微細位相幾何学（ポテンシャル理論）

数学において、ポテンシャル理論の分野では、微細位相は分数調和関数の研究を設定するための自然な位相です。分数調和関数、つまり、がラプラシアンであるものに関する初期の研究では、滑らかな関数だけが考慮されていました。その場合、ユークリッド位相のみを考慮するのが自然でしたが、 F.リースによって導入された上半連続分数調和関数の出現により、多くの状況で微細位相がより自然なツールになりました。 ${\displaystyle \Delta u\geq 0,}$${\displaystyle \Delta }$

ユークリッド空間 上の微細位相は、すべてのサブハーモニック関数（同等にすべてのスーパーハーモニック関数）を連続させる最も粗い位相として定義されます。微細位相の概念には通常、「微細」という単語が接頭辞として付けられ、通常の位相の対応する概念と区別します。たとえば、「微細近傍」や「微細連続」などです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

微細位相は、薄い集合の研究を支援するために1940 年にアンリ カルタンによって導入されましたが、解析で頻繁に役立つ局所コンパクト性などのいくつかの特性が欠如しているため、当初はいくぶん病的であると考えられていました。その後の研究により、そのような特性の欠如は、準リンデレーフ特性などの他のやや弱い特性の存在によってある程度補われていることが示されました。

1 次元、つまり実数直線では、細かい位相は通常の位相と一致します。これは、その場合、サブハーモニック関数が通常の (ユークリッド) 位相ですでに連続している凸関数とまったく同じであるためです。したがって、細かい位相は の場合に最も重要です。この場合の細かい位相は、不連続なサブハーモニック関数が存在するため、通常の位相よりも厳密に細かくなります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$

カルタンはマルセル・ブレロとの書簡の中で、「薄さ」の概念を使って微細位相の理論を展開することも同様に可能であると指摘した。この展開では、集合が点において薄いとは、その 近傍に定義されたサブハーモニック関数が存在し、${\displaystyle U}$${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \zeta}$

${\displaystyle v(\zeta )>\limsup _{z\to \zeta ,z\in U}v(z).}$

このとき、集合が の良好な近傍となるのは、 の補集合が において薄い場合のみです。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \zeta}$

微細位相は、次の式（ をとった） からもわかるように、ある意味ではユークリッド空間における通常の位相よりも扱いにくい。${\displaystyle n\geq 2}$

• の集合は、 が有限である場合に限り、コンパクトです。${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F}$
• 上の微細位相は局所コンパクトではない（ハウスドルフではあるが）。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 上の細かい位相は、第一可算でも第二可算でも距離化可能でもありません。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

微細トポロジーには、少なくともいくつかの「優れた」特性があります。

• 微細位相にはBaire 特性があります。
• の微細トポロジは局所的に接続されています。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

微細位相はリンデレーフ特性を持たないが、わずかに弱い準リンデレーフ特性を持つ。

• の細かい開部分集合の任意の和集合は、ある可算な部分和集合とは極集合だけ異なります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• コンウェイ、ジョン B. (1996 年 6 月 13 日)、「1 つの複素変数の関数 II」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 159、Springer-Verlag、pp. 367–376、ISBN 0-387-94460-5
• Doob, JL (2001年1月12日)、古典的ポテンシャル理論とその確率論的対応物、ベルリン・ハイデルベルク、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 3-540-41206-9
• ヘルムズ、LL（1975）、ポテンシャル理論入門、REクリーガー、ISBN 0-88275-224-3