標準ボレル空間

数学において、標準ボレル空間はポーランド空間に関連付けられたボレル空間です。離散ポーランド空間の場合を除き、標準ボレル空間は、測定可能な空間の同型性を除き一意です。

測定可能空間 が「標準ボレル」と呼ばれるのは、その測定可能空間がボレルσ-代数となるような方法で完全な可分距離空間となるような測定が存在する場合である。^[1] 標準ボレル空間には、一般の測定可能空間には当てはまらないいくつかの有用な特性がある。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$

• およびが標準ボレル写像である場合、任意の全単射の可測写像は同型写像です（つまり、逆写像も可測です）。これはスースラン定理から導かれ、解析的かつ余解析的な集合は必ずボレル写像となる。${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle (Y,T)}$ ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )}$
• およびが標準ボレル空間であり、のグラフがボレルである場合に限り、は測定可能です。${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle (Y,T)}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$
• 標準ボレル空間の可算族の積と直和は標準的です。
• 標準ボレル空間上のすべての完全な 確率測度は、その空間を標準確率空間に変換します。

定理。をポーランド空間、つまり上の計量が存在し、 の位相を定義し、完全な可分計量空間を作るような位相空間とします。このとき、ボレル空間は(1)、 (2) 、(3)のいずれかの有限離散空間にボレル同型であるためです。(この結果はマハラムの定理を彷彿とさせます。) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

したがって、標準ボレル空間は同型性を除いてその濃度によって特徴付けられ、^[2]任意の無数標準ボレル空間は連続体の濃度を持つ。

標準ボレル空間上のボレル同型は、位相空間上の同相に類似しています。つまり、両方とも全単射であり、合成に関して閉じており、同相とその逆は両方ともボレル測定可能であるだけでなく、両方 とも連続です。

• 測定可能空間 – 測度論における基本オブジェクト、集合とシグマ代数