機能を設定する

集合関数${\displaystyle \mu }$の上${\displaystyle {\mathcal {F}}}$^{[ 1 ]}​

• 非負の値である場合${\displaystyle [0,\infty ].}$
• 有限加法性を持つ場合${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\right)}$すべての互いに素な有限列について${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$そのため${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
  • もし${\displaystyle {\mathcal {F}}}$バイナリ和集合の下で閉じられている場合${\displaystyle \mu }$有限加法であるのは、${\displaystyle \mu (E\cup F)=\mu (E)+\mu (F)}$すべての互いに素なペアについて${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}.}$
  • もし${\displaystyle \mu }$有限加法であり、${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$それから${\displaystyle E:=F:=\varnothing }$示しているのは${\displaystyle \mu (\varnothing )=\mu (\varnothing )+\mu (\varnothing )}$これは、${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$または${\displaystyle \mu (\varnothing )=\pm \infty ,}$後者の場合、${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing )=\mu (E)+(\pm \infty )=\pm \infty }$すべての${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$（つまり、ケースのみ）${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$（役に立つ）。
• 可算加算またはσ加法的^{[ 2 ]}とは、有限加法的であることに加えて、すべての互いに素な数列${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$で${\displaystyle {\mathcal {F}}}$そのため${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}},}$以下のすべてが成り立つ。
  1. ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$
     • 左辺の級数は通常の方法で極限として定義される${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).}$
     • その結果、もし${\displaystyle \rho$ :\mathbb {N} \to \mathbb {N} } は任意の置換/全単射である。${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right);}$これは${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}}$この条件(a)を2回適用すると、両方とも${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$そして${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right)}$成り立つ。定義により、この性質を持つ収束級数は無条件収束であると言われる。平易な英語で言うと、これは集合を並べ替えたりラベルを付け直したりすると、${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots }$新秩序へ${\displaystyle F_{\rho (1)},F_{\rho (2)},\ldots }$それらの測定値の合計には影響しません。これは、和集合と同様に望ましいことです。${\displaystyle F~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$これらの集合の順序には依存しないので、和についても同様であるはずです。${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots }$そして${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{\rho (1)}\right)+\mu \left(F_{\rho (2)}\right)+\cdots \,.}$
  2. もし${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$無限でないならば、この数列は${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$絶対収束も必要であり、定義上、${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$有限でなければならない。これは、次の場合に自動的に真となる。${\displaystyle \mu }$は非負である（あるいは拡張実数の範囲内で値をとる）。
     • 実数の収束級数と同様に、リーマン級数定理により、級数は${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)={\displaystyle \lim _{N\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots +\mu \left(F_{N}\right)}$が絶対収束するのは、その和が項の順序に依存しない場合（無条件収束と呼ばれる性質）に限る。無条件収束は上記の（a）で保証されているため、この条件は自動的に真となる。${\displaystyle \mu }$は評価されています${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$
  3. もし${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$が無限である場合、少なくとも 1 つの数列の値が無限であることも必要です。${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)>0}}\mu \left(F_{i}\right)\;{\text{ and }}\;\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)<0}}\mu \left(F_{i}\right)\;}$有限であること（つまり、それらの値の合計が明確に定義されていること）。これは、次の場合に自動的に成り立つ。${\displaystyle \mu }$は非負である。
• 1非負で、可算加法性（有限加法性）を持ち、空集合どうかを事前に測定します。
• 1測度が定義域がσ代数事前測度である場合、測度を測度とします。つまり、測度は、空集合を。
• 1確率測度は、質量を持つ測度である場合${\displaystyle 1.}$
• 1非負で、可算劣加法空集合を持ち、冪集合を持つ場合、外測度${\displaystyle \wp (\Omega )}$その領域として。
  • 外測度はカラテオドリの拡張定理に現れ、多くの場合、カラテオドリ可測部分集合に限定される。
• 1可算加法性があり、空集合、${\displaystyle \mu }$両方を引き受けない${\displaystyle -\infty }$そして${\displaystyle +\infty }$価値として。
• すべての空集合のすべての部分集合が空集合である場合、完全である。具体的には、これは次のことを意味する。${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ satisfies }}\mu (F)=0}$そして${\displaystyle N\subseteq F}$は、${\displaystyle F}$それから${\displaystyle N\in {\mathcal {F}}}$そして${\displaystyle \mu (N)=0.}$
  • 他の多くの特性とは異なり、完全性はセットに要件を課す。${\displaystyle \operatorname {domain} \mu ={\mathcal {F}}}$（そして単に${\displaystyle \mu }$の価値観）。
• 数列が存在する場合、σ有限である。${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$で${\displaystyle {\mathcal {F}}}$そのため${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$すべてのインデックスに対して有限である${\displaystyle i,}$そしてまた${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F.}$
• 部分族が存在する場合は分解可能${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {F}}}$互いに素な集合の${\displaystyle \mu (P)}$すべての${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$そしてまた${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{P\in {\mathcal {P}}}\,P=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F}$（どこ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\operatorname {domain} \mu }$)
  • すべての𝜎有限集合関数は分解可能であるが、逆は成り立たない。例えば、の計数測度は${\displaystyle \mathbb {R} }$（ドメインは${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$) は分解可能であるが、𝜎有限ではない。
• 1ベクトル測度（可算加法集合関数の場合）${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to X} は 位相ベクトル空間で値をとる${\displaystyle X}$（例えばノルム空間など）その定義域はσ代数である。
  • もし${\displaystyle \mu }$規範空間で評価される${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$可算加法であるのは、任意の互いに素な数列に対して、${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$で${\displaystyle {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right)-\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\right\|=0.}$もし${\displaystyle \mu }$が有限加法的であり、バナッハ空間で値をとるならば、任意の互いに素な数列 に対して が可算加法的であるのは、 の場合に限る。${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$で${\displaystyle {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{n}\cup F_{n+1}\cup F_{n+2}\cup \cdots \right)\right\|=0.}$
• 1可算加法的な複素数値集合関数である場合の複素測度${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to \mathbb {C} } の定義域はσ-代数である。
  • 定義上、複雑な尺度は決して${\displaystyle \pm \infty }$値として扱われるため、null 空の集合を持ちます。
• 1測度値を持つランダム要素である場合は、ランダム測度。

任意の合計

本稿の一般化級数に関するセクションで説明したように、任意の族に対して${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$任意のインデックスセットでインデックス付けされた実数${\displaystyle I,}$それらの合計を定義することは可能である${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$有限部分和のネットの極限として${\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}$ドメインが${\displaystyle \operatorname {FiniteSubsets} (I)}$監督は​${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ このネットが収束するたびに、その極限は記号で表されます。${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$一方、このネットが代わりに分岐すると${\displaystyle \pm \infty }$すると、これは次のように書かれるかもしれない${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\pm \infty .}$ 空集合上の任意の和はゼロと定義される。つまり、${\displaystyle I=\varnothing }$それから${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \varnothing }r_{i}=0}$定義上。

例えば、${\displaystyle z_{i}=0}$すべての${\displaystyle i\in I}$それから${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}z_{i}=0.}$ そして、次のことが証明できる。${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}=0}}r_{i}+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=0+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}.}$ もし${\displaystyle I=\mathbb {N} }$次に一般化された級数${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$収束する${\displaystyle \mathbb {R} }$かつその場合に限り${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}$通常の意味で無条件に収束する（または同等に、絶対的に収束する）。一般化級数が${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$収束する${\displaystyle \mathbb {R} }$そして両方とも${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}>0}}r_{i}}$そして${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}<0}}r_{i}}$また、以下の要素に収束します。${\displaystyle \mathbb {R} }$そしてセット${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$は必ず可算である（つまり、有限または可算無限である）。これは、次の場合にも成り立つ。${\displaystyle \mathbb {R} }$は任意のノルム空間に置き換えられる。^{[証明1 ]} 一般化級数に対して${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$収束する${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} ,}$可算個を除いてすべてが必要である${\displaystyle r_{i}}$等しくなります${\displaystyle 0,}$つまり${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}$は、最大で可算個の非ゼロ項の和です。言い換えれば、${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$が非可算である場合、一般化された数列${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$収束しない。

要約すると、実数の性質とその位相により、任意の集合で添え字付けされた収束する実数の一般化級数はすべて、可算個の実数の通常の絶対収束級数に還元できます。したがって、測度論の文脈では、非可算個の集合や一般化級数を考慮することによる利点はほとんどありません。特に、これが「可算加法性」の定義が可算個の集合から拡張されることがほとんどない理由です。${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$で${\displaystyle {\mathcal {F}}}$（そして通常の可算数列）${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$）任意の数の集合へ${\displaystyle \left(F_{i}\right)_{i\in I}}$（そして一般化されたシリーズ）${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}\mu \left(F_{i}\right)}$)

集合関数${\displaystyle \mu }$^{[ 1 ]}を満たすと言われている。

• 単調な場合${\displaystyle \mu (E)\leq \mu (F)}$いつでも${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$満足する${\displaystyle E\subseteq F.}$
• モジュール性と呼ばれる以下の条件を満たす場合、それはモジュールである。${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)=\mu (E)+\mu (F)}$すべての人々のために${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$そのため${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
  • 集合体上の有限加法関数はすべてモジュラー関数である。
  • 幾何学において、この性質を持つアーベル半群に値をとる集合関数は評価関数として知られています。この幾何学的な「評価関数」の定義は、後述するより強い非等価な測度論的な「評価関数」の定義と混同してはなりません。
• 劣モジュラの場合${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)\leq \mu (E)+\mu (F)}$すべての人々のために${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$そのため${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
• 有限劣加法である場合${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$すべての有限数列について${\displaystyle F,F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$満足する${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}.}$
• 可算劣加法またはσ-劣加法性の場合${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$すべてのシーケンスについて${\displaystyle F,F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$で${\displaystyle {\mathcal {F}}}$満足する${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}.}$
  • もし${\displaystyle {\mathcal {F}}}$有限和集合の下で閉じている場合、この条件は、${\displaystyle |\mu (F\cup G)|\leq |\mu (F)|+|\mu (G)|}$すべての人々のために${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}.}$もし${\displaystyle \mu }$が非負であれば、絶対値を削除してもよい。
  • もし${\displaystyle \mu }$が尺度である場合、この条件は、 の場合に限り成り立つ。${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$すべての人々のために${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$で${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$^{[ 3 ]}もし${\displaystyle \mu }$が確率測度である場合、この不等式はブールの不等式です。
  • もし${\displaystyle \mu }$は可算劣加法であり、${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$と${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$それから${\displaystyle \mu }$有限劣加法性を持つ。
• 超加法性の場合${\displaystyle \mu (E)+\mu (F)\leq \mu (E\cup F)}$いつでも${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$互いに排他的である${\displaystyle E\cup F\in {\mathcal {F}}.}$
• 上から連続する場合${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$すべての非増加集合列について${\displaystyle F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq F_{3}\cdots \,}$で${\displaystyle {\mathcal {F}}}$そのため${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}}$と${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$そしてすべて${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$有限。
  • ルベーグ測度${\displaystyle \lambda }$上から連続しているが、すべての${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$最終的に有限であるという条件は定義から省略されている。この例が示すとおりである。${\displaystyle i,}$させて${\displaystyle F_{i}}$開区間とする${\displaystyle (i,\infty )}$となることによって${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda \left(F_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\infty =\infty \neq 0=\lambda (\varnothing )=\lambda \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$どこ${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\varnothing .}$
• 下から連続する場合${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$すべての非減少集合列について${\displaystyle F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq F_{3}\cdots \,}$で${\displaystyle {\mathcal {F}}}$そのため${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
• 無限大は下から近づく。${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$満たす${\displaystyle \mu (F)=\infty }$すると、すべての実数に対して${\displaystyle r>0,}$いくつか存在する${\displaystyle F_{r}\in {\mathcal {F}}}$そのため${\displaystyle F_{r}\subseteq F}$そして${\displaystyle r\leq \mu \left(F_{r}\right)<\infty .}$
• 外側の尺度${\displaystyle \mu }$非負であり、可算劣加法であり、空集合を持ち、冪集合を持つ。${\displaystyle \wp (\Omega )}$その領域として。
• 1内部尺度${\displaystyle \mu }$非負、超加法性、上から連続、空集合を持つ、冪集合を持つ${\displaystyle \wp (\Omega )}$その領域として、${\displaystyle +\infty }$下からアプローチする。
• 原子とは、正の測度を持つすべての測定可能な集合が原子を含む場合をいう。

二項演算の場合${\displaystyle \,+\,}$が定義されると、集合関数${\displaystyle \mu }$と言われている

• 翻訳不変である場合${\displaystyle \mu (\omega +F)=\mu (F)}$すべての人々のために${\displaystyle \omega \in \Omega }$そして${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$そのため${\displaystyle \omega +F\in {\mathcal {F}}.}$

もし${\displaystyle \tau }$はトポロジーである${\displaystyle \Omega }$次に集合関数${\displaystyle \mu }$次のように言われている。

• 1ボレル測度とは、すべてのボレル集合のσ代数上で定義された測度であり、すべての開部分集合を含む最小のσ代数（つまり、を含む）である。${\displaystyle \tau }$)
• 1ベール測度とは、すべてのベール集合のσ代数上で定義された測度である。
• 局所的に有限であるのは、すべての点に対して${\displaystyle \omega \in \Omega }$近隣地域が存在する${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}\cap \tau }$この点において${\displaystyle \mu (U)}$有限である。
  • もし${\displaystyle \mu }$有限加法性、単調性、局所有限性を持つ場合${\displaystyle \mu (K)}$は、すべてのコンパクト可測部分集合に対して必ず有限である。${\displaystyle K.}$
• ${\displaystyle \tau }$-加算の場合${\displaystyle \mu \left({\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}\right)=\sup _{D\in {\mathcal {D}}}\mu (D)}$いつでも${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \tau \cap {\mathcal {F}}}$に関して指示されている${\displaystyle \,\subseteq \,}$そして満たす${\displaystyle {\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{D\in {\mathcal {D}}}D\in {\mathcal {F}}.}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$に関して指示されている${\displaystyle \,\subseteq \,}$空でない場合、かつすべての${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}$いくつか存在する${\displaystyle C\in {\mathcal {D}}}$そのため${\displaystyle A\subseteq C}$そして${\displaystyle B\subseteq C.}$
• 内側の規則的なまたはきつい場合は、${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \mu (F)=\sup\{\mu (K):F\supseteq K{\text{ with }}K\in {\mathcal {F}}{\text{ a compact subset of }}(\Omega ,\tau )\}.}$
• 外側の正規の${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \mu (F)=\inf\{\mu (U):F\subseteq U{\text{ and }}U\in {\mathcal {F}}\cap \tau \}.}$
• 内側規則性と外側規則性の両方を満たす場合は規則的である。
• 1ボレル正規測度とは、それが正規測度でもあるボレル測度である場合を指します。
• 1ラドン測定は、それが規則的で局所的に有限な測定であるかどうかを測定する。
• 厳密に正であるとは、空でないすべての開集合が（厳密に）正の測度を持つ場合をいう。
• 1評価が非負、単調、モジュラー、空集合、定義域が${\displaystyle \tau .}$

もし${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$は 上の 2 つの集合関数です${\displaystyle \Omega ,}$それから：

• ${\displaystyle \mu }$と言われているに関して絶対連続${\displaystyle \nu }$または支配されている${\displaystyle \nu }$書かれた${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$すべての集合に対して${\displaystyle F}$それは両方の領域に属する${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu ,}$もし${\displaystyle \nu (F)=0}$それから${\displaystyle \mu (F)=0.}$
  • もし${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$は${\displaystyle \sigma }$-同じ可測空間上の有限測度で、${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$次にラドン-ニコディム微分${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}}$存在し、すべての測定可能な${\displaystyle F,}$$${\displaystyle \mu (F)=\int _{F}{\frac {d\mu }{d\nu }}d\nu .}$$
• ${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$と呼ばれるそれぞれが他方に対して 絶対連続である場合、同等である。${\displaystyle \mu }$と呼ばれる尺度の支持尺度${\displaystyle \nu }$もし${\displaystyle \mu }$は${\displaystyle \sigma }$有限であり、それらは同等である。^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$は単数形、書き言葉${\displaystyle \mu \perp \nu ,}$互いに素な集合が存在する場合${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$の領域において${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$そのため${\displaystyle M\cup N=\Omega ,}$${\displaystyle \mu (F)=0}$すべての人々のために${\displaystyle F\subseteq M}$の領域において${\displaystyle \mu ,}$そして${\displaystyle \nu (F)=0}$すべての人々のために${\displaystyle F\subseteq N}$の領域において${\displaystyle \nu .}$

ルベーグ尺度​${\displaystyle \mathbb {R} }$は、ルベーグ集合に属するすべての実数の集合に非負の実数を割り当てる集合関数です。${\displaystyle \sigma }$-代数。^{[ 5 ]}

その定義は集合から始まる${\displaystyle \operatorname {Intervals} (\mathbb {R} )}$実数のすべての区間の半代数である${\displaystyle \mathbb {R} .}$ 各区間に値を割り当てる関数${\displaystyle I}$その${\displaystyle \operatorname {length} (I)}$は有限加法集合関数である（具体的には、${\displaystyle I}$エンドポイントがあります${\displaystyle a\leq b}$それから${\displaystyle \operatorname {length} (I)=b-a}$この集合関数は、上のルベーグ外測度に拡張できます。${\displaystyle \mathbb {R} ,}$これは並進不変集合関数である。${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}:\wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$サブセットを送信する${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$最小値まで$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {length} (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$$ ルベーグ外測度は可算加法的ではない（したがって測度ではない）が、すべての部分集合の𝜎 -代数への制限は${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} }$カラテオドリの基準を満たすもの： $${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(M)=\lambda ^{\!*\!}(M\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(M\cap E^{c})\quad {\text{ for every }}S\subseteq \mathbb {R} }$$これはルベーグ測度 と呼ばれる測度です。 ヴィタリ集合は、実数の非可測集合の例です。

唯一の並進不変尺度${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$ドメイン付き${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$それは、すべてのコンパクト部分集合上で有限である。${\displaystyle \mathbb {R} }$は自明な集合関数です${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$それは完全に等しい${\displaystyle 0}$（つまり、すべての${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$に${\displaystyle 0}$）^{[ 6 ]} しかし、可算加法性を有限加法性に弱めると、これらの性質を持つ非自明な集合関数が存在し、さらに、いくつかの値は${\displaystyle [0,1].}$実際、このような非自明な集合関数は、${\displaystyle \mathbb {R} }$他のアーベル群に置き換えられる${\displaystyle G.}$^{[ 7 ]}

仮に${\displaystyle \mu }$は半代数上の集合関数である${\displaystyle {\mathcal {F}}}$以上${\displaystyle \Omega }$そして $${\displaystyle \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}):=\left\{F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}:n\in \mathbb {N} {\text{ and }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ are pairwise disjoint }}\right\},}$$ これは代数です${\displaystyle \Omega }$によって生成されました${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$代数ではない半代数の典型的な例は、 次のファミリーである。 $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{d}:=\{\varnothing \}\cup \left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{1},b_{1}\right]~:~-\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty {\text{ for all }}i=1,\ldots ,d\right\}}$$ の上${\displaystyle \Omega$ :=\mathbb {R} ^{d}} ただし${\displaystyle (a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}}$すべての人々のために${\displaystyle -\infty \leq a<b\leq \infty .}$^{[ 9 ]}重要なことに、2つの非厳密な不等式${\displaystyle \,\leq \,}$で${\displaystyle -\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty }$厳密な不等式では置き換えることができない${\displaystyle \,<\,}$半代数は基礎となる集合全体を含まなければならないため${\displaystyle \mathbb {R} ^{d};}$つまり、${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\in {\mathcal {S}}_{d}}$は半代数の要件です（${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}_{d}}$)

もし${\displaystyle \mu }$有限加法性を持つならば、集合関数への一意的な拡張を持つ。${\displaystyle {\overline {\mu }}}$の上${\displaystyle \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$送信によって定義される${\displaystyle F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$（どこ${\displaystyle \,\sqcup \,}$これらは${\displaystyle F_{i}\in {\mathcal {F}}}$ペアごとに互いに素である）から：^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\right):=\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).}$$ この拡張機能${\displaystyle {\overline {\mu }}}$また、有限加法性も持ちます。任意のペアワイズ非連結な${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}),}$^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\right)={\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).}$$

さらに${\displaystyle \mu }$は拡張実数値かつ単調である（特に、次の場合にはそうなる）${\displaystyle \mu }$（非負）ならば${\displaystyle {\overline {\mu }}}$は単調かつ有限劣加法性を持つ。${\displaystyle A,A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$そのため${\displaystyle A\subseteq A_{1}\cup \cdots \cup A_{n},}$^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(A\right)\leq {\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).}$$

もし${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]} は集合環（集合の代数など）上の事前測度です${\displaystyle {\mathcal {F}}}$以上${\displaystyle \Omega }$それから${\displaystyle \mu }$尺度の拡張がある${\displaystyle {\overline {\mu }}:\sigma ({\mathcal {F}})\to [0,\infty ]}$σ代数について${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$によって生成されました${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$もし${\displaystyle \mu }$σ-有限であれば、この拡張は一意である。

この拡張機能を定義するには、まず拡張します。${\displaystyle \mu }$外側の尺度まで${\displaystyle \mu ^{*}}$の上${\displaystyle 2^{\Omega }=\wp (\Omega )}$による $${\displaystyle \mu ^{*}(T)=\inf \left\{\sum _{n}\mu \left(S_{n}\right):T\subseteq \cup _{n}S_{n}{\text{ with }}S_{1},S_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}\right\}}$$ そしてそれをセットに制限する${\displaystyle {\mathcal {F}}_{M}}$の${\displaystyle \mu ^{*}}$-可測集合（つまり、カラテオドリ可測集合）は、すべての${\displaystyle M\subseteq \Omega }$そのため $${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega .}$$それは${\displaystyle \sigma }$代数と${\displaystyle \mu ^{*}}$カラテオドリの補題により、それはそれに対してシグマ加法的である。

もし${\displaystyle \mu ^{*}:\wp (\Omega )\to [0,\infty ]}$集合上の外部尺度である${\displaystyle \Omega ,}$ここで（定義により）ドメインは必然的に冪集合である${\displaystyle \wp (\Omega )}$の${\displaystyle \Omega ,}$次に部分集合${\displaystyle M\subseteq \Omega }$と呼ばれる${\displaystyle \mu ^{*}}$以下のカラテオドリの基準を満たす場合、測定可能またはカラテオドリ測定可能とみなされる。 $${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega ,}$$ どこ${\displaystyle M^{\mathrm {c} }:=\Omega \setminus M}$は​​${\displaystyle M.}$

すべての家族${\displaystyle \mu ^{*}}$可測部分集合はσ代数であり、外側測度の制限である。${\displaystyle \mu ^{*}}$この家族にとってそれは尺度である。