チュースペース

チュー空間は、開集合の集合が和集合と有限交差の下で閉じていること、開集合が外延的であること、(開集合内の点の)帰属述語が 2 値であることなどの要件を削除することで、位相空間の概念を一般化します。連続関数の定義は、これらの一般化の後も意味を成すように注意深く表現する必要があること以外は変更されません。

この名前は、 1979年にマイケル・バーの指導の下で大学院生として自律カテゴリーの検証を構築したポーシャン・チューに由来しています。^[1]

静的に理解すると、集合K上のChu 空間 ( A、r、X ) は、点の集合A、状態の集合X、および関数r  : A × X → Kで構成されます。これは、 Kから抽出された要素を持つA × X行列、またはAとX間のK値の二項関係(通常の二項関係は 2 値です) になります。

動的に理解すると、Chu 空間は位相空間のように変換され、Aは点の集合、X は開集合の集合、r はそれらの間の所属関係であり、Kは開集合における点の所属の可能なすべての次数の集合である。 ( A , r , X ) から ( B , s , Y ) への連続関数の対応物は、すべての a ∈ A および y ∈ Y に対して随伴条件 s ( f ( a ) , y ) = r ( a , g ( y ) )を満たす関数f :  A → B 、 g :  Y → Xのペア( f , g ) である。つまり、f は点を前方に写像し、g は状態を後方に写像する。随伴条件により g は逆像関数 f −1 になり、gの共域^にXを選択することは、開集合の逆像が開いているという連続関数の要件に対応している。このようなペアは、Chu 変換または Chu 空間の射と呼ばれます。

位相空間 ( X , T ) は、X が点の集合でT が開集合の集合である場合、{0, 1} 上の Chu 空間 ( X ,∈, T ) として理解できます。つまり、位相空間の点は Chu 空間の点になり、開集合は状態になり、点と開集合の間の所属関係 " ∈ " は Chu 空間で明示的に示されます。開集合の集合が任意の (空を含む) 和と有限の (空を含む) 積の下で閉じているという条件は、行列の列の対応する条件になります。2 つの位相空間間の連続関数f :  X  →  X'は、 fが、 fのドメインで必要な開集合を示す明示的な証拠関数gとして構築された連続条件の実現と対になっている随伴ペア ( f , g )になります。

K上の Chu 空間とその写像のカテゴリは、 Chu ( Set , K )で表されます。定義の対称性から明らかなように、これは自己双対カテゴリです。つまり、すべての写像を逆にすることで得られるカテゴリであるその双対と同等 (実際は同型) です。さらに、これは双対化オブジェクト ( K , λ, {*})を持つ*-自律カテゴリであり、λ : K × {*} → Kは λ( k , *) = k (Barr 1979)で定義されます。そのため、これはJean-Yves Girardの線型論理のモデルです(Girard 1987)。

より一般的な強化カテゴリ Chu ( V ,  k ) は、もともと Barr (1979) の付録に登場しました。Chu 空間の概念はMichael Barrが考案し、詳細は彼の学生 Po-Hsiang Chu によって展開されました。彼の修士論文が付録となっています。通常の Chu 空間は、V = Set の場合、つまりモノイド カテゴリ Vが集合とその関数のデカルト閉カテゴリ Setに特殊化された場合に発生しますが、より一般的な強化概念の登場から 10 年以上経つまで、それ自体は研究されていませんでした。de Paiva (1989) による、 Dialectica spacesと呼ばれる Chu 空間の変種は、マップ条件 (1) をマップ条件 (2) に置き換えます。

1. s ( f ( a ), y )= r ( a , g ( y ))です。
2. s ( f ( a ), y ) ≤r ( a , g ( y ))です。

位相空間とその連続関数のカテゴリTop は、各位相空間 ( X、T )に対して上記のように表現 F (( X 、 T )) = ( X 、∈、 T ) を提供する完全で忠実な関手 F : Top → Chu ( Set 、 2 ) が存在するという意味で、 Chu ( Set 、 2 )に 埋め込まれます。この表現は、さらに、 Pultr とTrnková (1980)の意味での実現であり、つまり、表現する Chu 空間は、表現される位相空間と同じ点の集合を持ち、同じ関数を介して同じように変換されます。

Chu 空間は、それが実現する多種多様なよく知られた構造で注目に値します。Lafont と Streicher (1991) は、 2 上の Chu 空間は位相空間とコヒーレント空間(J.-Y. Girard (1987) が線型論理をモデル化するために導入) の両方を実現するのに対し、K上の Chu 空間は濃度が最大でもKである体上のベクトル空間の任意のカテゴリを実現することを指摘しています。これは、Vaughan Pratt (1995) によって、 2 ^k上の Chu 空間によるk項関係構造の実現に拡張されました。たとえば、群のカテゴリGrpとその準同型は、群の乗法を3 項関係として整理できるため、Chu ( Set、  8 )によって実現されます。 Chu ( Set , 2) は、半格子、分配格子、完全および完全分配格子、ブール代数、完全原子ブール代数などの幅広い「論理」構造を実現します。これに関する詳細情報や、並行動作のモデリングへの応用を含む、Chu 空間のその他の側面については、Chu Spacesを参照してください。

チュー空間は、オートマトン理論における並行計算のモデルとして、分岐時間と真の並行性を表現するのに使える。チュー空間は、相補性と不確実性という量子力学的現象を示す。相補性は、情報と時間、オートマトンとスケジュール、状態とイベントの二重性として生じる。不確実性は、測定がモルフィズムとして定義され、観測対象内の構造が増加すると観測の明瞭性が低下する場合に生じる。この不確実性は、その形状因子から数値的に計算でき、通常のハイゼンベルクの不確定性関係が得られる。チュー空間は、ヒルベルト空間のベクトルとしての波動関数に対応する。^[2]

• Chu Spaces に関する論文ガイド、Web ページ。