無意味なトポロジー

数学において、無点位相幾何学は、点自由位相幾何学（または点自由位相幾何学）や局所理論とも呼ばれ、点に言及することを避け、開集合の格子を基本概念とする位相幾何学へのアプローチである。[ 1 ^{]このアプローチでは、純粋に代数的なデータから}位相的に興味深い空間を構築することが可能になる。^[2]

トポロジーへの最初のアプローチは幾何学的であり、ユークリッド空間から始めて、物事をつなぎ合わせるものでした。しかし、 1930 年代のマーシャル ストーンのストーン双対性に関する研究は、トポロジーを代数的観点から (格子理論的に) 見ることができることを示しまし た。ストーン以外では、ヘンリー ウォールマンが最初にこのアイデアを活用しました。他の人々もこの道を歩み続け、50 年代後半にチャールズ エーレスマンと彼の弟子ジャン ベナブー(および同時に他の人たち) が次の基本的なステップを踏み出しました。彼らの洞察は、「位相的」および「微分可能」なカテゴリの研究から生まれました。^[2]

エーレスマンのアプローチは、分配法則を満たす完全格子を対象とし、その射が有限の交わりと任意の結合を保存する写像であるカテゴリーを使用することを伴った。彼はそのような格子を「局所格子」と呼んだが、今日では格子理論の他の概念との曖昧さを避けるために「フレーム」と呼ばれている。^[3]

現代的な意味でのフレームとロケールの理論は、その後の数十年間（ジョン・イズベル、ピーター・ジョンストン、ハロルド・シモンズ、ベルンハルト・バナシェフスキー、アレシュ・プルトル、ティル・プレウェ、ジャピエ・ヴェルミューレン、スティーブ・ビッカーズ）に発展し、トポロジーの活発な一分野となり、さまざまな分野、特に理論計算機科学に応用されました。ロケール理論の歴史の詳細については、ジョンストンの概要を参照してください。^[4]

伝統的に、位相空間は、点の集合と位相から構成されます。位相とは、開集合と呼ばれる部分集合のシステムで、和集合( join ) と積集合( meet )の演算によって 、特定の特性を持つ格子を形成します。具体的には、任意の開集合族の和集合は再び開集合になり、有限個の開集合の積集合も再び開集合になります。ポイントレス位相では、格子のこれらの特性を基本的なものとして扱いますが、格子要素が何らかの基礎空間の点の集合であることや、格子演算が積集合と和集合である必要はありません。むしろ、ポイントフリー位相は、範囲のない点ではなく、「現実的なスポット」という概念に基づいています。これらの「スポット」は、和集合に似た結合(記号) することができ、また、積集合に似たスポットの会合演算 (記号 )もあります。これら 2 つの演算を使用して、スポットは完全な格子を形成します。ある点が他の点の接合部に出会う場合、その点は構成要素の一部に出会う必要があり、大まかに言えば分配法則が成立する。 ${\displaystyle \vee}$${\displaystyle \land}$

${\displaystyle b\wedge \left(\bigvee _{i\in I}a_{i}\right)=\bigvee _{i\in I}\left(b\wedge a_{i}\right)}$

ここで、と はスポットであり、指数族は任意の大きさにすることができます。この分配法則は、位相空間の開集合の格子によっても満たされます。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle I}$

および がそれぞれ、およびで示される開集合の格子を持つ位相空間であり、が連続写像である場合、連続写像による開集合の逆像は開いているため、反対方向の格子写像 が得られます。このような「反対方向」の格子写像は、点のない設定における連続写像の適切な一般化として機能します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \オメガ (X)}$${\displaystyle \オメガ (Y)}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f^{*}\colon \Omega (Y)\to \Omega (X)}$

基本的な概念は、上記の一般分配法則を満たす完全な格子であるフレームの概念です。フレーム準同型は、すべての結合（特に、格子の最小の要素）と有限の交わり（特に、格子の最大要素）を尊重するフレーム間の写像です。フレームは、フレーム準同型とともに、カテゴリを形成します。

フレームのカテゴリの反対のカテゴリは、ロケールのカテゴリとして知られています。したがって、ロケールはフレームに他なりません。これをフレームと見なすと、 と書きます。ロケールからロケールへのロケール射は、フレーム準同型 によって与えられます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle O(Y)\to O(X)}$

すべての位相空間は開集合のフレームを生じ、したがって局所を生じます。局所は、このように位相空間から生じる局所と同型 (局所のカテゴリ内) である場合に 空間的と呼ばれます。${\displaystyle T}$${\displaystyle \オメガ (T)}$

• 上で述べたように、あらゆる位相空間は開集合のフレームを生じ、したがって局所（定義上は空間的局所）を生じます。${\displaystyle T}$${\displaystyle \オメガ (T)}$
• 位相空間 が与えられた場合、その正則開集合の集合も考えることができます。これは、 が和集合の閉包の内部に加わり、 が共通集合に出会うフレームです。こうして、 に関連付けられた別の局所性が得られます。この局所性は通常、空間的ではありません。${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$
• 各および各に対して、記号を使用し、これらの記号上に、関係を法として自由フレームを構築します。${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle U_{n,a}}$

${\displaystyle \bigvee _{a\in \mathbb {R} }U_{n,a}=\top \ {\text{ }}n\in \mathbb {N} ごとに }$

${\displaystyle U_{n,a}\land U_{n,b}=\bot \ {\text{ 任意の }}n\in \mathbb {N} {\text{ およびすべての }}a,b\in \mathbb {R} {\text{ }}a\neq b に対して}$

${\displaystyle \bigvee _{n\in \mathbb {N} }U_{n,a}=\top \ {\text{ すべての }}a\in \mathbb {R} について }$

(ここで、 はフレームの最大元と最小元を表します。) 結果として得られる局所は、「全射関数 の局所」として知られています。関係は、を となる全射関数の集合として解釈することを示唆するように設計されています。もちろん、そのような全射関数は存在せず、これは空間的局所ではありません。${\displaystyle \top}$${\displaystyle \bot}$${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle U_{n,a}}$${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(n)=a}$${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$

位相空間と連続写像のカテゴリから局所のカテゴリへの関数があることを見てきました。この関数をsober 空間の完全なサブカテゴリに制限すると、 sober 空間と連続写像のカテゴリの局所のカテゴリへの完全な埋め込みが得られます。この意味で、局所は sober 空間の一般化です。 ${\displaystyle \オメガ}$

点集合位相のほとんどの概念を局所のコンテキストに翻訳し、類似の定理を証明することができます。選択原理に依存する古典的な位相のいくつかの重要な事実は、選択フリー（つまり、構成的）になり、特にコンピューターサイエンスにとって魅力的です。したがって、たとえば、コンパクト局所の任意の積は構成的にコンパクトです（これは点集合位相のチコノフの定理です）、または一様局所の完備化は構成的です。これは、選択公理を持たないトポスで作業する場合に役立ちます。 ^{[5]その他の利点には、}パラコンパクト性のはるかに優れた動作（パラコンパクト局所の任意の積はパラコンパクトですが、パラコンパクト空間には当てはまりません）や、局所群の部分群は常に閉じているという事実などがあります。

位相幾何学と局所理論が大きく異なるもう1つの点は、部分空間と部分局所の概念、および密度です。局所 の密な部分局所の集合が与えられた場合、それらの交差も において密です。^{[6]これは、}イスベルの密度定理につながります。すべての局所には最小の密な部分局所があります。これらの結果に相当するものは、位相空間の領域には存在しません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• ヘイティング代数。フレームは完全なヘイティング代数と同じであることがわかります(フレーム準同型はヘイティング代数準同型である必要はありませんが)。
• 完全なブール代数。任意の完全なブール代数はフレームです (アトミックである場合に限り、空間フレームになります)。
• 位相空間のカテゴリと場所のカテゴリの関係についての詳細は、厳密な空間と空間場所の同値性の明示的な構築を含め、ストーン双対性に関する記事に記載されています。
• ホワイトヘッドの点自由幾何学。
• メレオトポロジー。

無意味な位相幾何学の一般的な入門書は

• ジョンストン、ピーター T. (1983)。「無意味な位相幾何学のポイント」。アメリカ数学会報。新シリーズ。8 ( 1): 41–53。doi : 10.1090 /S0273-0979-1983-15080-2。ISSN 0273-0979。2016年5月9 日閲覧。

これは、ジョンストンのモノグラフの予告編として読むことができ、基本的な参考資料として使用できます。

• 1982年：ジョンストン、ピーターT.（1982）ストーンスペース、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-33779-3。 

最近のモノグラフがある

• 2012: Picado、Jorge、Pultr、Aleš フレームとロケール: 点のない位相幾何学、Frontiers in Mathematics、第 28 巻、Springer、バーゼル (詳細な参考文献)

論理的な関係の場合:

• 1996年：Vickers、Steven、「Topology via Logic」、Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science、Cambridge University Press。

より簡潔な説明については、以下の各章を参照してください。

• 2003年：ペディッキオ、マリア・クリスティーナ、トーレン、ウォルター（編）「圏論的基礎 - 順序、位相、代数、層理論の特殊トピック」『数学とその応用百科事典』第97巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 49-101。
• 2003: ミシェル・ヘイズウィンケル (編集者) Handbook of Algebra Vol. 2 3、北オランダ、アムステルダム、791–857 ページ。
• 2014年：Grätzer, George, Wehrung, Fr​​iedrich（編）Lattice Theory: Special Topics and Applications Vol. 1、Springer、バーゼル、pp. 55–88。