トポス

数学において、グロタンディーク・トポス（米国: / ˈtɒpɒs /、英国: / ˈtoʊpoʊs 、ˈtoʊpɒs /、複数形はtopoi / ˈtɒpɔɪ /または/ ˈtoʊpɔɪ/、またはtoposes）は、位相空間（またはより一般的には、サイト）上の集合の層の圏のように振る舞う圏である。トポスは集合の圏とよく似た振る舞いをし、局所化の概念を持つ。^{[ 1 ]}グロタンディーク・トポスは代数幾何学 に応用されている。これらは、論理学で使用される初等トポスによって一般化される。

トポスを研究する数学分野は、トポス理論と呼ばれます。

1940年代に層が数学に導入されて以来、空間上の層を研究することによって空間を研究するというテーマが大きなテーマとなってきた。この考えは、アレクサンダー・グロタンディークが「トポス」の概念を導入することによって詳しく説明した。この概念の主な有用性は、位相的ヒューリスティックが非常に効果的であるが、真の位相空間が存在しない数学の状況が数多くあることにある。ヒューリスティックを形式化するトポスを見つけることができる場合もある。このプログラム的アイデアの重要な例は、スキームのエタール・トポスである。グロタンディーク・トポスがさまざまな数学的状況の「本質」を具現化する能力を示すもう1つの例は、おそらく非常に異なる言語で書かれているにもかかわらず、共通の数学的内容を共有する理論を結びつける「橋」として使用されることである。^{[ 2 ] [ 3 ]}

グロタンディーク・トポスは圏である${\displaystyle C}$これは、以下の3つの性質のうちいずれか1つを満たすものである。（ジャン・ジローの定理によれば、以下の性質はすべて同等である。）

• 小さなカテゴリーがあります${\displaystyle D}$そして包含${\displaystyle C\hookrightarrow \operatorname {Presh} (D)}$有限極限保存左随伴を許容する。
• ${\displaystyle C}$は、グロタンディークのサイトにおける束のカテゴリです。
• ${\displaystyle C}$これは、以下のジローの公理を満たしている。

ここ${\displaystyle \operatorname {Presh} (D)}$は、反変関数の圏を表す。${\displaystyle D}$集合の圏への反変関手は、しばしば前層と呼ばれます。

ジローの定理は既に「サイト上の層」を例として挙げている。ただし、非同値なサイトが同値なトポスを生み出す場合が多いことに注意が必要である。序論で述べたように、通常の位相空間上の層は、トポス理論の多くの基本的な定義と結果の動機となっている。

もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$トポス、幾何学的射${\displaystyle u:X\to Y}$は、 u ^∗が有限極限を保存するような随伴関手( u ^∗ , u _∗ )のペアです(ここで、 u ^∗  : Y → Xはu _∗  : X → Yの左随伴です)。u ∗^は右随伴を持つため、余極限を自動的に保存することに注意してください。

フレイドの随伴関手定理によれば、幾何学的射X → Yを与えることは、有限極限とすべての小さな余極限を保存する関手u ^∗ : Y → Xを与えることである。したがって、トポス間の幾何学的射は、局所の写像の類似物と見なすことができる。 

もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$は位相空間であり、${\displaystyle u}$それらの間に連続写像が存在する場合、層に対する引き戻しおよび押し出し操作によって、サイトに対応するトポス間の幾何学的射が得られます。${\displaystyle {\text{Open}}(X),{\text{Open}}(Y)}$。

環状トポスは、( X , R ) のペアであり、Xはトポス、RはX内の可換環オブジェクトです。環状空間の構成のほとんどは、環状トポスにも適用されます。X 内のR加群オブジェクトの圏は、十分な数の単射を持つアーベル圏です。より有用なアーベル圏は、準コヒーレントR加群の部分圏です。これらは表示を許容するR加群です。

環状空間の他に、環状トポスの重要なクラスとして、デリーニュ・マンフォードスタックのエタールトポスがある。

マイケル・アーティンとバリー・マズールは、トポスの基礎となるサイトにプロ単体集合（ホモトピーを除いて）を関連付けた。^{[ 4 ]}（Ho(pro-SS)で考える方が良い。エドワーズを参照）この単体集合の逆システムを使用すると、古典トポロジーのホモトピー不変量にトポス理論の不変量の逆システムを関連付けることができる場合がある。スキームのエタールトポスに関連付けられたプロ単体集合の研究は、エタールホモトピー理論と呼ばれる。^{[ 5 ]}良い場合（スキームがネーター的で幾何学的に単分岐である場合）、このプロ単体集合はプロ有限である。

• トポス理論の歴史
• ホモトピー仮説
• ∞-トポス
• クアシトポス
• 幾何論理
• 一般化された空間

穏やかな論文

• Edwards, DA; Hastings, HM ( 1980年夏)。「チェフ理論：その過去、現在、未来」( PDF)。Rocky Mountain Journal of Mathematics。10 ( 3 ): 429–468。doi : 10.1216/RMJ- 1980-10-3-429。JSTOR 44236540。 
• ベイズ、ジョン。「トポス理論の要点」。穏やかな導入。
• Steven Vickers : " Toposes pour les nuls " および " Toposes pour les vraiment nulls " 一般化された空間としてのトポーズについての初歩的な、そしてさらに初歩的な入門書。
• Illusie, Luc (2004). 「トポスとは何か？」(PDF) . Notices of the AMS . 51 (9): 160– 1.

以下のテキストは、トポスと圏論の基礎を分かりやすく解説した入門書です。数学論理学や集合論の知識がほとんどない方、数学者以外の方にも適しています。

• Lawvere, F. William ; Schanuel, Stephen H. (1997). Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-47817-5。「コンピュータ科学者、論理学者、物理学者、言語学者などのためのカテゴリー入門書」（表紙のテキストより引用）。
• ローヴェア、F.ウィリアム、ローズブルフ、ロバート（2003）。数学のための集合。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-01060-3。数学の基礎を、範疇論的な観点から紹介する。

グロタンディークのトポスに関する基礎的研究：

• グロタンディーク、A. ; JL ヴェルディエ(1972 年)。テオリ・デ・トポスとコホモロジー・エテール・デ・スキーマ。数学の講義ノート。 Vol.  269. スプリンガー。土井：10.1007/BFb0081551。ISBN 978-3-540-37549-4。第2巻270ページdoi : 10.1007/BFb0061319 ISBN 978-3-540-37987-4

以下のモノグラフは、トポス理論の一部または全部の入門書ですが、主に初学者を対象としているわけではありません。難易度が（想定される）低い順に掲載しています。

• McLarty, Colin (1992).初等カテゴリー、初等トポス. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-158949-2。圏論、トポス理論、トポス論理の基礎を分かりやすく解説した入門書。予備知識はほとんど不要です。
• ゴールドブラット、ロバート（2013）[1984]。トポイ：論理のカテゴリー分析。クーリエ・コーポレーション。ISBN 978-0-486-31796-0。 良いスタートだ。ロバート・ゴールドブラットのホームページでオンラインで入手可能。
• ベル、ジョン・L. (2001). 「範疇論理の発展」 . ガベイ、DM; ギュントナー、フランツ (編) 『哲学論理ハンドブック』第12巻 (第2 版). シュプリンガー. pp.  279–. ISBN 978-1-4020-3091-8。ジョン・ベルのホームページでオンライン版が入手可能です。
• MacLane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (2012) [1994]. Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory . Springer. ISBN 978-1-4612-0927-0。より詳細で、より読みにくい。
• Barr, Michael ; Wells, Charles (2013) [1985]. Toposes, Triples and Theories . Springer. ISBN 978-1-4899-0023-4。（オンライン版）『幾何と論理における層』よりも簡潔だが、初心者には難しい。

専門家向けの参考書であり、入門書としてはあまり適していない。

• Edwards, DA; Hastings, HM (1976). Čech および Steenrod ホモトピー理論とその幾何学的トポロジーへの応用. Lecture Notes in Maths. Vol.  542. Springer-Verlag. doi : 10.1007/BFb0081083 . ISBN 978-3-540-38103-7。
• ボルソー、フランシス（1994）。『圏論的代数学ハンドブック：第3巻、層理論』。数学とその応用百科事典、第 52巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-44180-3。ジョンストンが「ボルソーの傑作」と評した作品の第3部。入門書としては依然として適しているが、膨大な資料の中から最も重要な成果を見極めるのは、初心者には難しいかもしれない。
• ジョンストン、ピーター・T. (2014) [1977].トポス理論. クーリエ. ISBN 978-0-486-49336-7。長らくトポス理論の標準的な概説書とされてきた。しかし、ジョンストン自身もこの著作を「読むのが非常に難しく、気の弱い人には向かない」と評している。
• ジョンストン、ピーター・T. (2002). 『象のスケッチ：トポス理論概説』第2巻。 クラレンドン・プレス。ISBN 978-0-19-851598-2。2010年初頭の時点で、予定されていた全3巻のうち、この膨大な量の資料集のうち2巻が入手可能だった。
• Caramello, Olivia (2017). Theories, Sites, Toposes: Relating and studying mathematical theories through topos-theoretic 'bridges . Vol.  1. Oxford University Press. doi : 10.1093/oso/9780198758914.001.0001 . ISBN 9780198758914。

トポス理論の特殊な応用を扱った書籍

• ペディッキオ、マリア・クリスティーナ；トーレン、ウォルター；ロータ、GC 編 (2004)。『圏論的基礎：順序、位相、代数、層理論の特殊トピック』。数学とその応用百科事典 第 97巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-83414-8。興味深い特殊用途が多数含まれています。