コーシー空間

一般的な位相幾何学と解析学において、コーシー空間は、コーシー収束の概念が依然として意味を持つ距離空間と一様空間の一般化である。コーシー空間は、位相空間の完備性を研究するために、コーシーフィルターの考え方から派生した公理的ツールとして、1968年にHHケラーによって導入された。コーシー空間とコーシー連続写像の圏はデカルト閉圏であり、近接空間の圏を含む。

させて${\displaystyle X}$セットである、$\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$パワーセット​${\displaystyle X}$また、すべてのフィルターは適切であると仮定します（つまり、フィルターには空集合が含まれていないものとします）。

コーシー空間はペアである${\displaystyle (X,C)}$一連の${\displaystyle X}$家族と一緒に${\displaystyle C\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X))}$（適切な）フィルターの${\displaystyle X}$以下のすべての特性を備えていること：

1. 各${\displaystyle x\in X,}$離散型超濾過器${\displaystyle x,}$で示される${\displaystyle U(x),}$は${\displaystyle C.}$
2. もし${\displaystyle F\in C,}$${\displaystyle G}$適切なフィルターであり、${\displaystyle F}$は、${\displaystyle G,}$それから${\displaystyle G\in C.}$
3. もし${\displaystyle F,G\in C}$そして各メンバーが${\displaystyle F}$各メンバーと交差する${\displaystyle G,}$それから${\displaystyle F\cap G\in C.}$

要素${\displaystyle C}$はコーシーフィルターと呼ばれ、マップ${\displaystyle f}$コーシー空間の間${\displaystyle (X,C)}$そして${\displaystyle (Y,D)}$コーシー連続である場合${\displaystyle \uparrow f(C)\subseteq D}$;つまり、各コーシーフィルターの画像は${\displaystyle X}$はコーシーフィルター基底です${\displaystyle Y.}$

任意のコーシー空間は収束空間でもあり、フィルター${\displaystyle F}$収束して${\displaystyle x}$もし${\displaystyle F\cap U(x)}$コーシー空間である。特に、コーシー空間は自然な位相を持つ。

• 任意の均一空間（したがって、任意の距離空間、位相ベクトル空間、または位相群）はコーシー空間である。定義についてはコーシーフィルターを参照のこと。
• 格子順序群は自然なコーシー構造を持つ。
• 任意の有向集合${\displaystyle A}$フィルターを宣言することでコーシー空間にすることができる${\displaystyle F}$任意の要素が与えられた場合、コーシーである。${\displaystyle n\in A,}$要素がある${\displaystyle U\in F}$そのため${\displaystyle U}$単一要素であるか、末尾のサブセットである。${\displaystyle \{m:m\geq n\}.}$次に、他のコーシー空間が与えられた場合${\displaystyle X,}$コーシー連続関数${\displaystyle A}$に${\displaystyle X}$はコーシーネットと同じである。${\displaystyle X}$インデックス${\displaystyle A.}$もし${\displaystyle X}$が完了すれば、そのような関数は の完了まで拡張できる。${\displaystyle A,}$これは次のように書くことができる${\displaystyle A\cup \{\infty \};}$拡張機能の値${\displaystyle \infty }$ネットの限界になります。${\displaystyle A}$セットは${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$自然数の（したがって、コーシーネットは${\displaystyle A}$はコーシー列と同じである）ならば${\displaystyle A}$距離空間と同じコーシー構造を受け取る${\displaystyle \{1,1/2,1/3,\ldots \}.}$

コーシー空間間の射の自然な概念は、コーシー連続関数であり、これは以前に一様空間について研究された概念である。

• 位相空間のカテゴリの特徴付け– 位相空間を定義する複数の同等の方法リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 収束空間– 一般的な位相幾何学に見られる収束の概念の一般化 
• トポロジーにおけるフィルタ
• 前位相空間– 一般化位相空間 
• 近接空間– 部分集合間の「近さ」の概念を記述する構造 

• Eva Lowen-Colebunders (1989). Function Classes of Cauchy Continuous Maps . Dekker, New York, 1989.
• シェクター、エリック（1996）。解析学とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス。ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​