完全なヘイティング代数

数学、特に順序理論において、完全ハイティング代数とは、束として完全であるハイティング代数のことである。完全ハイティング代数は、 3つの異なる圏、すなわち圏CHey 、ロケールの圏Loc、およびその反対であるフレームの圏Frmの対象である。これら3つの圏は同じ対象を含むが、射が異なるため、それぞれ異なる名前が付けられている。完全ハイティング代数の準同型射は、 CHeyの射のみである。

位置とフレームは、ポイントレストポロジーの基礎を形成する。ポイントレストポロジーは、点集合トポロジーに基づいて構築するのではなく、一般的なトポロジーの概念を、フレームと位置に関する記述として、カテゴリー論的な用語で再構成する。

完全束である半順序集合( P , ≤)を考える。このとき、以下のいずれかの同値条件が成り立つ場合、Pは完全ハイティング代数または完全フレームである。

• Pはハイティング代数、すなわち演算${\displaystyle (x\land \cdot )}$Pの各要素xに対して、右随伴(単調ガロア接続の下随伴とも呼ばれる)が存在する。
• Pのすべての要素xとPのすべての部分集合Sについて、次の無限分配法則が成り立つ。

${\displaystyle x\land \bigvee _{s\in S}s=\bigvee _{s\in S}(x\land s).}$

• Pは分配束であり、すなわち、Pのすべてのx、y、zに対して、

${\displaystyle x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)}$

およびミーティング運営${\displaystyle (x\land \cdot )}$Pのすべてのxに対して、スコット連続である（つまり、有向集合の上限を保存する）。

ハイティング含意の定義は${\displaystyle a\to b=\bigvee \{c\mid a\land c\leq b\}.}$

もう少し圏論を用いると、フレームを完全デカルト閉順序集合として定義することもできます。

与えられた位相空間のすべての開集合を包含関係で順序付けした系は、完全ハイティング代数である。

カテゴリーCHey、フレームのカテゴリーFrm、ロケールのカテゴリーLocの対象は、完備なハイティング代数である。これらのカテゴリーは、射を構成する要素が異なる。

• Frmの射は、有限な交わりと任意の結合を保存する(必然的に単調な) 関数です。
• ハイティング代数の定義において重要なのは、二項交会演算の右随伴演算の存在であり、これらが合わさって追加の含意演算を定義する。したがって、 CHeyの射は、含意を保存するフレームの射となる。
• Locの射はFrmの射とは逆であり、通常は（ロケールの）マップと呼ばれます。

局所空間とその写像と位相空間および連続関数との関係は、次のように考えることができる。${\displaystyle f:X\to Y}$は任意の写像とする。冪集合P ( X ) とP ( Y ) は完全ブール代数であり、写像は${\displaystyle f^{-1}:P(Y)\to P(X)}$は完全ブール代数の準同型写像です。空間XとYは位相空間であり、それぞれXとY上の開集合の位相O ( X ) とO ( Y )を備えているとします。O ( X ) とO ( Y ) はP ( X ) とP ( Y )の部分フレームであることに注意してください。${\displaystyle f}$連続関数である場合、${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X)}$ これらの部分フレームの有限な交わりと任意の結合を保存します。これは、Oが位相空間の圏TopからLocへの関手であり、任意の連続写像を取ることを示しています。

${\displaystyle f:X\to Y}$

地図へ

${\displaystyle O(f):O(X)\to O(Y)}$

Frmで定義されるLocは、逆画像フレーム準同型写像である。

${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X).}$

場所の地図が与えられた場合${\displaystyle f:A\to B}$Locでは、次のように書くのが一般的です。${\displaystyle f^{*}:B\to A}$Frmでそれを定義するフレーム準同型に対して、この表記法を用いると、${\displaystyle O(f)}$は、次の式で定義されます。${\displaystyle O(f)^{*}=f^{-1}.}$

逆に、任意のロケールAには、そのスペクトルと呼ばれる位相空間S ( A ) があり、それがロケールを最もよく近似します。さらに、任意のロケールのマップは、${\displaystyle f:A\to B}$連続マップを決定する${\displaystyle S(A)\to S(B).}$さらに、この割り当ては関数的である。P(1)を終端集合の冪集合として得られるロケールとすると、${\displaystyle 1=\{*\},}$S ( A )の点はマップです${\displaystyle p:P(1)\to A}$Locでは、つまりフレーム準同型${\displaystyle p^{*}:A\to P(1).}$

各${\displaystyle a\in A}$定義する${\displaystyle U_{a}}$点の集合として${\displaystyle p\in S(A)}$そのため${\displaystyle p^{*}(a)=\{*\}.}$これがフレーム準同型を定義することは容易に確認できる。${\displaystyle A\to P(S(A)),}$したがって、その像はS ( A )上の位相である。そして、もし${\displaystyle f:A\to B}$各地点の地図です${\displaystyle p\in S(A)}$私たちはポイントを割り当てます${\displaystyle S(f)(q)}$定義する${\displaystyle S(f)(p)^{*}}$構成する${\displaystyle p^{*}}$と${\displaystyle f^{*},}$したがって、連続マップが得られる${\displaystyle S(f):S(A)\to S(B).}$これはファンクターを定義します${\displaystyle S}$LocからTopへ、これはOに右に隣接しています。

そのスペクトルの位相と同型な任意のロケールは空間的と呼ばれ、その開集合のロケールのスペクトルと同相な任意の位相空間は非空間的と呼ばれる。位相空間とロケールの間の随伴関係は、非空間と空間的ロケールの間のカテゴリーの同値性に限定される。

すべての結合を保存する関数（したがってすべてのフレーム準同型）は右随伴を持ち、逆にすべての交点を保存する関数は左随伴を持つ。したがって、圏Locは、対象がフレームであり、射が左随伴が有限交点を保存する交点保存関数である圏と同型である。これはしばしばLocの表現とみなされるが、射が形式的には逆方向のフレーム準同型と同じであるLoc自体と混同してはならない。

• P.T. ジョンストン、『ストーン・スペース』、ケンブリッジ高等数学研究3、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、1982年。（ISBN） 0-521-23893-5）

今でも、ロケールと完全ハイティング代数に関する優れた資料です。

• G. Gierz、KH Hofmann、K. Keimel、JD Lawson、M. Mislove、DS Scott、「連続格子と領域」、数学とその応用百科事典、第93巻、ケンブリッジ大学出版局、2003年。ISBN 0-521-80338-1

出会いの連続性という観点からの特性描写を含む。

• Francis Borceux: 『カテゴリー代数ハンドブック III』 、数学とその応用百科事典第52巻。ケンブリッジ大学出版局、1994年。

驚くほど豊富なロケールとハイティング代数に関する資料。より圏論的な視点から論じている。

• スティーブン・ヴィッカーズ著『論理によるトポロジー』ケンブリッジ大学出版局、1989年、ISBN 0-521-36062-5。
• ペディッキオ、マリア・クリスティーナ；トーレン、ウォルター編（2004）。圏論的基礎。順序、位相、代数、層理論の特殊トピック。数学とその応用百科事典。第 97巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 . 

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