標準確率空間

確率論において、標準確率空間は、ルベーグ・ロクリン確率空間または単にルベーグ空間（後者の用語は曖昧）とも呼ばれ、1940 年にウラジミール・ロクリンによって導入された特定の仮定を満たす確率空間です。非公式には、区間および/または有限または可算個の原子で構成される確率空間です。

標準確率空間の理論は、1932 年にフォン ノイマンによって始められ、 1940 年にウラジミール ロクリンによって形作られました。ロクリン氏は、ルベーグ測度を備えた単位区間は一般確率空間に比べて重要な利点があり、確率論ではこれらの多くを効果的に置き換えることができることを示しまし た。単位区間の次元は障害にはなりません。これはノーバート ウィーナーにも明らかでした。ウィーナー氏は、単位区間から連続関数の空間への測定可能な写像の形でウィーナー過程(ブラウン運動とも呼ばれる) を構築しました。

標準確率空間の理論は1932年にフォン・ノイマンによって始められ^[1]、1940年にウラジミール・ロクリンによって形作られました^[2]。現代的な表現については、(Haezendonck 1973)、(de la Rue 1993)、(Itô 1984、第2.4節)、および(Rudolph 1990、第2章)を参照してください。

今日では、標準確率空間は、標準ボレル空間を介して記述的集合論の枠組みで扱われる場合があり（そしてしばしば扱われる）、例えば（Kechris 1995、Sect. 17）を参照のこと。このアプローチは、標準ボレル空間の同型定理に基づいている（Kechris 1995、定理（15.6））。測度論に基づくRokhlinの別のアプローチは、記述的集合論とは対照的に、空集合を無視する。標準確率空間は、エルゴード理論で日常的に使用されている。^{[3] [4]}

標準性のよく知られた同等の定義の 1 つを、いくつかの準備の後に以下に示します。すべての確率空間は完全であると仮定します。

2 つの確率空間間の同型は、およびが両方とも (測定可能かつ)測度を保存する写像であるような可逆写像です。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$

2 つの確率空間の間に同型性が存在する場合、それらの空間は同型です。

2 つの確率空間、が同型となるのは、確率空間、が同型となるような空集合が存在する場合です(シグマ体と確率測度が自然に備わっているため)。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$ ${\displaystyle \textstyle A_{1}\subset \Omega _{1}}$${\displaystyle \textstyle A_{2}\subset \Omega _{2}}$${\displaystyle \textstyle \Omega _{1}\setminus A_{1}}$${\displaystyle \textstyle \Omega _{2}\setminus A_{2}}$

確率空間は、ルベーグ測度を持つ区間、有限または可算な原子の集合、あるいはその両方の組み合わせ（不連続な和）に 同型である場合に標準的である。${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$

(Rokhlin 1952、セクション 2.4 (p. 20))、(Haezendonck 1973、命題 6 (p. 249) およびコメント 2 (p. 250))、および (de la Rue 1993、定理 4-3) を参照してください。また、(Kechris 1995、セクション 17.F)、および (Itô 1984、特にセクション 2.4 および演習 3.1(v)) も参照してください。(Petersen 1983、定義 4.5、16 ページ) では、測度は有限であると想定されており、必ずしも確率的であるとは想定されていません。(Sinai 1994、定義 1、16 ページ) では、原子は許可されていません。

すべての関数の空間は、実数直線のコピーの連続体の積として考えることができます。たとえば、標準正規分布 などの確率測度を与え、関数の空間を同一の確率空間の連続体の積として扱うことができます。積測度は 上の確率測度です。素朴に、 はホワイトノイズを記述しているように見えるかもしれません。 ${\displaystyle \textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \gamma =N(0,1)}$${\displaystyle \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )}$ ${\displaystyle \textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }}$

しかし、ホワイトノイズ関数の 0 から 1 への積分は、N (0, 1) に分布するランダム変数であるはずです。対照的に、 の積分 (0 から 1) は未定義です。ƒもほぼ確実に測定可能ではなく、 ƒが測定可能である確率は未定義です。実際、Xが (たとえば) (0, 1) に一様に分布し、 ƒに依存しないランダム変数である場合、ƒ ( X ) はまったくランダム変数ではありません (測定可能性がありません)。 ${\displaystyle \textstyle f\in \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }}$

を、内部ルベーグ測度が 0 に等しいが、外部ルベーグ測度が 1 に等しい（したがって、は極限まで非可測である）集合とします。任意のルベーグ可測 に対してとなるような、上の確率測度が存在します。（これがルベーグ測度です。）確率空間 上の事象およびランダム変数（ として扱われる）は、確率空間 上の事象およびランダム変数と自然に 1 対 1 に対応します 。確率空間はと同じくらい良いと思われるかもしれません。 ${\displaystyle \textstyle Z\subset (0,1)}$${\displaystyle \textstyle Z}$${\displaystyle \textstyle m}$${\displaystyle \textstyle Z}$${\displaystyle \textstyle m(Z\cap A)=\オペレータ名 {mes} (A)}$${\displaystyle \textstyle A\subset (0,1)}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {mes} }$${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$

しかし、そうではありません。によって定義されるランダム変数は、上で一様に分布します。 が与えられた場合、条件付き測度は、が基礎となる確率空間である限り、における単一の原子にすぎません。ただし、の代わりに を使用すると、 のときには条件付き測度は存在しません。 ${\displaystyle \textstyle X}$${\displaystyle \textstyle X(\omega )=\omega }$${\displaystyle \textstyle (0,1)}$${\displaystyle \textstyle X=x}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$${\displaystyle \textstyle x\notin Z}$

穴あき円も同様に構築されます。そのイベントとランダム変数は通常の円と同じです。回転群はそれらに自然に作用します。ただし、穴あき円には作用しません。

（ルドルフ1990、17ページ）も参照。

前の例のように とします。 の形の集合は任意のルベーグ可測集合であり、 はσ-代数であり、 はルベーグσ-代数と を含みます。式 ${\displaystyle \textstyle Z\subset (0,1)}$${\displaystyle \textstyle (A\cap Z)\cup (B\setminus Z),}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}};}$${\displaystyle \textstyle Z.}$

${\displaystyle \displaystyle m{\big (}(A\cap Z)\cup (B\setminus Z){\big )}=p\,\operatorname {mes} (A)+(1-p)\operatorname {mes} (B)}$

は、ルベーグ測度を拡張する上の確率測度の一般形を与えます。ここではパラメータです。具体的には、 を選びます。ルベーグ測度のこのような拡張は、少なくとも無害であるように思われるかもしれません。 ${\displaystyle \textstyle m}$${\displaystyle \textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}}{\big )}}$${\displaystyle \textstyle p\in [0,1]}$${\displaystyle \textstyle p=0.5.}$

しかし、それは穴あきの間隔を偽装したものだ。地図

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0.5x&{\text{for }}x\in Z,\\0.5+0.5x&{\text{for }}x\in (0,1)\setminus Z\end{cases}}}$

は、集合に対応する穿孔区間と 同型である。${\displaystyle \textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}},m{\big )}}$

${\displaystyle \displaystyle Z_{1}=\{0.5x:x\in Z\}\cup \{0.5+0.5x:x\in (0,1)\setminus Z\}\,,}$

内部ルベーグ測度が 0 だが外部ルベーグ測度が 1 の別のセット。

(Rudolph 1990、18ページの演習2.11も参照)

与えられた確率空間の標準性は、から測定可能な空間への測定可能な写像の特定の特性と同等である。答え（標準的であるかどうか）は、およびの選択に依存しない。この事実は非常に有用であり、およびの選択を与えられた に適応させることができる。すべてのケースを調べる必要はない。ランダム変数、ランダムベクトル、ランダムシーケンス、または2値ランダム変数のシーケンスとして扱われるイベントシーケンスを調べるのが便利な場合がある。${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P).}$${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty },}$${\displaystyle \textstyle (A_{1},A_{2},\dots )}$${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }.}$

（単射であり、生成的であること）には 2 つの条件が課されます。以下では、そのような条件が与えられていると仮定します。その存在に関する問題は後で取り上げます。 ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle f}$

確率空間は完全であると仮定されます(そうでない場合は標準にはなりません)。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

測定可能な関数は、プッシュフォワード測度を誘導します。これは、 ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{*}P}$${\displaystyle \textstyle \mu }$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \displaystyle \mu (B)=(f_{*}P)(B)=P{\big (}f^{-1}(B){\big )}}$    ボレル集合の場合 ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} .}$

つまり、ランダム変数の分布です。画像は常に完全な外部測定のセットであり、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$

${\displaystyle \displaystyle \mu ^{*}{\big (}f(\Omega ){\big )}=\inf _{B\supset f(\Omega )}\mu (B)=\inf _{B\supset f(\Omega )}P(f^{-1}(B))=P(\Omega )=1,}$

しかし、その内部の音程は異なる可能性がある（有孔音程を参照）。言い換えれば、完全な音程の集合である必要はない。${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$ ${\displaystyle \textstyle \mu .}$

測定可能な関数は、がすべてのボレル集合上で実行される 逆像の σ 代数のに関する完備化である場合に生成すると呼ばれます。${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \textstyle f^{-1}(B),}$${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} }$

注意。   次の条件はが生成するためには十分ではありません: 任意の に対して、(は対称差を意味する)を満たすボレル集合が存在する。 ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle P(A{\mathbin {\Delta }}f^{-1}(B))=0.}$${\displaystyle \textstyle \Delta }$

定理。測定可能な関数が単射かつ生成的である場合、次の 2 つの条件は同等です。 ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \mu (\textstyle f(\Omega ))=1}$（つまり、内部の尺度も完全な尺度を持ち、画像は完成に関して測定可能です）；${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$
• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,}$標準的な確率空間です。

（伊藤1984、第3.1節）も参照。

同じ定理は、任意の（ の代わりに）に対しても成り立ちます。測定可能な関数は、ランダム変数の有限列として考えることができ、が生成する場合、そしてが によって生成されるσ-代数の完備化である場合に限ります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$${\displaystyle \mathbb {R} \,}$${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}\,}$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}.\,}$

この定理は無限列の空間でも成立する。測定可能な関数はランダム変数の無限列として考えられ、σ代数の完備化が${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }\,}$${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty }\,}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots :\Omega \to \mathbb {R} ,\,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots .\,}$

特に、ランダム変数が0と1の2つの値のみを取る場合、測定可能な関数と集合の列を扱う。関数が生成的であることは、σ代数の完備化が${\displaystyle X_{n}\,}$${\displaystyle f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }\,}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.\,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots .\,}$

先駆的な研究 (Rokhlin 1952) では、単射で生成的なシーケンスは確率空間の基底と呼ばれます(Rokhlin 1952、Sect. 2.1 を参照)。基底が完全 mod 0 と呼ばれ、完全測度である場合は(Rokhlin 1952、Sect. 2.2) を参照してください。同じセクションで、Rokhlin は、確率空間が何らかの基底に関して mod 0 で完全である場合、他のすべての基底に関しても mod 0 で完全であることを証明し、この完全性特性によってルベーグ空間を定義しました。また、(Haezendonck 1973、Prop. 4 および Def. 7) および (Rudolph 1990、Sect. 2.3、特に Theorem 2.2) も参照してください。 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,}$${\displaystyle f(\Omega )\,}$${\displaystyle \mu ,\,}$

上で扱った 4 つのケースは相互に同値であり、可測空間とが相互に同型であるため統合できます。これらはすべて標準の可測空間(つまり、標準ボレル空間) です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ,\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }\,}$${\displaystyle \{0,1\}^{\infty }\,}$

から標準可測空間への入射的な可測関数の存在は、の選択には依存しません。を選択すると、可算分離(ただし、 Itô 1984 では分離可能と呼ばれています) としてよく知られている特性が得られます。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }}$

から標準測定可能空間への生成測定可能関数の存在も、の選択には依存しません。を選択すると、可算生成(mod 0)としてよく知られている特性が得られます(Durrett 1996、Exer. I.5 を参照)。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }}$

標準確率空間から標準測定可能空間へのすべての入射的測定可能関数は生成的である。(Rokhlin 1952、セクション 2.5)、(Haezendonck 1973、253 ページの系 2)、(de la Rue 1993、定理 3-4 および 3-5) を参照。この特性は、上記のサブセクション「余分な測定可能集合」で扱われている非標準確率空間には当てはまらない。

注意。   可算生成の性質は mod 0 同型の下では不変ですが、可算分離の性質はそうではありません。実際、標準確率空間は、の濃度が連続体を超えない場合に限り、可算分離されます(Itô 1984、Exer. 3.1(v) を参照)。標準確率空間には、任意の濃度のヌル集合を含めることができるため、可算分離である必要はありません。ただし、常に完全測度の可算分離サブセットが含まれます。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle \Omega }$

を完全な確率空間とし、 の濃度が連続体を超えないようにします (一般的なケースはこの特殊なケースに簡略化されます。上記の注意を参照してください)。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle \Omega }$

定義。   可算に分離され、可算に生成され、絶対的に測定可能である場合、標準です。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

(Rokhlin 1952、セクション 2.3 の最後) および (Haezendonck 1973、248 ページの注釈 2) を参照してください。「絶対的に測定可能」とは、それを含む、可算に分離され、可算に生成されたすべての確率空間で測定可能であることを意味します。

定義。   可算に分離され、完全な場合は標準です。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

(Itô 1984、第3.1節)を参照。「完全」とは、から へのすべての測定可能な関数に対して、像測度が正則 であることを意味します。(ここで、像測度は、 のボレル構造に関係なく、に属する逆像を持つすべての集合上で定義されます)。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \mathbb {R} \,}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {R} \,}$

定義。   が標準であるのは、 ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle \tau }$${\displaystyle \textstyle \Omega }$

• 位相空間は距離化可能である。${\displaystyle \textstyle (\Omega ,\tau )}$
• ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$は（つまり、すべての開集合によって）生成されるσ-代数の完備化である。${\displaystyle \textstyle \tau }$
• 任意のに対して、次のようなコンパクト集合が存在する。${\displaystyle \textstyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \textstyle K}$${\displaystyle \textstyle (\Omega ,\tau )}$${\displaystyle \textstyle P(K)\geq 1-\varepsilon .}$

(de la Rue 1993、セクション 1) を参照してください。

空間上のすべての確率分布は、その空間を標準確率空間に変換します。(ここで、確率分布とは、ボレルシグマ代数上で最初に定義され、完了した確率測度を意味します。) ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$

同じことがすべてのポーランド空間にも当てはまります。(Rokhlin 1952、2.7節(p. 24))、(Haezendonck 1973、例1(p. 248))、(de la Rue 1993、定理2-3)、および(Itô 1984、定理2.4.1)を参照してください。

たとえば、ウィーナー測度は、ポーランド空間（局所一様収束の位相を備えたすべての連続関数の空間）を標準確率空間に変換します。 ${\displaystyle \textstyle C[0,\infty )}$${\displaystyle \textstyle [0,\infty )\to \mathbb {R} ,}$

別の例: ランダム変数のすべてのシーケンスについて、それらの結合分布は、シーケンスのポーランド空間(積位相を持つ) を標準確率空間に変換します。 ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

(したがって、位相空間では非常に自然な次元の概念は、標準的な確率空間ではまったく不適切です。)

2 つの標準確率空間の積は標準確率空間です。

可算な空間の積についても同様のことが言えます。(Rokhlin 1952、第3.4節)、(Haezendonck 1973、命題12)、(Itô 1984、定理2.4.3)を参照してください。

標準確率空間の測定可能な部分集合は標準確率空間である。この集合は空集合ではなく、条件付き測度を備えていると仮定する。(Rokhlin 1952、Sect. 2.3 (p. 14)) および (Haezendonck 1973、Proposition 5) を参照。

標準ボレル空間上のすべての確率測度は、その空間を標準確率空間に変換します。

離散設定では、条件付き確率は別の確率測度であり、条件付き期待値は条件付き測度に関する（通常の）期待値として扱うことができます（条件付き期待値を参照）。非離散設定では、条件が確率 0 になる可能性があるため、条件付けは間接的に扱われることがよくあります（条件付き期待値を参照） 。その結果、よく知られている事実の多くには特別な「条件付き」対応物があります。たとえば、期待値の線形性、イェンセンの不等式（条件付き期待値を参照）、ヘルダーの不等式、単調収束定理などです。

確率空間 上のランダム変数が与えられた場合、条件付き測度、つまり、与えられたの条件付き分布を構築しようとするのは自然なことです。一般にこれは不可能です (Durrett 1996、Sect. 4.1(c) を参照)。ただし、標準確率空間ではこれは可能であり、標準測度システム(Rokhlin 1952、Sect. 3.1 を参照) としてよく知られています。これは、条件付き確率測度(Itô 1984、Sect. 3.5 を参照)、測度の分解(Kechris 1995、Exercise (17.35) を参照)、および通常の条件付き確率(Durrett 1996、Sect. 4.1(c) を参照) と基本的に同じです。 ${\displaystyle \textstyle Y}$${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \textstyle P_{y}}$${\displaystyle \textstyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \textstyle Y(\omega )=y}$${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

条件付き Jensen の不等式は、条件付き測度に適用された (通常の) Jensen の不等式です。他の多くの事実についても同様です。

2 つの確率空間 と測度保存マップ が与えられると、画像は全体をカバーする必要はなく、空集合を見逃す可能性があります。は 1 に等しくなければならないように見えるかもしれませんが、そうではありません。 の外部測度は1 に等しくなりますが、内部測度は異なる場合があります。ただし、確率空間、が標準である場合、 を参照してください (de la Rue 1993、定理 3-2)。も 1 対 1 である場合、すべての は、を満たします。したがって、は測定可能 (および測度保存) です。 (Rokhlin 1952、セクション 2.5 (p. 20)) および (de la Rue 1993、定理 3-5) を参照してください。また、(Haezendonck 1973、命題 9 (およびその後の注釈)) も参照してください。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$${\displaystyle \textstyle f(\Omega _{1})}$${\displaystyle \textstyle \Omega _{2}}$${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))}$${\displaystyle \textstyle f(\Omega _{1})}$${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))=1}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle A\in {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle \textstyle f(A)\in {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(A))=P_{1}(A)}$${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$

「測度空間内の測度 0 の集合を無視する一貫した方法がある」(Petersen 1983、15 ページ)。数学者は、ヌル集合を排除しようとして、測定可能な集合または関数の同値類をよく使用します。確率空間の測定可能な部分集合の同値類は、測度代数(または計量構造)と呼ばれる、ノルムされた完全なブール代数を形成します。すべての測度保存写像は、基本的に、に対して、測度代数の準同型写像につながります。 ${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$${\displaystyle \textstyle F}$${\displaystyle \textstyle F(B)=f^{-1}(B)}$${\displaystyle \textstyle B\in {\mathcal {F}}_{2}}$

測度代数の準同型写像はすべて測度保存写像に対応しなければならないと思われるかもしれないが、そうではない。しかし、標準的な確率空間では、それぞれが何らかの に対応している。(Rokhlin 1952、Sect. 2.6 (p. 23) および 3.2)、(Kechris 1995、Sect. 17.F)、(Petersen 1983、17 ページの定理 4.7) を参照。 ${\displaystyle \textstyle F}$${\displaystyle \textstyle f}$

「標準確率空間」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

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