ガウス測度

数学において、ガウス測度は有限次元ユークリッド空間上のボレル測度であり、統計学における正規分布と密接な関連がある。また、無限次元空間への一般化もある。ガウス測度は、ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられた。ガウス測度が確率論で広く用いられる理由の 1 つは、中心極限定理である。大まかに言えば、ランダム変数が、分散 1 を持つ多数の独立したランダム変数を合計することによって得られる場合、その分散は であり、その法則はほぼガウス分布であるということである。 ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$

および が上のボレル代数の完備性を表すものとします。が通常の次元ルベーグ測度を表すものとします。すると、 任意の測定可能な集合 に対して、標準ガウス測度が によって定義されます 。ラドン・ニコディム微分に関して、 ${\displaystyle n\in N}$${\displaystyle B_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \lambda^{n}:B_{0}(\mathbb{R}^{n})\to [0,+\infty ]}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma^{n}:B_{0}(\mathbb{R}^{n})\to [0,1]}$$${\displaystyle \gamma^{n}(A)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi}}^{n}}}\int_{A}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left\|x\right\|_{\mathbb {R}^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda^{n}(x)}$$${\displaystyle A\in B_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \gamma ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left\|x\right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right).}$$

より一般的には、平均 と分散を持つガウス測度は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$$${\displaystyle \gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A):={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left\|x-\mu \right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x).}$$

平均を持つガウス測度は、中心化ガウス測度として知られています。 ${\displaystyle \mu =0}$

ディラック測度 は の弱い極限であり、退化したガウス測度であると考えられます。対照的に、有限でゼロでない分散を持つガウス測度は非退化したガウス測度と呼ばれます。 ${\displaystyle \delta _{\mu }}$${\displaystyle \gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}}$${\displaystyle \sigma \to 0}$

標準的なガウス分布は${\displaystyle \gamma ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• はボレル測度である（実際、上で述べたように、より細かい構造であるボレルシグマ代数の完成に基づいて定義される）。
• はルベーグ測度 と同等である: 、ここで は測度の絶対連続性を表す。${\displaystyle \lambda ^{n}\ll \gamma ^{n}\ll \lambda ^{n}}$${\displaystyle \ll }$
• ユークリッド空間全体でサポートされています: ;${\displaystyle \operatorname {supp} (\gamma ^{n})=\mathbb {R} ^{n}}$
• は確率測度なので 局所的に有限である。${\displaystyle (\gamma ^{n}(\mathbb {R} ^{n})=1)}$
• は正である: 空でないすべての開集合は正の測度を持つ;
• は内部正則です。すべてのボレル集合に対して、ガウス測度はラドン測度です。${\displaystyle A}$$${\displaystyle \gamma ^{n}(A)=\sup\{\gamma ^{n}(K)\mid K\subseteq A,K{\text{ is compact}}\},}$$
• は並進不変ではないが、関係式を満たします。ここで、左辺の導関数はラドン・ニコディム導関数であり、は並進写像による標準ガウス測度の押し出しです。$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}-{\frac {1}{2}}\|h\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right),}$$${\displaystyle (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}$${\displaystyle T_{h}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle T_{h}(x)=x+h}$
• は正規 確率分布に関連付けられた確率測度です。$${\displaystyle Z\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})\implies \mathbb {P} (Z\in A)=\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A).}$$

無限次元ベクトル空間上にはルベーグ測度に相当するものは存在しないことが示せます。それでも、無限次元空間上にガウス測度を定義することは可能であり、その主な例は抽象的なウィーナー空間構成です。可分バナッハ空間上のボレル測度は、を除くすべての線型関数に対して、プッシュフォワード測度が上で定義した意味で 上の非退化（中心化）ガウス測度である場合に、非退化（中心化）ガウス測度と呼ばれます。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L\in E^{*}}$${\displaystyle L=0}$ ${\displaystyle L_{*}(\gamma )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

たとえば、連続パスの空間上の古典的なウィーナー測度はガウス測度です。

• ベソフ測度 – ベソフノルムを用いたガウス測度の一般化
• キャメロン・マーティン定理 – ヒルベルト空間上のガウス測度（ウィーナー測度）の変換を定義する定理。
• 共分散演算子 – 確率論における演算子
• フェルドマン・ハジェックの定理 – 確率論における理論