フィンスラー多様体

数学、特に微分幾何学において、フィンスラー多様体（フィンスラーたねんぞう、 Finsler manifold ）とは、微分可能多様体 Mにおいて、各接空間T _x M上に（非対称の場合もある）ミンコフスキーノルム F ( x , − )が与えられ、任意の滑らかな曲線γ  :[ a , b ] → Mの長さを次のよう に定義できるものである。

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,\mathrm {d} t.}$

フィンスラー多様体は、接線ノルムが内積によって誘導される必要がないため、リーマン多様体よりも一般的です。

2 点間の距離が、それらを結ぶ曲線の最小長さとして定義される場合、 すべてのフィンスラー多様体は固有の 準距離空間になります。

エリー・カルタン (1933)は、博士論文 (Finsler 1918) でこの幾何学を研究した ポール・フィンスラーにちなんで、フィンスラー多様体と名付けました。

フィンスラー多様体は、微分可能多様体 Mとフィンスラー計量を組み合わせたもので、フィンスラー計量は接束上で定義される連続非負関数F : T M → [0, +∞)であり、 Mの各点xに対して、

• Mにxで接する任意の 2 つのベクトル v、wについて、 F ( v + w ) ≤ F ( v ) + F ( w )が成立する(劣加法性)。
• すべてのλ≥0に対してF ( λv )=λF ( v )（ただし λ<0の場合は必ずしもそうではない）（正の同次性）。
• v = 0でない限り、 F ( v ) > 0です(正定値性)。

言い換えれば、F ( x , −)は各接空間T _x M上の非対称ノルムです。フィンスラー計量Fも滑らかである必要があります。より正確には、

• F はT Mの零点の補集合上で滑らかである。

劣加法性公理は、次の強い凸性条件に置き換えることができます。

• 各接ベクトルv ^≠ 0に対して、vにおけるF2のヘッセ行列は正定値です。

ここで、 vにおけるF ²のヘッセ行列は対称双線型形式である。

${\displaystyle \mathbf {g} _{v}(X,Y):={\frac {1}{2}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left[F(v+sX+tY)^{2}\right]\right|_{s=t=0},}$

Fのvにおける基本テンソルとも呼ばれます。Fの強い凸性は、 u ⁄ F ( u ) ≠ v ⁄ F ( v )の場合、厳密な不等式を伴う劣加法性を意味します。Fが強い凸性の場合、各接空間上の ミンコフスキーノルムになります。

フィンスラー計量は、さらに、

• すべての接ベクトルvに対してF (− v ) = F ( v )です。

可逆フィンスラー計量は、各接空間上のノルム（通常の意味で）を定義します。

• 有限次元のノルム付きベクトル空間の滑らかな部分多様体（開集合を含む）は、ベクトル空間のノルムが原点の外側で滑らかである場合、フィンスラー多様体です。
• リーマン多様体（擬リーマン多様体ではない）はフィンスラー多様体の特殊なケースです。

をリーマン多様体とし、bをM上の微分一形式とし、 ${\displaystyle (M,a)}$

${\displaystyle \|b\|_{a}:={\sqrt {a^{ij}b_{i}b_{j}}}<1,}$

ここで はの逆行列であり、アインシュタインの表記法が用いられる。 ${\displaystyle \left(a^{ij}\right)}$${\displaystyle (a_{ij})}$

${\displaystyle F(x,v):={\sqrt {a_{ij}(x)v^{i}v^{j}}}+b_{i}(x)v^{i}}$

M上のランダース計量を定義し、ランダース多様体であり、非可逆フィンスラー多様体の特殊なケースである。[ ^1]${\displaystyle (M,F)}$

( M , d ) を準距離とし、Mも微分可能多様体であり、d は次の意味で Mの微分構造と互換性があるとする。

• M上の任意の点zの周りにはMの滑らかなチャート( U ,φ)と定数C≥1が存在 し 、 任意のx ,  y∈Uに対して

  ${\displaystyle {\frac {1}{C}}\|\phi (y)-\phi (x)\|\leq d(x,y)\leq C\|\phi (y)-\phi (x)\|.}$

• 関数d :  M  ×  M  →[0,∞]は対角線上のいくつかの穴の開いた近傍では滑らかである。

このとき、フィンスラー関数F :  TM  →[0, ∞]を次のように 定義できる。

${\displaystyle F(x,v):=\lim _{t\to 0+}{\frac {d(\gamma (0),\gamma (t))}{t}},}$

ここでγ はM内の任意の曲線で、 γ (0) =  xかつγ' (0) = vである。このようにして得られたフィンスラー関数F は、 Mの各接空間上の非対称（典型的には非ミンコフスキー）ノルムに制限される。 元の準計量関数の誘導された固有計量 d _L : M × M → [0, ∞]は、

${\displaystyle d_{L}(x,y):=\inf \left\{\ \left.\int _{0}^{1}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt\ \right|\ \gamma \in C^{1}([0,1],M)\ ,\ \gamma (0)=x\ ,\ \gamma (1)=y\ \right\},}$

そして実際、任意のフィンスラー関数F :TM →  [0,∞)は、この式によってM上の固有の 準距離 dL_を定義します。

Fの同次性により長さ

${\displaystyle L[\gamma ]:=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt}$

微分可能曲線 γ : [ a , b ] → MのMにおける再パラメータ化は、正の向きの再パラメータ化に対して不変である。一定速度曲線γがフィンスラー多様体の測地線であるとは、その十分短い線分γ | _{[ c , d ]が、} Mにおいてγ ( c )からγ ( d ) までの長さを最小化することである。同様に、γが測地線であるとは、エネルギー関数

${\displaystyle E[\gamma ]:={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}F^{2}\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt}$

関数導関数が、固定端点γ ( a )= xとγ ( b )= yを持つ微分可能曲線γ :[ a , b ]→ Mの間でゼロになるという意味で。

エネルギー関数E [ γ ]のオイラー・ラグランジュ方程式は、 T Mの局所座標（x ¹、...、x ⁿ、v ¹、...、v ⁿ ）を次のように 読み取る。

${\displaystyle g_{ik}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}{\ddot {\gamma }}^{i}(t)+\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}\right){\dot {\gamma }}^{i}(t){\dot {\gamma }}^{j}(t)=0,}$

ここでk = 1, ..., nであり、g _{ij は}次のように定義される基本テンソルの座標表現である。

${\displaystyle g_{ij}(x,v):=g_{v}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{x},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{x}\right).}$

F ² ( x , v )がv ∈ T _x Mに関して強凸性を持つと仮定すると、行列g _ij ( x , v ) は可逆であり、その逆行列はg ^ij ( x , v )と表記される。すると、 γ : [ a , b ] → Mが ( M , F )の測地線となるのは、その接線γ' : [ a , b ] → T M ∖{0}がT M ∖{0} 上の滑らかなベクトル場Hの積分曲線であり、局所的に次のように定義されるときのみである。

${\displaystyle \left.H\right|_{(x,v)}:=\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{(x,v)}\!\!-\left.2G^{i}(x,v){\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)},}$

ここで局所噴霧係数G ^{i は}次のように与えられる。

${\displaystyle G^{i}(x,v):={\frac {1}{4}}g^{ij}(x,v)\left(2{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{\ell }}}(x,v)-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{j}}}(x,v)\right)v^{k}v^{\ell }.}$

T M ∖{0}上のベクトル場HはJH  =  Vおよび[ V ,  H ] =  Hを満たします。ここでJとVはそれぞれT M ∖{0}上の正準自己準同型と正準ベクトル場です。したがって、定義により、HはM上の スプレーです。スプレーHは、垂直射影を介して繊維束T M ∖{0} → M上の非線形接続を定義します。

${\displaystyle v:T(\mathrm {T} M\setminus \{0\})\to T(\mathrm {T} M\setminus \{0\});\quad v:={\frac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.}$

リーマンの場合と類似したバージョンがある

${\displaystyle D_{\dot {\gamma }}D_{\dot {\gamma }}X(t)+R_{\dot {\gamma }}\left({\dot {\gamma }}(t),X(t)\right)=0}$

一般的なスプレー構造 ( M , H ) に対するJacobi 方程式を、 Ehresmann 曲率と非線形共変微分の観点から表現します。

ホップ・リノウの定理により、 ( M ,  F )上には常に長さを最小化する曲線が存在します (少なくとも十分に小さい近傍では) 。長さを最小化する曲線は常に測地線になるように正に再パラメータ化でき、任意の測地線はE [ γ ]についてオイラー・ラグランジュ方程式を満たす必要があります。 F ^{2の強凸性を仮定すると、積分}曲線の一意性により、任意の ( x、  v ) ∈ T M ∖{0} に対して、 γ (0) = x およびγ ' (0) = vとなる一意の最大測地線γ が存在します。

F ²が強凸である場合、測地線γ : [0,  b ] →  M は、 γに沿ってγ (0)と共役な最初の点γ ( s )まで近くの曲線の間で長さが最小になり、t  >  sに対して、リーマンの場合と同様に、γ の近くにγ (0) からγ ( t )へのより短い曲線が常に存在します。

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• アントネッリ、ピーター L.編 (2003)、『フィンスラー幾何学ハンドブック』第 1 巻、第 2 巻、ボストン: クルーワー アカデミック パブリッシャーズ、ISBN 978-1-4020-1557-1、MR  2067663
• Bao, David; Chern, Shiing-Shen ; Shen, Zhongmin (2000).リーマン-フィンスラー幾何学入門. 数学の大学院テキスト. 第200巻. ニューヨーク: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN 0-387-98948-X. MR  1747675。
• カルタン、エリー(1933)、「Sur les espaces de Finsler」、CR Acad。科学。パリ、196 : 582– 586、Zbl  0006.22501
• Chern, Shiing-Shen (1996)、「フィンスラー幾何学は、二次制約のないリーマン幾何学にすぎない」(PDF)、アメリカ数学会誌、43 (9): 959– 63、MR  1400859
• ポール・フィンスラー (1918 年)、アルゲマイネン・ロイメンのユーバー・クルヴェンとフレーヒェン、学位論文、ゲッティンゲン、JFM  46.1131.02（ビルクハウザー（1951年）より再版）
• 飯能市ランド（1959年）。フィンスラー空間の微分幾何学。 Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。 Vol. 101. ベルリン-ゲッティンゲン-ハイデルベルク: Springer-Verlag。土井：10.1007/978-3-642-51610-8。ISBN 978-3-642-51612-2. MR  0105726。
• シェン・ゾンミン (2001).フィンスラー幾何学に関する講義. シンガポール: World Scientific. doi :10.1142/4619. ISBN 981-02-4531-9. MR  1845637。

• 「一般化されたフィンスラー空間」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• （新）フィンスラーニュースレター