ベールセット

数学、より具体的には測度論において、ベール集合はボレル集合の病的な性質のいくつかを回避する位相空間のσ代数を形成します。

ベール集合には同値でない定義がいくつかあるが、最も広く使われている定義では、局所コンパクトな ハウスドルフ空間のベール集合は、コンパクトに支えられた連続関数がすべて測定可能となるような最小の σ-代数を形成する。したがって、この σ-代数上で定義された測度はベール測度と呼ばれ、局所コンパクトなハウスドルフ空間上の積分に便利な枠組みとなる。特に、そのような空間上のコンパクトに支えられた連続関数はどれも、有限のベール測度に関して積分可能である。

すべての Baire 集合はBorel 集合です。逆は多くの位相空間で成立しますが、すべてではありません。Baire 集合は、位相の可算な基底を持たない空間上の Borel 集合のいくつかの異常な特性を回避します。実際には、Baire 集合での Baire 測度の使用は、 Borel 集合での通常のBorel 測度の使用に置き換えられることがよくあります。

ベア集合は、小平邦彦 (1941 年、定義 4)、角谷静夫および小平邦彦 (1944 年)、およびハルモス (1950 年、220 ページ) によって導入され、ベア関数にちなんで命名され、ルネ・ルイ・ベアにちなんで命名されました。

局所コンパクト ハウスドルフ空間上の Baire 集合には、少なくとも 3 つの同値でない定義があり、一般の位相空間にはさらに多くの定義がありますが、これらすべての定義は局所コンパクトσ コンパクトハウスドルフ空間では同値です。さらに、一部の著者は、Baire 集合が定義される位相空間に制限を追加し、コンパクト ハウスドルフ、局所コンパクト ハウスドルフ、または σ コンパクトである空間上でのみ Baire 集合を定義します。

小平邦彦は[ ^{1] 、}ある種の位相空間の Baire 集合 (彼は紛らわしいことに「ボレル集合」と呼んでいる) を、特性関数が Baire 関数 (すべての連続実数値関数を含み、数列の点ごとの極限で閉じている関数の最小のクラス) である集合と定義した。 Dudley (1989、7.1 節) は同等の定義を与え、位相空間の Baire 集合を、すべての連続実数値関数が測定可能であるような最小の σ 代数の要素と定義している。局所コンパクト σ コンパクト ハウスドルフ空間の場合、これは次の定義と同等であるが、一般には定義は同等ではない。

逆に、ベール関数はベール測定可能な実数値関数そのものである。距離空間の場合、ベール集合はボレル集合と一致する。^[2]

Halmos (1950、220 ページ) は、局所コンパクト ハウスドルフ空間の Baire 集合を、 コンパクトG _{δ集合によって生成される}σ 環の要素として定義しました。σ 環は時代遅れになっているため、この定義は現在はあまり使用されていません。空間が σ コンパクトである場合、この定義は次の定義と同等です。

閉じたG _δ集合ではなくコンパクトなG _δ集合を扱う理由の 1 つは、Baire 測度が自動的に正則になるためです(Halmos 1950、定理 G、228 ページ)。

3 番目で最も広く使用されている定義は、Halmos の定義に似ていますが、Baire 集合が単なる σ 環ではなく σ 代数を形成するように修正されています。

局所コンパクト ハウスドルフ位相空間の部分集合は、それがすべてのコンパクトG _δ集合を含む最小のσ 代数のメンバーである場合、ベール集合と呼ばれます。言い換えると、ベール集合の σ 代数は、コンパクト集合を生成する可算な数の開集合の交差すべてによって生成されるσ 代数です。あるいは、ベール集合は、コンパクト台の連続関数がすべて測定可能であるような最小の σ 代数を形成します (少なくとも局所コンパクト ハウスドルフ空間では。一般の位相空間では、これら 2 つの条件は必ずしも同等ではありません)。

σ コンパクト空間の場合、これはハルモスの定義と同等です。σ コンパクトでない空間の場合、この定義による Baire 集合は、ハルモスの定義による集合とその補集合を合わせたものです。ただし、この場合、有限 Baire 測度が必ずしも正則であるということはもはや真実ではありません。たとえば、非可算離散空間のすべての可算部分集合に測度 0 を割り当て、すべての共可算部分集合に測度 1 を割り当てる Baire確率測度は、正則ではない Baire 確率測度です。

σ コンパクトではない局所コンパクト ハウスドルフ位相空間の場合、上記の 3 つの定義は同等である必要はありません。

離散位相空間は局所コンパクトかつハウスドルフである。離散空間上で定義された関数はどれも連続であるため、最初の定義によれば、離散空間のすべての部分集合はベールである。しかし、離散空間のコンパクト部分空間はまさに有限部分空間であるため、2 番目の定義によれば、ベール集合はまさに最大で可算な集合であり、3 番目の定義によれば、ベール集合は最大で可算な集合とその補集合である。したがって、3 つの定義は非可算離散空間上では同等ではない。

非ハウスドルフ空間の場合、連続関数によるベール集合の定義は、G _δコンパクト集合を含む定義と同等である必要はありません。たとえば、X が有限集合と空間全体を閉集合とする無限可算集合である場合、X上の連続実関数は定数のみですが、Xのすべての部分集合は、コンパクト閉G _δ集合によって生成される σ 代数内にあります。

複数の点を持つ無数に多数のコンパクトな ハウスドルフ空間の直積において、点は閉じているにもかかわらず、決してベール集合にはならず、したがってボレル集合となる。^[3]

ベール集合はユークリッド空間におけるボレル集合と一致する 。

任意のコンパクトハウスドルフ空間に対して、任意の有限ベール測度（つまり、すべてのベール集合のσ-代数上の測度）は正則である。^[4]

あらゆるコンパクトなハウスドルフ空間に対して、あらゆる有限ベール測度は正則ボレル測度への一意の拡張を持つ。^[5]

コルモゴロフ拡張定理は、有限次元確率分布の一貫した集合はすべて関数の空間上のベール測度につながると述べています。^[6]コンパクト性（与えられた空間、したがって関数空間も）を仮定すると、これを通常のボレル測度に拡張できます。完成すると、必ずしも標準ではない確率空間が得られます。^[7]

• ハルモス、PR（1950）測度論、ノストランド対。特にセクション 51「ボレル集合とベール集合」を参照してください。
• ダドリー、RM（1989）。実解析と確率。チャップマン＆ホール。ISBN 0521007542。特にセクション7.1「BaireとBorelのσ-代数と測度の正則性」とセクション7.3「正則性の拡張」を参照してください。
• 角谷静雄；小平邦彦 (1944)、「Über das Haarsche Mass in der lokal bikompakten Gruppe」、Proc.インプ。アカド。東京、20 (7): 444–450、土井: 10.3792/pia/1195572875、MR  0014401
• 小平邦彦 (1941)、「Über die Gruppe der mesbaren Abbildungen」、Proc.インプ。アカド。東京、17 : 18–23、土井: 10.3792/pia/1195578​​914、MR  0004089
• 「ベール集合」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]