画像（数学）

数学では、関数 に対して、入力値の像はが渡されたときに によって生成される単一の出力値です。出力値の逆像はを生成する入力値の集合です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

より一般的には、その定義域の与えられた部分集合の各要素を評価すると、「の下（または通って）の像」と呼ばれる集合が生成される。同様に、共役領域の与えられた部分集合の逆像（または逆像）は、その写像のすべての要素を のメンバーに写す集合である。${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B.}$

関数の像は、それが生成する可能性のあるすべての出力値の集合、つまり の像です。の逆像、つまりにおけるの逆像は常に(の定義域) に等しいため、前者の概念はほとんど使用されません。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

像と逆像は、関数だけでなく、一般的な二項関係に対しても定義できます。

「イメージ」という言葉は3つの関連する意味で使われます。これらの定義では、は集合から集合への関数です。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

がのメンバーである場合、下に示されているの像は、に適用されたときのの値であり、引数のの出力としても知られています。${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$

関数 が値を取る、またはを値として取るとは、関数の定義域にが存在する場合であると言われます 。同様に、集合 が が値を取るとは、関数の定義域にが存在する場合であると言われます。 ただし、 はの[すべての] 値を取り、は の定義域のあらゆる点に対してとなることを意味します。 ${\displaystyle y,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=y.}$${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)\in S.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f(x)\in S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

全体を通して、関数とします。${\displaystyle f:X\to Y}$の部分集合の は、のすべての の集合である。これは、混乱の恐れがない場合はまたは で表される。集合構築記法を使用すると、この定義は次のように記述できる^{[1] [2]}${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle a\in A.}$${\displaystyle f[A],}$${\displaystyle f(A),}$ $${\displaystyle f[A]=\{f(a):a\in A\}.}$$

これにより、 のすべての部分集合の集合である集合の冪集合を表す関数が誘導されます。詳細については、以下の § 表記法を参照してください。 ${\displaystyle f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle S;}$${\displaystyle S.}$

関数の像はその定義域全体の像であり、関数の値域とも呼ばれる。[ 3 ^]この最後の用法は避けるべきである。なぜなら、「値域」という言葉は、関数の共定義域を意味するためにもよく使用されるからである。${\displaystyle f.}$

が上の任意の二項関係である場合、その集合はの像または値域と呼ばれる。双対的に、その集合はの領域と呼ばれる。${\displaystyle R}$${\displaystyle X\times Y,}$${\displaystyle \{y\in Y:xRy{\text{ for some }}x\in X\}}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle \{x\in X:xRy{\text{ for some }}y\in Y\}}$${\displaystyle R.}$

をからへの関数とする。によって表される集合の逆像は、によって定義される の部分集合である。${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f^{-1}[B],}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}$$

他の表記法には、およびがある。 ^[4]単集合 の逆像で、またはで表されるものは、ファイバー、またはファイバー上、あるいはの準位集合とも呼ばれる。の元上のすべてのファイバーの集合は、によってインデックス付けされた集合の族である。${\displaystyle f^{-1}(B)}$${\displaystyle f^{-}(B).}$${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}$${\displaystyle f^{-1}[y],}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y.}$

例えば、関数 に対しての逆像は となる。また、混乱の恐れがなければ、は と表記することができ、の冪集合から の冪集合への関数と考えることもできる。この表記は、逆関数の表記と混同してはならないが、の逆像がの像であるという点で、全単射の通常の表記と一致している。${\displaystyle f(x)=x^{2},}$${\displaystyle \{4\}}$${\displaystyle \{-2,2\}.}$${\displaystyle f^{-1}[B]}$${\displaystyle f^{-1}(B),}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f^{-1}.}$

前のセクションで使用した従来の表記法では、元の関数と集合の像関数を区別していません。同様に、逆関数（存在すると仮定）と逆像関数（これも冪集合を関連付ける）を区別していません。適切なコンテキストが与えられれば、これにより表記が簡潔になり、通常は混乱を招くことはありません。ただし、必要な場合は、代替案^[5]として、冪集合間の関数として像と逆像に明示的な名前を付けることもできます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$

• ${\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$と${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$と${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

• ${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$の代わりに${\displaystyle f^{\rightarrow }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$の代わりに${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

• 数学論理学と集合論で使用される別の表記法は^{[6] [7]}である。${\displaystyle f[A]}$${\displaystyle f\,''A.}$
• いくつかのテキストでは、の像をの範囲と呼んでいるが^[8]、この用法は避けるべきである。なぜなら、「範囲」という言葉は、の共域を意味するためにもよく使われるからである。${\displaystyle f}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f.}$

1. ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$定義${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.}$
   集合の像は関数の像はの逆像はの逆像もの逆像もの逆像は空集合である${\displaystyle \{2,3\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{a,c\}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.}$${\displaystyle \{a,b\}}$${\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.}$${\displaystyle \{b,d\}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{\ \}=\emptyset .}$
2. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$定義${\displaystyle f(x)=x^{2}.}$
   の像はで、の像は(すべての正の実数とゼロの集合)です。の逆像は です。集合の逆像は空集合です。これは、負の数は実数の集合内で平方根を持たないためです。${\displaystyle \{-2,3\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \{4,9\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}$${\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}}$${\displaystyle f}$
3. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$定義${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$
   ファイバーは、 それぞれ かどうかに応じて、それぞれ原点、原点自体、空集合の周りの同心円です。( の場合、ファイバーは方程式を満たすすべての集合、つまり半径 の原点中心の円です)${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$${\displaystyle a>0,\ a=0,{\text{ or }}\ a<0}$${\displaystyle a\geq 0,}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a,}$${\displaystyle {\sqrt {a}}.}$
4. が多様体で、が接束から への標準射影である場合、のファイバーは接空間です。これもファイバー束の例です。${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi :TM\to M}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.}$
5. 商群は準同型像です。

すべての関数とすべてのサブセットに対して、次のプロパティが保持されます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle B\subseteq Y,}$

また：

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

関数およびサブセットを持つ場合、次の特性が成立します。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle C\subseteq Z,}$

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

関数とサブセットについては、次のプロパティが保持されます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle S,T\subseteq Y,}$

像と逆像を交差と和の（ブール）代数に関連付ける結果は、部分集合のペアだけでなく、任意の部分集合の集合に対しても適用できます。

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$

(ここで、は無限、さらには非可算無限になることもあります。) ${\displaystyle S}$

上で説明した部分集合の代数に関して、逆像関数は格子準同型であるのに対し、像関数は半格子準同型に過ぎない（つまり、交差が常に保存されるわけではない）。

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• アーティン、マイケル(1991)。代数。プレンティス・ホール。ISBN 81-203-0871-9。
• ブライス、TS (2005)。格子と順序付き代数構造。シュプリンガー。ISBN 1-85233-905-5。。
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• ケリー、ジョン L. (1985)。一般位相幾何学。数学大学院テキスト。第 27 巻 (第 2 版)。ビルクハウザー。ISBN 978-0-387-90125-1。
• マンクレス、ジェームズ・R (2000)。トポロジー（第2版）。アッパーサドルリバー、ニュージャージー：プレンティスホール社。ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.

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