石の空間

位相幾何学や数学の関連分野において、ストーン空間は、プロ有限空間^[1]またはプロ有限集合としても知られ、コンパクトな ハウスドルフ 完全不連結空間である。^[2]ストーン空間は、 1930年代にブール代数の研究の過程で導入および研究され、ブール代数の表現定理に結実したマーシャル・ハーヴェイ・ストーンにちなんで名付けられた。

位相空間上の以下の条件は同値である: ^{[2] [1]}${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$石の空間です。
• ${\displaystyle X}$有限離散空間の逆系の射影極限（位相空間のカテゴリ内）に同相である。
• ${\displaystyle X}$コンパクトで完全に分離されています。
• ${\displaystyle X}$はコンパクト、T ₀、ゼロ次元（小さい帰納的次元の意味で）である。
• ${\displaystyle X}$首尾一貫しており、ハウスドルフです。

ストーン空間の重要な例としては、有限離散空間、カントール集合、および-進整数の空間（ は任意の素数 ）が挙げられる。これらの例を一般化すると、任意の有限離散空間の積はストーン空間であり、任意のprofinite 群の基礎となる位相空間はストーン空間である。離散位相を持つ自然数のストーン–チェフコンパクト化、または任意の離散空間のストーン–チェフコンパクト化は、ストーン空間である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

あらゆるブール代数 には、次のようにストーン空間を関連付けることができます。の元は、上の超フィルタであり、上の位相は、${\displaystyle B}$${\displaystyle S(B)}$${\displaystyle S(B)}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle S(B),}$ストーン位相は、次の形の集合によって生成される。${\displaystyle \{F\in S(B):b\in F\},}$${\displaystyle b\in B.}$

ブール代数に対するストーンの表現定理は、すべてのブール代数はストーン空間の閉開集合のブール代数に同型であり、さらにすべてのストーン空間は、の閉開集合のブール代数に属するストーン空間に同相であることを述べています。これらの割り当ては関数的であり、ブール代数のカテゴリ（射として準同型を持つ）とストーン空間のカテゴリ（射として連続写像を持つ）の間にカテゴリ理論的双対性が得られます。 ${\displaystyle S(B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

ストーンの定理は、現在では総称してストーン双対性として知られている、類似の双対性を数多く生み出しました。

連続写像を持つストーン空間の圏は、有限集合の圏のプロ圏と同等であり、これが「プロ有限集合」という用語の意味を説明しています。プロ有限集合は、位相空間を「凝縮集合」に置き換えることを目指す凝縮数学のプロジェクトの中心であり、位相空間Xは、プロ有限集合SをSからXへの連続写像の集合に導く関数に置き換えられます。^[3]

• ストーン・チェフコンパクト化#超フィルターを用いた構成 – トポロジーの概念
• トポロジーにおけるフィルター – フィルターを使用して、すべての基本的なトポロジーの概念と結果を記述および特徴付けます。
• タイプ（モデル理論）  – モデル理論における概念

• ジョンストン、ピーター(1982)。『ストーンスペース』。ケンブリッジ高等数学研究第3巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-33779-8。