直積分

数学と関数解析において、直積分またはヒルベルト積分は、直和の概念を一般化したものである。この理論は、ヒルベルト空間の直積分とフォン・ノイマン代数の直積分について最も発展している。この概念は、1949年にジョン・フォン・ノイマンによって「作用素環について」シリーズの論文の1つで導入された。この論文におけるフォン・ノイマンの目標の1つは、可分ヒルベルト空間上の（現在フォン・ノイマン代数と呼ばれる）分類を、いわゆる因子の分類に還元することであった。因子は体上の完全行列代数に類似しており、フォン・ノイマンは半単純環を分類するアルティン-ウェダーバーンの定理の連続的な類似物を証明したかった。

直接積分に関する結果は、行列の有限次元C* 代数に関する結果の一般化として見ることができます。この場合、結果は直接証明するのが簡単です。無限次元の場合は、測度理論の専門的事項によって複雑になります。

直接積分理論は、ジョージ・マッキーによる非原始性のシステムの分析や局所コンパクト可分群の誘導表現の一般理論でも使用されました。

直接積分の最も単純な例は、可測空間X上の（σ有限）可算加法測度μに関連するL ^{2空間である。もう少し一般的には、}可分ヒルベルト空間Hと、平方積分可能なH値関数 の空間を考えることができる。

${\displaystyle L_{\mu}^{2}(X,H).}$

用語に関する注記: ここでは、この主題に関する文献で採用されている用語に従う。それによれば、測定可能空間Xはボレル空間と呼ばれ、 Xの特別なσ-代数の元はボレル集合と呼ばれる。基礎となる σ-代数が位相空間に由来するかどうかは関係ない(ほとんどの例では由来している)。ボレル空間が標準的であるためには、それがポーランド空間の基礎となるボレル空間に同型でなければならない。与えられた濃度のすべてのポーランド空間は、互いに同型である (ボレル空間として)。X上の可算加法測度μ が与えられたとき、測定可能集合はボレル集合とはヌル集合だけ異なる集合である。 X上の測度 μ が標準測度であるためには、ヌル集合Eが存在してその補集合X − E が標準ボレル空間である場合に限る。^{[説明が必要]}ここで考慮される測度はすべてσ-有限である。

定義。Xを可算加法測度 μ を備えたボレル空間とする。( X , μ) 上のヒルベルト空間の可測族は族 { H _x } _{x ∈ X}であり、これは次の意味で自明族と局所的に同値である。可算分割が存在する。

${\displaystyle \{X_{n}\}_{1\leq n\leq \omega }}$

Xの測定可能な部分集合で、 ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle H_{x}=\mathbf {H} _{n}\quad x\in X_{n}}$

ここでH _{n は}標準n次元ヒルベルト空間であり、

${\displaystyle \mathbf {H} _{n}=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {C} ^{n}&{\mbox{ if }}n<\omega \\\ell ^{2}&{\mbox{ if }}n=\omega \end{matrix}}\right.}$

上記において、は正方加算可能列の空間である。すべての無限次元可分ヒルベルト空間は、${\displaystyle \ell^{2}}$${\displaystyle \ell^{2}.}$

{ H _x } _{x ∈ X}の交差は、すべてのx ∈ Xに対してs _x ∈ H _xとなるような{ s _x } _{x ∈ X}の族である。交差が測定可能であるのは、各分割元X _nへの制限が測定可能である場合のみである。ほぼすべての場所で等しい測定可能な交差s、t を特定する。ヒルベルト空間の測定可能な族が与えられた場合、直積分

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)}$

は、{ H _x } _{x ∈ X}の測定可能な2乗積分断面積の同値類（ほぼどこでも等式に関して）からなる。これは、内積

${\displaystyle \langle s|t\rangle =\int _{X}\langle s(x)|t(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)}$

私たちの定義の局所的な性質を考慮すると、単一のヒルベルト空間に適用可能な多くの定義は、ヒルベルト空間の測定可能な族にも適用されます。

注: この定義は、フォン ノイマンによって与えられ、ディクスミアのフォン ノイマン代数に関する古典的な論文で議論されたものよりも明らかに制限が厳しい。より一般的な定義では、ヒルベルト空間ファイバー H _xは、局所的な自明性要件 (測度論的な意味での局所性) を持たずに、点ごとに変化することが許可されている。フォン ノイマン理論の主要な定理の 1 つは、より一般的な定義が、ここで与えられたより単純な定義と実際に同等であることを示すことである。

ヒルベルト空間の測定可能な族の直接積分は測度μの測度類のみに依存することに注意する。より正確には、

定理。μ、νがX上のσ有限の可算加法測度で、測度0の同じ集合を持つと仮定する。すると、写像

${\displaystyle s\mapsto \left({\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} \nu }}\right)^{1/2}s}$

はユニタリ演算子である

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)\rightarrow \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\ mathrm {d} \nu (x).}$

最も単純な例は、X が可算集合でμ が離散測度である場合に発生します。したがって、X = Nで μ がN上の計数測度である場合、可分ヒルベルト空間の任意の列 { H _k } は測定可能な族と見なすことができます。さらに、

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\,\mathrm {d} \mu (x)\cong \bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H_{k}}$

可算集合上の離散測度の例として、任意の有界線型作用素Tは

${\displaystyle H=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H_{k}}$

は無限行列で与えられる

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}&\cdots \\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}&\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

この可算集合上の離散測度の例では、分解可能演算子はブロック対角の演算子として定義され、すべての非対角要素がゼロになります。分解可能演算子は、対角行列と交換できるものとして特徴付けることができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0&\cdots \\0&\lambda _{2}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\cdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}&\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

上記の例から、一般的な定義が導かれます。T x ∈ L( H x ) を満たす有界演算子の族 { T x } _x ∈ X は、各 X n への制限が強測定可能である場合にのみ、強測定可能であると言われます。これ_は、_{H xが}X _n上で定数で_あるため_、理にかなっています。

本質的に有界なノルムを持つ測定可能な演算子の族、すなわち

${\displaystyle \operatorname {ess-sup} _{x\in X}\|T_{x}\|<\infty }$

有界線形演算子を定義する

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }\ T_{x}d\mu (x)\in \operatorname {L} {\bigg (}\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x){\bigg )}}$

点ごとに行動する、つまり

${\displaystyle {\bigg [}\int _{X}^{\oplus }\ T_{x}d\mu (x){\bigg ]}{\bigg (}\int _{X}^{\oplus }\ s_{x}d\mu (x){\bigg )}=\int _{X}^{\oplus }\ T_{x}(s_{x})d\mu (x).}$

このような演算子は分解可能であると言われます。

分解可能な演算子の例としては、 X上のスカラー値（つまりC値）の測定可能な関数λによって定義される演算子がある。実際、

定理。マッピング

${\displaystyle \phi :L_{\mu }^{\infty }(X)\rightarrow \operatorname {L} {\bigg (}\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x){\bigg )}}$

与えられた

${\displaystyle \lambda \mapsto \int _{X}^{\oplus }\ \lambda _{x}d\mu (x)}$

はその像への代数的同型写像である。

これにより、_L∞μ ( X )^をφの像と同一視することが可能になる。

定理^{[1]分解可能な作用素とは、}アーベル代数L∞μ ( X )の作用素可換項_に含まれる作用素と全く同じである。

スペクトル定理には多くのバリエーションがあります。特に強力なバージョンは次のとおりです。

定理。可分ヒルベルト空間H上の任意のアーベル・フォン・ノイマン代数 Aに対して、標準ボレル空間XとX上の測度 μ が存在し、これはヒルベルト空間の直積分に作用する L ^∞ _μ ( X )と作用素代数としてユニタリ同値である。

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x).\quad }$

Aが作用素代数としてL∞μ ⁽ X )とユニタリ同値であると_主張することは、ユニタリ

${\displaystyle U:H\rightarrow \int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x)}$

U A U * は対角演算子の代数L ^∞ _μ ( X )となる。これは、 Aと対角演算子の代数との 代数的同値性以上のことを主張していることに注意してください。

このバージョンのスペクトル定理では、基礎となる標準ボレル空間Xがどのように得られるかは明示的に述べられていません。上記の分解には一意の結果があります。

定理。アーベル・フォン・ノイマン代数Aが直積分空間に作用する L ^∞ _μ ( X )とL ^∞ _ν ( Y )の両方にユニタリ同値である場合、

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x),\quad \int _{Y}^{\oplus }K_{y}d\nu (y)}$

μ、νが標準測度である場合、ボレル同型が存在する。

${\displaystyle \varphi :X-E\rightarrow Y-F}$

ここでE , F は空集合であり、

${\displaystyle K_{\phi (x)}=H_{x}\quad {\mbox{almost everywhere}}}$

同型 φ は測度クラス同型であり、φ とその逆写像は測度 0 の集合を保存します。

前の 2 つの定理は、可分ヒルベルト空間上のアーベル フォン ノイマン代数の完全な分類を提供します。この分類では、フォン ノイマン代数を演算子の代数として実現することを考慮に入れています。基礎となるフォン ノイマン代数をその実現とは独立して (フォン ノイマン代数として) 考えると、その構造は非常に単純な測度論的不変量によって決定されます。

{ H _x } _{x ∈ X}をヒルベルト空間の測定可能な族とする。フォン・ノイマン代数の族{ A _x } _{x ∈ X}は 、

${\displaystyle A_{x}\subseteq \operatorname {L} (H_{x})}$

が可測であるためには、次の意味でフォン・ノイマン代数として{ A _x } _{x ∈ Xを}点ごとに生成する可算な可測作用素族の集合Dが存在する必要がある。ほぼすべてのx ∈ Xに対して、

${\displaystyle \operatorname {W^{*}} (\{S_{x}:S\in D\})=A_{x}}$

ここで、W*( S )は集合Sによって生成されるフォン・ノイマン代数を表す。{ A _x } _{x ∈ Xが}フォン・ノイマン代数の測定可能な族である場合、フォン・ノイマン代数の直接積分

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x)}$

形式のすべての演算子から構成される

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }T_{x}d\mu (x)}$

T _x ∈ A _xの場合。

フォン・ノイマンとマレーの初期の論文集における主要な定理の一つは分解定理の証明である。フォン・ノイマン代数はいずれも因数の直接積分である。正確に言えば、

定理。{ A _x } _{x ∈ X}がフォン・ノイマン代数の測定可能な族であり、μが標準である場合、作用素交換子の族も測定可能であり、

${\displaystyle {\bigg [}\int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x){\bigg ]}'=\int _{X}^{\oplus }A'_{x}d\mu (x).}$

A がフォン・ノイマン代数であると仮定します。 Z ( A ) をAの中心とします。中心は、 A内のすべての演算子と可換なA内の演算子の集合です。

${\displaystyle \mathbf {Z} (A)=A\cap A'}$

このとき、Z ( A )はアーベル・フォン・ノイマン代数である。

例。L( H )の中心は1次元です。一般に、Aがフォンノイマン代数で中心が1次元の場合、Aは因子であると言います。

Aがフォン・ノイマン代数であり、その中心に極小の非ゼロ直交射影列{ E _i } _{i ∈ N}が含まれるとき、

${\displaystyle 1=\sum _{i\in \mathbb {N} }E_{i}}$

すると、A E _{i は}E _iの値域H _i上のフォン・ノイマン代数となる。A E _iが因数であることは容易に分かる。したがって、この特別な場合 では

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }AE_{i}}$

A を因数の直和として 表します。これはフォン・ノイマンの中心分解定理の特殊なケースです。

一般に、アーベル フォン ノイマン代数の構造定理は、Z( A ) をスカラー対角演算子の代数として表します。このような表現では、Aのすべての演算子は分解可能な演算子です。これを使用して、フォン ノイマンの基本的な結果である、任意のフォン ノイマン代数は因数分解可能であることを証明できます。

定理。仮定する

${\displaystyle H=\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x)}$

^はHの直接積分分解であり_、 AはH上のフォン・ノイマン代数なので、Z( A )はスカラー対角演算子の代数L∞μ ( X )で表される。ここでXは標準ボレル空間である。すると

${\displaystyle \mathbf {A} =\int _{X}^{\oplus }A_{x}d\mu (x)}$

ここで、ほとんどすべてのx ∈ Xに対して、A _{x は}因数であるフォン・ノイマン代数です。

A が可分なC*-代数である場合、上記の結果はAの非退化 *-表現の測定可能な族に適用できます。 Aが単位を持つ場合、非退化は単位保存と同値です。局所コンパクト群Gの強連続 ユニタリ表現と群 C*-代数 C*( G ) の非退化 *-表現の間に存在する一般的な対応により、C*-代数の理論は、可分な局所コンパクト群の表現の分解理論を直ちに提供します。

定理。Aを可分 C*-代数とし、π を可分ヒルベルト空間H上のAの非退化な対合表現とする。W*(π) をa ∈ Aの作用素 π( a )によって生成されるフォン・ノイマン代数とする。すると、W*(π) の標準測度空間 ( X ,μ)上の任意の中心分解(これは前述のように測度論的な意味で一意である) に対応して、因子表現の測定可能な族が存在する。

${\displaystyle \{\pi _{x}\}_{x\in X}}$

Aの​

${\displaystyle \pi (a)=\int _{X}^{\oplus }\pi _{x}(a)d\mu (x),\quad \forall a\in A.}$

さらに、 μ 測度がゼロであるXのサブセットNが存在し、 x、y ∈ X − Nのときは常に π _x、 π _yが互いに素である。ここで、表現が互いに素であるとは、それらの間に絡み合う演算子が存在しない場合に限ります。

直接積分は、 Aの因子表現の準同値類からなる、Aのいわゆる準スペクトル Q上でインデックス付けできることを示すことができる。したがって、 Q上の標準測度 μと、 π _{x が}xの類に属するような、Q上でインデックス付けされた因子表現の測定可能な族が存在する。この分解は本質的に一意である。この結果は、群表現の理論において基本的なものである。

• J. Dixmier、 フォン・ノイマン代数、ISBN 0-444-86308-7 
• J. ディクスミア、C* 代数 ISBN 0-7204-0762-1 
• GW Mackey、『ユニタリ群表現の理論』シカゴ大学出版局、1976年。
• J. フォン・ノイマン、「作用素環について」、縮約理論、数学年報第2シリーズ、第50巻第2号（1949年4月）、pp. 401–485。
• 竹崎正道 『作用素代数理論 I、II、III』、数理科学事典、シュプリンガー版、2001 ～ 2003 年 (第 1 巻は 1979 年に第 1 版で出版) ISBN 3-540-42248-X