交差（集合論）

交差点

2 つの集合の交差は円で表されます。赤色で表示されます。${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle A\cap B}$
タイプ	集合演算
分野	集合論
声明	との共通部分は、集合と 集合 の両方に含まれる要素の集合です。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
象徴的な声明	${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ および }}x\in B\}}$

集合論では、2つの集合と^[1]の交差は、にも属するすべての要素を含む集合、またはそれと同義で、^[2]にも属するすべての要素を含む集合である。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle A\cap B,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A.}$

積集合は、項の間に記号「」を使用して、つまり中置記法で記述されます。たとえば、 2 つ以上の集合の積集合 (一般化積集合) は、次のように記述できます。 これは、大文字シグマ記法 に似ています。 ${\displaystyle \cap}$$${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$$ $${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }$$ $${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$$ $${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$$$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$$

この記事で使用されている記号の説明については、数学記号表を参照してください。

2つの集合とが交差する集合は^[3]で表され、集合との両方に属するすべてのオブジェクトの集合である 。記号では、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$$${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ および }}x\in B\}.}$$

つまり、が の要素である場合、かつ がの要素であり^[3]の要素である場合に限ります。${\displaystyle x}$${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$

例えば：

• 集合 {1, 2, 3} と {2, 3, 4} の共通部分は {2, 3} です。
• 9 は素数ではないため、素数の集合{2、3、5、7、11、...} と奇数の集合{1、3、5、7、9、11、...} の共通部分には存在しません。

私たちはこう言います${\displaystyle A}$が で交差する${\displaystyle B}$とは、両方の要素であるものが存在する場合です。この場合、は で交差するとも言います。同様に、と の交差点が有人集合である交差します。つまり、 が存在するので、${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in A\cap B.}$

と が交わらない場合、と は互いに素であるといえます。平易な言葉で言えば、 と には共通の要素がありません。と の交差が空の場合、と は互いに素であり、 と表されます。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cap B=\varnothing .}$

たとえば、集合と は互いに素ですが、偶数の集合は3 の倍数の集合と 6 の倍数で交差します。 ${\displaystyle \{1,2\}}$${\displaystyle \{3,4\}}$

二項積は結合演算である。つまり、任意の集合と1つ に対して、${\displaystyle A,B,}$${\displaystyle C,}$

$${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.}$$したがって、括弧を省略しても曖昧さはありません。上記のどちらも と書くことができます。 交差も可換です。つまり、任意の および に対して、 が成り立ちます。 任意の集合と空集合 の交差は空集合になります。つまり、任意の集合 に対して、が成り立ちます。 また、交差演算は冪等です。つまり、任意の集合 がを満たします。 これらの特性はすべて、論理積に関する類似の事実から生じます。 ${\displaystyle A\cap B\cap C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$$${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$$${\displaystyle A}$$${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\cap A=A}$

交差は和集合に分配され、和集合は交差に分配されます。つまり、任意の集合 と に対して、が存在する場合 、宇宙内で の補集合をに含まれないのすべての要素の集合として定義できます。さらに、 と の交差は、それらの補集合の和集合の補集合として表すことができ、これはド・モルガンの法則から簡単に導かれます。${\displaystyle A,B,}$${\displaystyle C,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}}$$${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle A^{c}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}}$$

最も一般的な概念は、任意の空でない集合の集合の共通集合です。 が空でない集合であり、その要素自体が集合である場合、 は の共通集合の要素であり、のすべての要素に対しては の要素です 。 記号では、 ${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle A.}$$${\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}$$

この最後の概念の表記法は、かなり多様です。集合論者は「 」と書くことがありますが、他の者は「 」と書きます。後者の表記法は「」と一般化することができ、これは集合の交差を指します。 ここでは空でない集合であり、はすべての集合です。${\displaystyle \bigcap M}$${\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}$${\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$

指数集合が 自然数の集合である場合、無限積の表記法に類似した表記法が見られる。 ${\displaystyle I}$$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$$

書式設定が難しい場合は、「 」と書くこともできます。この最後の例、つまり可算な数の集合の交差は、実際には非常に一般的です。例については、σ-代数に関する記事を参照してください。 ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }$

前の節では、 が空集合( )の場合を除外しました。その理由は次のとおりです。コレクションの共通部分は集合 として定義されます (集合構築記法を参照) が空の 場合、には集合が存在しないため、質問は「指定された条件を満たす はどれか?」になります。答えは、考えられるすべてのであると思われます。 が空の場合、上記の条件は空虚な真理の例です。したがって、空の族 の共通部分は全体集合(共通部分の演算の単位元) であるはずですが、 ^[4] 標準 ( ZF ) 集合論では、全体集合は存在しません。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle M}$$${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ すべての }}A\in M,x\in A\} に対して。}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$

しかし、与えられた固定集合 の部分集合のコンテキストに限定すると、 の部分集合の空のコレクションの共通部分の概念は明確に定義されます。その場合、 が空であれば、その共通部分は です。すべてが空であるために必要な条件を満たしているので、 の部分集合の空のコレクションの共通部分は のすべてです。 式では、 これは、部分集合のコレクションが小さくなるにつれて、それぞれの共通部分が大きくなるという直感と一致します。極端な場合、空のコレクションの共通部分は、基礎となる集合全体に等しくなります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ すべての }}A\in \varnothing \}} に対して$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \bigcap \varnothing =X.}$

また、型理論 では は規定された型であるため、共通部分は 型( の要素を持つ集合の型) であると理解され、の普遍集合( の要素がすべて の項である集合) を と定義できます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle \mathrm {セット} \ \tau }$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \bigcap _{A\in \emptyset }A}$${\displaystyle \mathrm {セット} \ \tau }$${\displaystyle \tau}$

• 集合の代数 – 集合に関する同一性と関係
• 基数 – 集合内の要素の数の定義
• 補集合 – 特定のサブセットに含まれない要素の集合
• 交差（ユークリッド幾何学）  - 他の図形と共通する点から形成される図形リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 交差グラフ – 与えられた集合間の交差を表すグラフ
• 交差理論 – 代数幾何学の分野
• 集合の同一性と関係の一覧 – 集合の組み合わせの等式
• 論理接続詞 – 論理接続詞 AND
• MinHash  – データマイニング技術
• 素朴集合論 – 非公式集合論
• 対称差 – 2つの集合のうちの1つに含まれる要素
• 和集合 – いずれかの集合内の要素の集合

• デブリン、KJ (1993)。『集合の喜び：現代集合論の基礎』（第2版）。ニューヨーク、NY：Springer- Verlag。ISBN 3-540-94094-4。
• Munkres, James R. (2000)。「集合論と論理」。トポロジー(第 2 版)。アッパー サドル リバー: Prentice Hall。ISBN 0-13-181629-2。
• Rosen, Kenneth (2007)。「基本構造: 集合、関数、シーケンス、および合計」。離散数学とその応用(第 6 版)。ボストン: McGraw- Hill。ISBN 978-0-07-322972-0。

ウィキメディア・コモンズには、交差 (集合論)に関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「交差点」。MathWorld。