次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}$

しかし、結果として得られる関数の定義域は、fとgの定義域の共通部分からgの零点を除去することによって得られます。

多項式関数は多項式によって定義され、その定義域は実数全体です。これらには、定数関数、線形関数、および二次関数が含まれます。有理関数は2 つの多項式関数の商であり、その定義域は、ゼロ除算を避けるために有限個の実数を除いた実数です。最も単純な有理関数は、グラフが双曲線で、定義域が0 を除く 実数直線全体である関数です。${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}},}$

微分可能な実関数の導関数は実関数です。連続実関数の原始導関数は、元の関数を導関数として持つ実関数です。たとえば、関数は正の実数上で連続しており、微分可能です。したがって、 x = 1に対して値 0 を取る 1 つの原始導関数は、自然対数と呼ばれる微分可能な関数です。 ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$

実関数fが区間内で単調であるとは、 の符号が区間内のxとyの選択に依存しない場合です。関数が区間内で微分可能で、導関数の符号が区間内で一定であれば、関数は単調です。実関数fが区間I内で単調である場合、その関数には逆関数があり、これは定義域f ( I )と像Iを持つ実関数です。このようにして、逆三角関数は三角関数が単調である場合に三角関数によって定義されます。別の例: 自然対数は正の実数で単調であり、その像は実数直線全体です。したがって、実数と正の実数の間の一対一である逆関数があります。この逆関数は指数関数です。 ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

他の多くの実関数は、暗黙関数定理（逆関数は特別な例）または微分方程式の解として定義されます。たとえば、正弦関数と余弦関数は、線形微分方程式の解です。

${\displaystyle y''+y=0}$

そのような

${\displaystyle \sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.}$

関数の共域の要素がベクトルである場合、その関数はベクトル値関数と呼ばれます。これらの関数は、物理的特性のモデリングなどのアプリケーションで特に役立ちます。たとえば、流体の各点にその速度ベクトルを関連付ける関数は、ベクトル値関数です。

いくつかのベクトル値関数は、 のサブセット、または多様体などの の幾何学的または位相的特性を共有する他の空間上で定義されます。これらのベクトル値関数は、ベクトル場という名前が付けられています。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

数学的解析、より具体的には関数解析において、関数空間は、特定の特性を共有し、位相ベクトル空間を形成するスカラー値またはベクトル値関数の集合です。たとえば、コンパクトなサポートを持つ（つまり、あるコンパクトなセットの外側でゼロになる）実滑らかな関数は、超関数の理論の基礎となる関数空間を形成します。

関数空間は、関数の特性を研究するためにその代数的および位相的特性を利用できるようにすることで、高度な数学的分析において基本的な役割を果たします。たとえば、常微分方程式または偏微分方程式の解の存在および一意性に関するすべての定理は、関数空間の研究から得られます。

実変数または複素変数の関数を指定するためのいくつかの方法は、ある点または点の近傍での関数のローカル定義から開始し、その後、連続性によって関数をはるかに大きな領域に拡張します。多くの場合、開始点に対して、関数の開始値が複数考えられます。 ${\displaystyle x_{0},}$

たとえば、平方根を平方関数の逆関数として定義する場合、任意の正の実数に対して平方根の値の選択肢が 2 つあります。1 つは正で と表記され、もう 1 つは負で と表記されます。これらの選択肢により、非負の実数を定義域として持ち、非負または非正の実数を像として持つ、2 つの連続関数が定義されます。これらの関数のグラフを見ると、これらが 1 つの滑らかな曲線を形成していることがわかります。したがって、これら 2 つの平方根関数を、正のxに対して 2 つの値、0 に対して 1 つの値、負のxに対して値がない単一の関数と見なすと便利なことがよくあります。 ${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle {\sqrt {x_{0}}},}$${\displaystyle -{\sqrt {x_{0}}}.}$

前の例では、正の平方根という選択が、他の選択よりも自然です。ただし、一般にはそうではありません。たとえば、yを の平方根xにマッピングする暗黙の関数を考えてみましょう(右の図を参照)。y = 0の場合、 xに対してはどちらでも選択できます。暗黙の関数定理により、それぞれの選択で関数が定義されます。最初の選択では、 (最大) 定義域は区間[−2, 2]で、像は[−1, 1]です。2 番目の選択では、定義域は[−2, ∞)で、像は[1, ∞)です。最後のものについては、定義域は(−∞, −1]で、像は(−∞, −1]です。 3 つのグラフを合わせると滑らかな曲線が形成され、いずれかの選択を優先する理由はないため、これらの 3 つの関数は、−2 < y < 2に対して 3 つの値を持ち、 y ≤ −2およびy ≥ −2に対して 1 つの値のみを持つ、yの単一の多値関数と見なされることがよくあります。 ${\displaystyle x^{3}-3x-y=0}$${\displaystyle 0,{\sqrt {3}},{\text{ or }}-{\sqrt {3}}}$

多価関数の概念の有用性は、複素関数、典型的には解析関数を考えるとより明らかになります。解析接続によって複素関数を拡張できる領域は、一般に複素平面のほぼ全体で構成されます。ただし、2 つの異なるパスを介して領域を拡張すると、異なる値が得られることがよくあります。たとえば、平方根関数の領域を、正の虚数部を持つ複素数のパスに沿って拡張すると、-1 の平方根としてiが得られますが、負の虚数部を持つ複素数を介して拡張すると、 - i が得られます。一般に、この問題を解決する方法は 2 つあります。1 つは、分岐カットと呼ばれる、ある曲線に沿って連続していない関数を定義することです。このような関数は、関数の主値と呼ばれます。もう 1 つの方法は、孤立した特異点を除いてどこでも解析的であるが、特異点の周りの閉ループに従うと値が「ジャンプ」する可能性がある多価関数を持つと考えることです。このジャンプはモノドロミーと呼ばれます。

この記事で与えられる関数の定義には、関数の定義域と共定義域が集合でなければならないため、集合の概念が必要です。これは通常の数学では問題にはなりません。定義域が明示的に定義されていなくても、定義域と共定義域が集合であり、それらが適切に定義されている関数だけを考えることは一般的に難しくないからです。ただし、より一般的な関数を考えることが有用な場合もあります。

例えば、単集合は関数として考えることができる。その定義域はすべての集合を含むため、集合ではない。通常の数学では、定義域を指定することでこの種の問題を回避し、つまり単集合関数を多数持つことになる。しかし、数学の基礎を確立する際には、定義域、余定義域、またはその両方が指定されていない関数を使用しなければならない場合があり、一部の著者、多くの場合は論理学者は、これらの弱く指定された関数に対して正確な定義を与える。^[23]${\displaystyle x\mapsto \{x\}.}$

これらの一般化された関数は、数学の基礎の形式化の発展において極めて重要となる可能性があります。たとえば、フォン・ノイマン・ベルネイス・ゲーデル集合論は、すべての集合のコレクションがクラスである集合論の拡張です。この理論には、次のように述べることができる置換公理が含まれています。Xが集合でF が関数である場合、F [ X ]は集合です。

集合論ではなく型理論を用いた数学の基礎の代替定式化では、関数は他の種類のオブジェクトから定義されるのではなく、基本概念として扱われます。関数は関数型の住人であり、ラムダ計算の式を使用して構築できます。^[24]

コンピュータプログラミングにおいて、関数とは一般に、関数の抽象概念を実装するコンピュータプログラムの一部です。つまり、入力ごとに出力を生成するプログラム単位です。ただし、多くのプログラミング言語では、出力がない場合や機能がコンピュータメモリ内のデータを変更するだけの場合でも、すべてのサブルーチンが関数と呼ばれます。

関数型プログラミングは、数学関数のように動作するサブルーチンのみを使用してプログラムを構築するプログラミング パラダイムです。たとえば、if_then_elseは 3 つの関数を引数として受け取り、最初の関数の結果 ( trueまたはfalse ) に応じて、2 番目または 3 番目の関数の結果を返す関数です。関数型プログラミングの重要な利点は、ラムダ計算(下記参照)という十分に根拠のある理論に基づいているため、プログラムの証明が容易になることです。

コンピュータ言語の用語を除き、「関数」はコンピュータサイエンスにおいて通常の数学的な意味を持ちます。この分野では、関数の計算可能性が大きな関心事となっています。この概念と、関連するアルゴリズムの概念に正確な意味を与えるために、いくつかの計算モデルが導入されました。古いものとしては、一般再帰関数、ラムダ計算、チューリングマシンがあります。計算可能性理論の基本定理は、これら 3 つの計算モデルが同じ計算可能関数のセットを定義し、これまでに提案された他のすべての計算モデルが同じ計算可能関数のセットまたはより小さいセットを定義するというものです。チャーチ-チューリングのテーゼは、計算可能関数の哲学的に受け入れられる定義はすべて、同じ関数を定義するという主張です。

一般的な再帰関数は、次のように定義できる整数から整数への 部分関数です。

• 定数関数、
• 後継者、そして
• 投影関数

オペレーター経由で

• 構成、
• 原始再帰、そして
• 最小化。

整数から整数への関数に対してのみ定義されていますが、次の特性の結果として、任意の計算可能な関数をモデル化できます。

• 計算とは、有限の記号列（数字、数式など）を操作することである。
• あらゆる記号のシーケンスはビットのシーケンスとしてコード化される可能性がある。
• ビットシーケンスは整数のバイナリ表現として解釈できます。

ラムダ計算は、集合論を使用せずに計算可能な関数を定義する理論であり、関数型プログラミングの理論的背景です。変数、関数定義 ( 𝜆項)、または関数の項への適用のいずれかである項で構成されます。項は、理論の公理であり、計算の規則として解釈できる いくつかの規則 ( α同値、β縮小、η変換)を通じて操作されます。

ラムダ計算の本来の形式には、関数のドメインとコドメインの概念は含まれていません。大まかに言えば、これらは理論の中で型付きラムダ計算の型という名前で導入されました。ほとんどの種類の型付きラムダ計算では、型なしラムダ計算よりも定義できる関数の数が少なくなります。

• Wolfram Functions – 多くの数学関数の公式と視覚化を提供するウェブサイト
• NIST 数学関数デジタルライブラリ