空間（数学）

古代ギリシャの数学において、「空間」とは、日常生活で観察される三次元の現実を幾何学的に抽象化したものであった。紀元前300年頃、ユークリッドは空間の性質に関する公理を与えた。ユークリッドは、これらの幾何学的基礎の上に数学全体を構築し、線分の長さを基準となる線分の長さと比較することによって数を定義することまで行った。

座標法（解析幾何学）は1637年にルネ・デカルトによって採用された。^{[ 3 ]}当時、幾何学の定理は自然科学の対象と同様に、直観と理性によって認識可能な絶対的な客観的真理として扱われ^{[ 4 ] 、公理}は定義の自明な帰結として扱われた[4]。^{[ 4 ] : 15}

幾何学的図形間の同値関係として、合同と相似の2つが用いられました。平行移動、回転、鏡映によって図形は合同な図形に変換され、相似変換によって相似な図形に変換されます。例えば、すべての円は互いに相似ですが、楕円は円とは相似ではありません。1795年にガスパール・モンジュによって導入された3つ目の同値関係は、射影幾何学に見られます。楕円だけでなく、放物線や双曲線も適切な射影変換によって円に変換されます。これらはすべて射影的に同値な図形です。

ユークリッド幾何学と射影幾何学という2つの幾何学の関係^{[ 4 ] : 133は}、数学的対象がその構造とともに私たちに与えられるのではないことを示している^{[ 4 ] : 21。}むしろ、それぞれの数学理論は、その対象の性質のいくつか、まさにその理論の基礎に公理として置かれた性質によって、その対象を記述する[ ^{4 ] : 20。}

射影幾何学の定理には、距離や角度は現れません。なぜなら、これらの概念は射影幾何学の公理には含まれておらず、また公理から定義されるものでもないからです。「三角形の3つの角の和は何か」という問いは、ユークリッド幾何学では意味を持ちますが、射影幾何学では意味を持ちません。

19世紀には異なる状況が現れた。いくつかの幾何学では、三角形の3つの角の合計は明確に定義されているが、古典的な値（180度）とは異なる。1829年にニコライ・ロバチェフスキー、1832年にヤーノシュ・ボヤイ（および1816年にカール・フリードリヒ・ガウス、未発表）^{[ 4 ] : 133}によって導入された非ユークリッド双曲幾何学では、合計は三角形に依存し、常に180度未満であるとされた。1868年にエウジェニオ・ベルトラーミ、1871年にフェリックス・クラインは、非ユークリッド双曲幾何学のユークリッド「モデル」を得て、この理論を論理的可能性として完全に正当化した。^{[ 4 ] : 24 [ 5 ]}

この発見は、ユークリッド幾何学の絶対的真理という主張を放棄せざるを得ない状況に追い込んだ。公理は「自明」でも「定義の含意」でもないことが示された。むしろ、それらは仮説である。それらはどの程度実験的現実と一致するのか？この重要な物理的問題は、もはや数学とは何の関係もない。たとえ「幾何学」が実験的現実と一致しないとしても、その定理は依然として「数学的真理」であることに変わりはない。^{[ 4 ]： 15}

非ユークリッド幾何学のユークリッドモデルとは、ユークリッド空間に存在するいくつかの対象と、それらの対象間の関係のうち、非ユークリッド幾何学のすべての公理（したがって、すべての定理）を満たすものを選択することです。これらのユークリッドの対象と関係は、現代の俳優が古代の劇を演じるように、非ユークリッド幾何学を「演じます」。俳優は、現実には起こらなかった状況を模倣することができます。舞台上の俳優間の関係は、劇中の登場人物間の関係を模倣します。同様に、ユークリッドモデルで選択された対象間の選択された関係は、非ユークリッドの関係を模倣します。これは、対象の性質ではなく、対象間の関係が数学において不可欠であることを示しています。

「幾何学」という言葉（古代ギリシャ語の geo-「地球」、-metron「測定」に由来）は、当初は私たちが住む空間における長さ、領域、体積を処理する実用的な方法を意味していましたが、その後、広く拡張されました（ここで問題となっている空間の概念も同様です）。

ブルバキによれば、^{[ 4 ] : 131} 1795 年 (モンジュの『記述的幾何学』) から 1872 年 (クラインの「エアランゲン計画」 )までの期間は「幾何学の黄金時代」と呼ぶことができる。ユークリッドが研究した元の空間は、現在では 3 次元ユークリッド空間と呼ばれている。23 世紀前にユークリッドによって始められたその公理化は、ヒルベルトの公理、タルスキの公理、ビルコフの公理によって再編成された。これらの公理系は、多数の公理によって制約された原始的な概念(「点」、「間」、「合同」など)を介して空間を記述する。

^{解析幾何学は大きな進歩を遂げ、古典幾何学の}定理を変換群の不変量に​​よる計算に置き換えることに成功した。^{[ 4 ]： 134、5}それ以来、古典幾何学の新しい定理は、専門の数学者よりもアマチュアの関心を集めてきた。^{[ 4 ]： 136}しかし、古典幾何学の遺産は失われていない。ブルバキによれば、^{[ 4 ]： 138}「自律的で生き生きとした科学としての役割を終えた古典幾何学は、現代数学の普遍的な言語へと変容した」。

同時に、数学の基礎として、数が幾何学に取って代わり始めた。例えば、リヒャルト・デデキントは1872年の論文「連続性と無理数」の中で、直線上の点はデデキント切断の性質を持つべきであり、したがって直線は実数の集合と同じものであると主張した。デデキントは、これは証明不可能な仮定であると注意を促している。現代の扱いでは、デデキントの主張はしばしば直線の定義とみなされ、それによって幾何学は算術に還元される。3次元ユークリッド空間は、その要素の差分のベクトル空間に内積が備わったアフィン空間として定義される。^{[ 6 ]}ユークリッドのように「ゼロから」定義することは、この空間と他の空間との関係を明らかにしないため、現在ではあまり用いられない。また、3次元射影空間は、4次元ベクトル空間のすべての1次元部分空間（すなわち、原点を通る直線）の空間として定義されるようになった。このような基礎の変更には新たな公理系が必要となり、これらの公理系が採用されると、幾何学の古典的な公理は定理となる。

空間は、点として扱われる選択された数学的対象（例えば、別の空間上の関数、別の空間の部分空間、あるいは集合の要素など）と、これらの点間の選択された関係から構成される。したがって、空間は便宜上の数学的構造にすぎない。空間と呼ばれる構造は、他の数学的対象よりも幾何学的に捉えられがちだが、必ずしもそうとは限らない。

1854年にベルンハルト・リーマンが行った有名な就任講演によれば、 n個の実数でパラメータ化されたすべての数学的対象は、そのようなすべての対象からなるn次元空間の点として扱うことができる。^{[ 4 ]： 140}現代の数学者はこの考え方を日常的に採用しており、古典幾何学の用語をほぼあらゆる場面で使用することが非常に示唆に富むと考えている。^{[ 4 ]： 138}

関数は重要な数学的対象である。通常、関数は無限次元の関数空間を形成する。これはすでにリーマン^{[ 4 ] : 141}によって指摘され、20世紀には関数解析によって詳細に研究された。

各タイプの空間にはそれぞれ独自の定義があるものの、「空間」という一般的な概念は形式化を免れています。形式的な基準がないまま、空間と呼ばれる構造もあれば、そうでない構造もあります。さらに、「構造」という一般的な概念についても合意はありません。プドラック^{[ 7 ]}によれば、「数学は、数学的構造のような単一の概念で完全に説明することはできません。しかしながら、ブルバキの構造主義的アプローチは、私たちが持っている最良のものです。」ブルバキの構造主義的アプローチについては、最後のセクション「空間と構造」で再び取り上げますが、ここではブルバキの精神に則り、空間（および構造）の分類の可能性について概説します。

空間は3つのレベルで分類されます。各数学理論は対象をその性質のいくつかによって記述するため、まず最初に問うべきは「どの性質か？」ということです。これが最初の（上位の）分類レベルにつながります。2番目のレベルでは、特に重要な質問（最初のレベルで意味を成す質問の中から）に対する答えを考慮します。3番目のレベルでは、考えられるすべての質問に対する答えを考慮します。

例えば、上位レベルの分類では、ユークリッド空間と射影空間を区別します。なぜなら、2点間の距離はユークリッド空間では定義されますが、射影空間では定義されないからです。別の例として、「三角形の3つの角の合計は何か」という問いは、ユークリッド空間では意味を持ちますが、射影空間では意味を持ちません。非ユークリッド空間では、この問いは意味を持ちますが、答えは異なります。これは上位レベルの区別ではありません。

また、ユークリッド平面とユークリッド3次元空間の区別は、上位レベルの区別ではなく、「次元とは何か」という問いはどちらの場合にも意味を成す。

第二レベルの分類では、例えば、ユークリッド空間と非ユークリッド空間、有限次元空間と無限次元空間、コンパクト空間と非コンパクト空間などを区別します。ブルバキの用語では、^{[ 2 ]}第二レベルの分類は「種」による分類です。生物分類とは異なり、空間は複数の種に属する可能性があります。

第3 レベルの分類は、例えば、異なる次元の空間を区別しますが、3 次元ユークリッド空間の平面を 2 次元ユークリッド空間として扱うことと、すべての実数のペアの集合を同じく 2 次元ユークリッド空間として扱うこととは区別しません。同様に、同じ非ユークリッド空間の異なるユークリッド モデルを区別しません。より厳密には、第 3 レベルは空間を同型性まで分類します。2 つの空間間の同型性とは、第 1 レベルで規定されたすべての関係を保持する、第 1 空間の点と第 2 空間の点との間の 1 対 1 の対応として定義されます。相互に同型な空間は、単一の空間のコピーとして考えられます。それらの 1 つが特定の種に属する場合、それらはすべて同じ種に属します。

同型性の概念は、上位レベルの分類を理解する上で重要な手がかりとなる。同じ上位レベルクラスに属する2つの空間が1対1に対応する場合、それが同型性であるかどうかを問うことができる。しかし、異なるクラスの2つの空間に対しては、この問いは意味をなさない。

自身と同型な写像を自己同型写像​​と呼ぶ。ユークリッド空間の自己同型写像​​は、平行移動、回転、鏡映、およびそれらの合成である。ユークリッド空間は、あらゆる点が何らかの自己同型写像​​によって他のあらゆる点に変換できるという意味で均質である。

ユークリッド公理^{[ b ]}は自由度を一切残さず、空間のすべての幾何学的性質を一意に決定します。より正確には、すべての3次元ユークリッド空間は互いに同型です。この意味で、私たちは「唯一の」3次元ユークリッド空間を持っています。ブルバキの用語では、対応する理論は単価です。対照的に、位相空間は一般に同型ではなく、その理論は多価です。数理論理学にも同様の考え方があります。理論は、同じ濃度のすべてのモデルが互いに同型である場合、圏論的であると呼ばれます。ブルバキ^{[ 8 ]}によれば、多価理論の研究は、現代数学を古典数学から区別する最も顕著な特徴です。

位相概念（連続性、収束性、開集合、閉集合など）は、すべてのユークリッド空間で自然に定義されます。言い換えれば、すべてのユークリッド空間は位相空間でもあります。2 つのユークリッド空間間の同型写像は、対応する位相空間間の同型写像（「同相写像」と呼ばれる）でもありますが、その逆は誤りです。同相写像は距離を歪める可能性があります。ブルバキの用語では、^{[ 2 ]}「位相空間」は「ユークリッド空間」構造の根底にある構造です。同様の考え方は圏論にも見られます。ユークリッド空間の圏は位相空間の圏上の具体的な圏であり、忘却（または「剥ぎ取り」）関手は前者の圏を後者の圏に写像します。

3次元ユークリッド空間は、ユークリッド空間の特殊な場合である。ブルバキの用語^{[ 2 ]}によれば、 3次元ユークリッド空間の種類は、ユークリッド空間の種類よりも豊富である。同様に、コンパクト位相空間の種類は、位相空間の種類よりも豊富である。

空間の種類間のこのような関係は、図 3 に示すように図式的に表現できます。A から B への矢印は、すべてのA 空間がB 空間でもあるか、 B 空間として扱うことができるか、 B 空間を提供するかなどを意味します。A と B を空間のクラスとして扱うと、矢印は A から B への遷移として解釈できます。（ブルバキの用語では、^{[ 9 ]} A 空間からB 空間の「演繹の手順」です。クラスA、B が集合でない限り、厳密には関数ではありません。このニュアンスは、以下の内容を無効にするものではありません。）図 3 の 2 つの矢印は可逆ではありませんが、理由は異なります。

「ユークリッド」から「位相」への移行は、忘れがちである。位相は連続と不連続を区別するが、直線と曲線を区別しない。直感的に、位相からユークリッド構造を復元することはできない。証明では、位相空間の自己同型写像​​（つまり自己同相写像）が、ユークリッド空間の自己同型写像​​（つまり、シフト、回転、鏡映の合成ではない）ではないことを利用する。このような変換によって、与えられたユークリッド構造は、（同型ではあるが）異なるユークリッド構造に変換される。そして、どちらのユークリッド構造も、単一の位相構造に対応する。

対照的に、「3次元ユークリッド空間」から「ユークリッド空間」への移行は、元の空間の構造を消去するものではありません。ユークリッド空間は必ずしも3次元である必要はありませんが、たまたま3次元であったとしても、それは完全なユークリッド空間であり、構造は失われません。言い換えれば、後者の移行は単射（1対1）であるのに対し、前者の移行は単射ではありません（多対1）。単射の移行は、「→」ではなく、とげのある矢印「↣」で表します。

どちらの遷移も全射ではありません。つまり、すべての B 空間が何らかの A 空間から生じるわけではありません。まず、3 次元ユークリッド空間は、ユークリッド空間の特殊な (一般的な ) ケースです。次に、ユークリッド空間の位相は、位相の特殊なケースです (たとえば、非コンパクトで連結である必要があります)。全射遷移は、両端矢印「→」ではなく「↠」で表します。たとえば、図 4 を参照してください。そこでは、「実線形位相」から「実線形」への矢印は両端矢印になっています。これは、すべての実線形空間が、その線形構造と互換性のある (少なくとも 1 つの) 位相を許容するためです。

このような位相は一般に一意ではありませんが、実線形空間が有限次元の場合は一意です。これらの空間では、遷移は単射かつ全射、つまり全単射です。図 4 の「有限次元実線形位相」から「有限次元実線形」への矢印を参照してください。逆遷移も存在します (2 番目の逆向きの矢印で示すことができます)。したがって、2 種類の構造は等価です。実際には、等価な種類の構造を区別することはありません。^{[ 10 ]}等価な構造は、図 4 の大きなボックスで示されているように、単一の構造として扱うことができます。

矢印で示される遷移は同型写像に従います。つまり、2つの同型なA空間は2つの同型なB空間につながります。

図4の図は可換です。つまり、図中の始点と終点が同じすべての有向パスは同じ結果につながります。図9の破線の矢印を除いて、以下の他の図も可換です。「位相的」から「可測」への矢印が破線になっている理由は、そこに説明されています。「位相空間を可測空間にするには、σ代数を導入する必要があります。ボレル集合のσ代数が最も一般的ですが、唯一の選択肢ではありません。」実線の矢印は、一般的に「標準的」と呼ばれる遷移を示し、自然に思い浮かび、多くの場合暗黙のうちにデフォルトで広く使用されています。たとえば、ユークリッド空間上の連続関数について話す場合、その位相を明示的に指定する必要はありません。実際には、たとえば細密位相など、代替の位相が存在し、時々使用されますが、これらは一般的な位相ほど注目されないため、常に明示的に指定されます。破線の矢印は、複数の遷移が使用されており、どれか一つが圧倒的に優勢ではないことを示しています。

基本的な空間には、線形空間（ベクトル空間とも呼ばれる）と位相空間の2種類がある。

線形空間は代数的な性質を持ちます。実数体上の実線形空間、複素数体上の複素線形空間、そしてより一般的には任意の体上の線形空間があります。複素数は2つの実数で指定できるため、すべての複素線形空間は実線形空間でもあります（後者は前者の基礎となります） 。例えば、 1次元複素線形空間として扱われる複素平面は、2次元実線形空間に格下げすることができます。対照的に、実数直線は1次元実線形空間として扱うことはできますが、複素線形空間として扱うことはできません。体の拡張も参照してください。より一般的には、体上のベクトル空間は、その体の部分体上のベクトル空間の構造も持ちます。線形空間で定義される線形演算は、直線（および平面、その他の線形部分空間）、平行線、楕円（および楕円体）などの概念につながります。しかし、線形空間には角度を測定するために使用できるスカラー積のような構造がないため、直交（垂直）線を定義したり、楕円の中から円を選別したりすることは不可能です。線形空間の次元は、線形独立なベクトルの最大数、または同等に、空間を張るベクトルの最小数として定義され、有限または無限です。同じ体上の 2 つの線形空間は、次元が同じである場合に限り同型です。n次元複素線形空間は、2 n次元実線形空間でもあります。

位相空間は解析的な性質を持つ。位相空間の定義により与えられる開集合は、連続関数、パス、マップ、収束列、極限、内部、境界、外部といった概念につながる。しかし、一様連続性、有界集合、コーシー列、微分可能な関数（パス、マップ）は定義されない。位相空間間の同型写像は伝統的に同相写像と呼ばれ、両方向に連続する一対一対応である。開区間（0,1）は実数直線全体（−∞,∞）と同相であるが、閉区間[0,1]や円とは同相ではない。立方体の表面は球（ボールの表面）と同相であるが、トーラスとは同相ではない。異なる次元のユークリッド空間は同相ではないが、これは自明に思えるものの証明は容易ではない。位相空間の次元を定義することは難しい。誘導次元（幾何学的図形の境界の次元は通常、図形自体の次元より 1 小さいという観察に基づく）とルベーグ被覆次元を用いることができる。n次元ユークリッド空間の場合、両方の位相次元はnに等しい。

位相空間の任意の部分集合はそれ自体が位相空間である（対照的に、線形空間の線形部分集合のみが線形空間である）。一般位相（点集合位相とも呼ばれる）によって研究される任意の位相空間は、同相を除いて完全に分類するには多様すぎる。コンパクト位相空間は、位相空間の重要なクラス（この「タイプ」の「種」）である。このような空間では、すべての連続関数が有界である。閉区間[0,1]と拡張実数直線[−∞,∞]はコンパクトであるが、開区間(0,1)と直線(−∞,∞)はコンパクトではない。幾何位相は多様体（この「タイプ」の別の「種」）を研究する。これらは、局所的にユークリッド空間と同相な位相空間（およびいくつかの追加条件を満たす）である。低次元多様体は、同相を除いて完全に分類されている。

線形構造と位相構造の両方が、線形位相空間（言い換えれば、位相ベクトル空間）の構造の根底にある。線形位相空間とは、実数または複素数の線形空間であり、かつ位相空間でもある空間であり、線形演算が連続である空間である。したがって、位相空間でもある線形空間は、一般に線形位相空間とはみなされない。

有限次元の実数または複素数の線形空間はすべて、線形位相空間となるような位相をただ一つだけ持つという意味で、線形位相空間である。したがって、「有限次元の実数または複素数の線形空間」と「有限次元の線形位相空間」という二つの構造は等価であり、互いに基礎となる関係にある。ゆえに、有限次元の線形位相空間における可逆な線形変換はすべて同相写像である。次元の三つの概念（代数次元が一つ、位相次元が二つ）は、有限次元の実数線形空間においては一致する。しかし、無限次元空間においては、与えられた線形構造に対して異なる位相が適用される可能性があり、可逆な線形変換は一般に同相写像ではない。

アフィン空間と射影空間を線形空間を用いて導入すると便利である。以下にその例を示す。 ( n +1)次元線形空間のn次元線形部分空間は、それ自体がn次元線形空間であるため、同次ではない。原点という特別な点を含むからである。原点を外部のベクトルでシフトすると、n次元アフィン部分空間が得られる。これは同次である。アフィン空間は必ずしも線形空間に含まれる必要はなく、線形空間のアフィン部分空間と同型である。与えられた体上のすべてのn次元アフィン空間は互いに同型である。ジョン・バエズの言葉を借りれば、「アフィン空間とは、原点を忘れたベクトル空間である」。特に、すべての線形空間はアフィン空間でもある。

( n +1)次元線形空間Lにおけるn次元アフィン部分空間Aが与えられたとき、 A内の直線は、Aと交差するLの2次元線形部分空間との交点として定義できます。言い換えれば、Aに平行でない原点を通る平面との交点です。より一般的には、Aのk次元アフィン部分空間は、Aと交差するLの( k +1)次元線形部分空間との交点です。

アフィン部分空間Aのすべての点は、 AとLの1 次元線形部分空間との交点です。ただし、Lの1 次元部分空間の中にはAと平行なものがあり、ある意味では無限遠でAと交わります。 ( n +1) 次元線形空間のすべての1 次元線形部分空間の集合は、定義によりn次元射影空間です。そして、アフィン部分空間Aは、射影空間に真部分集合として埋め込まれます。ただし、射影空間自体は同次です。射影空間内の直線は、( n +1) 次元線形空間の2 次元線形部分空間に対応します。より一般的には、射影空間のk次元射影部分空間は、( n +1) 次元線形空間の ( k +1 ) 次元線形部分空間に対応し、 k次元射影空間と同型です。

このように定義すると、アフィン空間と射影空間は代数的な性質を持ち、実数空間、複素数空間、そしてより一般的には任意の体上の空間となり得る。

実空間または複素空間のアフィン空間または射影空間はすべて位相空間でもある。アフィン空間は非コンパクト多様体であり、射影空間はコンパクト多様体である。実射影空間では直線は円と同相であるためコンパクトであるが、線形空間またはアフィン空間では直線は同相ではない。

点間の距離は距離空間で定義されます。距離空間間の同型写像は等長写像と呼ばれます。すべての距離空間は位相空間でもあります。位相空間が距離空間の基礎となる場合、その位相空間は距離化可能であると呼ばれます。すべての多様体は距離化可能です。

距離空間では、有界集合とコーシー列を定義できます。距離空間は、すべてのコーシー列が収束する場合に完備であるといいます。すべての不完備空間は、稠密な部分集合として、完備空間（完備化）に等長的に埋め込まれます。すべてのコンパクト距離空間は完備です。実数直線は非コンパクトですが完備です。開区間(0,1)は不完備です。

すべてのユークリッド空間は、完全な距離空間でもあります。さらに、ユークリッド空間に内在するすべての幾何学的概念は、その距離によって特徴づけることができます。例えば、与えられた2点AとCを結ぶ直線は、 AとCの間の距離がAとBの間の距離とBとCの間の距離の和に等しいようなすべての点Bから構成されます。

ハウスドルフ次元（与えられた集合を覆う小さな球の数に関連する）は距離空間に適用され、整数でない場合もある（特にフラクタルの場合）。n 次元ユークリッド空間の場合、ハウスドルフ次元はnに等しい。

一様空間は距離を導入しませんが、一様連続性、コーシー列（またはフィルターやネット）、完備性、完備化は依然として使用できます。すべての一様空間は位相空間でもあります。すべての線形位相空間（距離化可能か否かを問わず）は一様空間でもあり、有限次元では完備ですが、一般に無限次元では不完備です。より一般的には、すべての可換位相群も一様空間です。ただし、非可換位相群は、左不変と右不変の2つの一様構造を持ちます。

ユークリッド空間のベクトルは線形空間を形成するが、各ベクトルは${\displaystyle x}$また、長さ、つまりノルムも持っています。${\displaystyle \lVert x\rVert }$ノルムを備えた実数または複素数の線形空間は、ノルム空間と呼ばれる。すべてのノルム空間は、線形位相空間であると同時に距離空間でもある。バナッハ空間は完備ノルム空間である。多くの数列空間や関数空間は、無限次元バナッハ空間である。

ノルムが 1 未満のすべてのベクトルの集合を、ノルム空間の単位球と呼びます。これは凸で中心対称な集合であり、一般に楕円体ではありません。例えば、平面上の多角形、あるいはより一般的には、任意の有限次元の多面体である可能性があります。平行四辺形の法則（平行四辺形の恒等式とも呼ばれる）

${\displaystyle \lVert xy\rVert ^{2}+\lVert x+y\rVert ^{2}=2\lVert x\rVert ^{2}+2\lVert y\rVert ^{2}\ ,}$

一般的にノルム空間では成り立たないが、ユークリッド空間のベクトルでは成り立つ。これは、ベクトルのユークリッドノルムの二乗がベクトル自身との内積であるという事実から導かれる。${\displaystyle \lVert x\rVert ^{2}=(x,x)}$。

内積空間は、双線形またはそれぞれ半双線形の形式を備えた実数または複素数の線形空間であり、いくつかの条件を満たし、内積と呼ばれます。すべての内積空間はノルム空間でもあります。ノルム空間が内積空間の基礎となるのは、それが平行四辺形の法則を満たす場合、または同等に、その単位球が楕円体である場合のみです。ベクトル間の角度は内積空間で定義されます。ヒルベルト空間は、完備な内積空間として定義されます。（一部の著者はそれが複素数でなければならないと主張し、他の著者は実数のヒルベルト空間も認めています。）多くの数列または関数の空間は無限次元ヒルベルト空間です。ヒルベルト空間は量子論にとって非常に重要です。^{[ 11 ]}

すべてのn次元実内積空間は互いに同型である。n次元ユークリッド空間は、その起源を忘れたn次元実内積空間であると言えるだろう。

滑らかな多様体は「空間」とは呼ばれませんが、そう呼ばれても構いません。すべての滑らかな多様体は位相多様体であり、有限次元線形空間に埋め込むことができます。有限次元線形空間内の滑らかな曲面は滑らかな多様体です。例えば、楕円体の表面は滑らかな多様体ですが、多面体はそうではありません。実数または複素数の有限次元線形空間、アフィン空間、射影空間もまた滑らかな多様体です。

滑らかな多様体上の滑らかな経路は、その各点において、その点における多様体の接空間に属する接ベクトルを持つ。n次元滑らかな多様体の接空間は、n次元線形空間である。滑らかな多様体上の滑らかな関数の微分は、各点における接空間上の線形汎関数を与える。

リーマン多様体、またはリーマン空間とは、接空間がいくつかの条件を満たす内積を持つ滑らかな多様体のことです。ユークリッド空間もリーマン空間です。ユークリッド空間内の滑らかな曲面もリーマン空間です。双曲非ユークリッド空間もリーマン空間です。リーマン空間内の曲線は長さを持ち、2点間の最短曲線の長さが距離を定義するため、リーマン空間は距離空間となります。一点で交わる2つの曲線の間の角度は、それらの接線の間の角度です。

接空間における内積の正値性を放棄すると、一般相対性理論にとって非常に重要なローレンツ空間を含む擬リーマン空間が得られる。

距離と角度を無視して（幾何学的物体の）体積だけを残すと、測度論に至る。アンドレイ・コルモゴロフの確率論へのアプローチによれば、測度は体積に加えて、面積、長さ、質量（または電荷）分布、そして確率分布の概念を一般化する。

古典数学における「幾何学的物体」は、単なる点の集合よりもはるかに規則的な構造を持つ。物体の境界は体積がゼロである。したがって、物体の体積はその内部の体積であり、内部は無限個の立方体の列で埋め尽くすことができる。これに対し、任意の点の集合の境界は体積がゼロでない場合がある（例：与えられた立方体内部にあるすべての有理点の集合）。測度論は、体積の概念を、いわゆる可測集合と呼ばれる膨大な数の集合に拡張することに成功した。実際、非可測集合は応用においてほとんど現れない。

定義により可測空間で与えられた可測集合は、可測関数と可測写像につながります。位相空間を可測空間にするには、σ代数を導入します。ボレル集合のσ代数が最も一般的ですが、唯一の選択肢ではありません。（ベール集合、普遍可測集合なども使用されることがあります。）位相はボレルσ代数によって一意に決定されるわけではありません。たとえば、可分ヒルベルト空間上のノルム位相と弱位相は同じボレルσ代数につながります。すべてのσ代数が何らかの位相のボレルσ代数であるとは限りません。 ^{[ c ]} 実際には、σ代数は、位相に関係なく、与えられた集合（または関数）の集合によって生成できます。可測空間のすべての部分集合は、それ自体が可測空間です。

標準可測空間（標準ボレル空間とも呼ばれる）は、コンパクト空間との類似性から特に有用である（EoMを参照）。標準可測空間間の全単射可測写像はすべて同型写像である。つまり、逆写像も可測である。また、このような空間間の写像が可測であるのは、そのグラフが積空間で可測である場合に限る。同様に、コンパクト距離空間間の全単射連続写像はすべて同相写像である。つまり、逆写像も連続である。また、このような空間間の写像が連続であるのは、そのグラフが積空間で閉集合である場合に限る。

ユークリッド空間（より一般的には、完備な可分距離空間）におけるすべてのボレル集合は、ボレルσ代数を備えていれば、標準可測空間となる。すべての非可算標準可測空間は互いに同型である。

測度空間とは、測度が与えられた可測空間のことである。ルベーグ測度を持つユークリッド空間は測度空間である。積分理論は、測度空間上の可測関数の積分可能性と積分を定義する。

測度が0の集合（空集合と呼ばれる）は無視できる。したがって、「mod  0同型」とは、完全測度（つまり、補集合が無視できる）の部分集合間の同型として定義される。

確率空間とは、空間全体の測度が1となるような測度空間のことである。任意の確率空間族（有限族でも無限族でも可）の積は確率空間となる。これに対し、一般に測度空間については、有限個の空間の積のみが定義される。したがって、無限次元の確率測度（特にガウス測度）は多数存在するが、無限次元のルベーグ測度は存在しない。

標準確率空間は特に有用です。標準確率空間では、条件付き期待値は条件付き測度上の積分として扱うことができます（通常の条件付き確率、測度の分解も参照）。2 つの標準確率空間が与えられた場合、それらの測度代数のすべての準同型は、何らかの測度保存写像によって誘導されます。標準可測空間上のすべての確率測度は、標準確率空間につながります。標準確率空間の列（有限または非有限）の積は、標準確率空間です。すべての非原子標準確率空間は、mod  0 で互いに同型です。そのうちの 1 つは、ルベーグ測度を持つ区間 (0,1) です。

これらの空間は幾何学的要素が少ない。特に、他のすべての空間に（何らかの形で）適用できる次元の概念は、可測空間、測度空間、確率空間には適用されない。

数学解析として知られる微積分学の理論的研究は、20世紀初頭に実数値関数または複素数値関数の線形空間の考察へとつながった。これらの初期の例は関数空間であり、それぞれが特定の種類の問題に適応していた。これらの例は多くの共通の特徴を共有しており、これらの特徴はすぐにヒルベルト空間、バナッハ空間、そしてより一般的な位相ベクトル空間へと抽象化された。これらは、幅広い数学的問題を解決するための強力なツールキットとなった。

最も詳細な情報は、バナッハ代数と呼ばれる空間のクラスによって保持されていました。これらは、連続乗算演算を備えたバナッハ空間です。重要な初期の例は、測度空間X上の本質的に有界な可測関数のバナッハ代数でした。この関数の集合は、点ごとの加算とスカラー乗算の下でバナッハ空間です。点ごとの乗算演算により、これは特殊なタイプのバナッハ空間となり、現在では可換フォン・ノイマン代数と呼ばれています。点ごとの乗算は、 X上の二乗可積分関数のヒルベルト空間上のこの代数の表現を決定します。ジョン・フォン・ノイマンの初期の観察では、この対応関係は逆方向にも機能することが示されました。いくつかの穏やかな技術的仮定の下で、可換フォン・ノイマン代数とヒルベルト空間上の表現は測度空間を決定し、これら 2 つの構成 (フォン・ノイマン代数と表現、および測度空間) は互いに逆です。

フォン・ノイマンは、非可換フォン・ノイマン代数も可換フォン・ノイマン代数と同様に幾何学的意味を持つべきだと提唱した。彼はフランシス・マレーと共にフォン・ノイマン代数の分類を作成した。直接積分構成法は、任意のフォン・ノイマン代数を因子と呼ばれるより単純な代数の集合に分解する方法を示している。フォン・ノイマンとマレーは因子を3つのタイプに分類した。タイプIは可換の場合とほぼ同じであった。タイプIIとタイプIIIは新しい現象を示した。タイプIIのフォン・ノイマン代数は、次元が整数だけでなく任意の非負の実数になり得るという特異な特徴を持つ幾何学を決定した。タイプIII代数はタイプIにもタイプIIにも当てはまらないものであり、数十年にわたる研究の結果、これらはタイプII因子と密接に関連していることが証明された。

関数空間の幾何学に対するやや異なるアプローチが、フォン・ノイマンとマレーによる因子の分類に関する研究と同時期に発展した。このアプローチはC*-代数の理論である。ここでは、 C*-代数を 例として取り上げる。${\displaystyle C_{0}(X)}$ここで、Xは局所的にコンパクトなハウスドルフ位相空間である。定義によれば、これはX上の連続複素数値関数の代数であり、無限遠でゼロになる（おおまかに言えば、選択した点から遠ざかるほど関数はゼロに近づく）もので、点ごとの加算と乗算の演算を持つ。ゲルファント＝ナイマークの定理は、可換C*-代数と幾何学的対象の間に対応関係があることを示唆している。すなわち、すべての可換C*-代数は次の形式である。${\displaystyle C_{0}(X)}$ある局所コンパクトハウスドルフ空間Xに対して。したがって、局所コンパクトハウスドルフ空間は可換C*-環の観点からのみ研究することが可能です。 非可換幾何学は、これを非可換C*-環の研究の着想源としています。 「非可換空間X 」というものが存在するならば、その${\displaystyle C_{0}(X)}$は非可換C*-代数になります。さらに、これらの存在しない対象にゲルファント-ナイマークの定理を適用すると、空間（可換か非可換かを問わず）はC*-代数と同じになります。したがって、非可換空間の定義に直接アプローチする方法がないため、非可換空間は非可換 C*-代数として定義されます。 多くの標準的な幾何学的ツールは C*-代数の観点から再定式化でき、これにより非可換C*-代数を研究するための幾何学的に着想を得た手法が得られます。

これらの例はいずれも、非可換幾何学と呼ばれる分野の事例です。フォン・ノイマン環とC*-環の具体的な例は、それぞれ非可換測度論と非可換位相として知られています。非可換幾何学は、単に一般性を追求するものではなく、単なる好奇心でもありません。非可換空間は、いくつかの構成から自然に、あるいは必然的に生じます。例えば、凧と矢による平面の非周期ペンローズタイリングを考えてみましょう。このようなタイリングでは、凧と矢の有限パッチが無限回出現するという定理があります。その結果、有限部分を見ても2つのペンローズタイリングを区別する方法はありません。このため、すべてのタイリングの集合に、従来の意味での位相を割り当てることは不可能です。それにもかかわらず、ペンローズ・タイリングは非可換C*-代数を決定し、したがって非可換幾何学の手法で研究することができる。もう1つの例、そして微分幾何学において非常に興味深い例は、多様体の葉層構造である。これは、多様体を葉と呼ばれるより小さな次元の部分多様体に分割する方法であり、それぞれの葉は近くの他の葉と局所的に平行である。すべての葉の集合は位相空間にすることができる。しかし、無理回転の例は、この位相空間が古典的な測度論の手法ではアクセスできない可能性があることを示している。しかし、葉層構造の葉空間に関連付けられた非可換フォン・ノイマン代数があり、これもまた、そうでなければ理解できない空間に優れた幾何学的構造を与える。

代数幾何学は、多項式方程式の幾何学的性質を研究する学問です。多項式は、加算と乗算という基本的な算術演算から定義される関数の一種です。そのため、多項式は代数と密接に関係しています。代数幾何学は、純粋代数の問題に幾何学的手法を応用する方法を提供し、またその逆も可能です。

1940年代以前は、代数幾何学は複素数のみを対象としており、最も基本的な多様体は射影空間でした。射影空間の幾何学は透視理論と密接に関連しており、その代数は同次多項式によって記述されます。他のすべての多様体は、射影空間の部分集合として定義されていました。射影多様体は、同次多項式の集合によって定義される部分集合でした。射影多様体の各点において、集合内のすべての多項式がゼロに等しくなければなりませんでした。線形多項式のゼロ集合の補集合はアフィン空間であり、アフィン多様体は射影多様体とアフィン空間の交わりでした。

アンドレ・ヴェイユは、幾何学的推論が、問題となる空間が離散的あるいは有限であるような数論的な状況にも適用できる場合があることに気づいた。この考えを追求する中で、ヴェイユは代数幾何学の基礎を書き換え、代数幾何学を複素数への依存から解放するとともに、射影空間に埋め込まれていない抽象的な代数多様体を導入した。これらは現在では単に多様体と呼ばれている。

現代代数幾何学のほとんどの基礎となる空間は、ワイルの抽象代数多様体よりもさらに一般的なものです。これはアレクサンダー・グロタンディークによって導入され、スキームと呼ばれています。スキーム理論の動機の一つは、多項式が関数の中でも特異な構造を持ち、結果として代数多様体が固定的であることです。これは、退化状況を研究しようとする際に問題となります。例えば、円上のほぼ任意の2点に対して、割線と呼ばれる一意の直線が決定され、2点が円周上を移動すると割線は連続的に変化します。しかし、2点が衝突すると、割線は接線に退化します。接線は一意ですが、この配置（円上の1点）の幾何学は、一意の直線を決定するには表現力が不十分です。このような状況を研究するには、退化状況に追加のデータを割り当てることができる理論が必要です。

スキームの構成要素の一つは位相空間です。位相空間は連続関数を持ちますが、連続関数は対象とする代数構造を反映するには一般的すぎます。そのため、スキームのもう一つの要素は、位相空間上の「構造層」と呼ばれる層です。位相空間の各開部分集合において、この層は「正則関数」と呼ばれる関数の集合を指定します。位相空間と構造層は共に、関数が代数演算から得られるという条件を満たす必要があります。

多様体と同様に、スキームは、馴染みのある空間を局所的にモデル化した空間として定義されます。多様体の場合、馴染みのある空間はユークリッド空間です。スキームの場合、局所モデルはアフィンスキームと呼ばれます。アフィンスキームは、代数幾何学と可換代数を直接結びつけます。可換代数における基本的な研究対象は可換環です。${\displaystyle R}$が可換環であるならば、対応するアフィンスキームが存在する。${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$これは、代数構造を翻訳します。${\displaystyle R}$幾何学に取り入れる。逆に、すべてのアフィン スキームは可換環、すなわちその構造層のグローバル セクションの環を決定する。これら 2 つの操作は互いに逆であるため、アフィン スキームは可換代数の問題の研究に新しい言語を提供する。定義により、スキーム内のすべての点は、アフィン スキームである開近傍を持つ。

アフィンではないスキームは数多く存在する。特に、射影空間は、コンパクト性に類似したプロパーネスと呼ばれる条件を満たす。アフィン スキームはプロパーネスにはなり得ない（スキームが単一の点しか持たないような自明な場合を除く）。したがって、射影空間はアフィン スキームではない（ゼロ次元射影空間を除く）。射影空間の閉じた部分スキームとして生じる射影スキームは、スキームの中で最も重要な族である。^{[ 12 ]}

スキームの一般化がいくつか提案されている。 マイケル・アルティンは、エタール射を定義する同値関係によるスキームの商空間として代数空間を定義した。代数空間は、スキームの多くの有用な性質を保持しつつ、より柔軟性も高い。例えば、キール・モリの定理を用いることで、多くのモジュライ空間が代数空間であることを示すことができる。

代数空間よりも一般的なものとして、ドリーニュ・マンフォード・スタックがあります。DMスタックはスキームに似ていますが、多項式だけでは記述できない特異点を許容します。スキームにおいて、オービフォールドが多様体に対して果たす役割と同じ役割を果たします。例えば、アフィン平面を原点周りの有限回の回転で割った商空間は、スキームでも代数空間でもないドリーニュ・マンフォード・スタックになります。原点から離れた場所では、群作用による商空間は円上の等間隔の点の有限集合を識別します。しかし、原点では、円は原点自体という一点のみで構成され、群作用はこの点を固定します。ただし、商空間のDMスタックでは、この点は商空間であるという追加データを持ちます。このような洗練された構造はモジュライ空間の理論で有用であり、実際、もともとは代数曲線のモジュライを記述するために導入されました。

さらに一般化されたものとして、代数スタック（アルティンスタックとも呼ばれる）がある。DMスタックは有限群作用による商に限定される。これはモジュライ理論における多くの問題には十分だが、他の問題には制約が厳しすぎるため、アルティンスタックはより一般的な商を許容する。

グロタンディークは、ワイル予想に関する研究において、現在グロタンディーク位相と呼ばれる新しいタイプの位相を導入した。位相空間（通常の意味で）は「近接性」の概念を公理化し、2点が近接しているとは、それらが多くの同じ開集合に含まれる場合に限る。これに対し、グロタンディーク位相は「被覆」の概念を公理化する。空間の被覆とは、周囲の空間のすべての情報をまとめて含む部分空間の集合である。層は被覆によって定義されるため、グロタンディーク位相は層の理論の公理化と見なすこともできる。

グロタンディークの位相に関する研究は、彼をトポスの理論へと導いた。彼の回想録『収穫とセメール』の中で、彼はそれを「最も広大な概念」と呼んだ。^{[ 13 ]}層（位相空間上またはグロタンディーク位相に関して）は、局所的なデータを表現するために使用される。すべての層のカテゴリは、局所的なデータを表現するすべての可能な方法を含んでいる。位相空間は点から構成され、点自体が一種の局所的なデータであるため、層のカテゴリは元の空間の代替として使用できる。その結果、グロタンディークはトポスを層のカテゴリとして定義し、トポスをそれ自体で興味深い対象として研究した。これらは現在、グロタンディーク・トポスと呼ばれている。

すべての位相空間はトポスを決定し、その逆もまた然りです。関連するトポスを取ると情報が失われる位相空間も存在しますが、これらは一般的に病的なものとみなされます。（必要十分条件は、位相空間がソバー空間であることです。）逆に、関連する位相空間が元のトポスを捉えないトポスも存在します。しかし、これらのトポスは病的なものではなく、数学的に非常に興味深いものになり得ます。例えば、グロタンディークのエタールコホモロジー理論（最終的にワイル予想の証明につながった）は、スキームのエタールトポスにおけるコホモロジーとして表現できますが、このトポスは位相空間から来るものではありません。

位相空間は実際には、ロケールと呼ばれる非常に特殊なトポスを生み出す。位相空間の開部分集合の集合は束を決定する。位相空間の公理により、これらの束は完全ハイティング代数となる。ロケールの理論はこれを出発点とする。ロケールは完全ハイティング代数として定義され、位相空間の基本的な性質はこれらの用語で再表現され、再証明される。ロケールの概念は位相空間よりも一般的であることが判明する。なぜなら、すべての健全な位相空間は一意のロケールを決定するが、多くの興味深いロケールは位相空間から生じるわけではないからである。ロケールは点を持つ必要がないため、ロケールの研究は冗談めかして「無点位相学」と呼ばれることもある。

トポスは数学的論理とも深い関連性を示します。すべてのグロタンディーク・トポスには、部分対象分類子と呼ばれる特別な層があります。この部分対象分類子は、すべての可能な真理値の集合のように機能します。集合のトポスでは、部分対象分類子は集合です。${\displaystyle \{0,1\}}$これは「偽」と「真」に対応します。しかし、他のトポスでは、部分対象分類子ははるかに複雑になることがあります。 ローヴェアとティアニーは、部分対象分類子を公理化すると、より一般的な種類のトポス（現在では基本トポスとして知られています）が得られ、基本トポスは直観主義論理のモデルであることを認識しました。これは、論理のツールを幾何学に適用する強力な方法を提供するだけでなく、論理で幾何学的方法を使用することも可能にしました。