葉の配置

ホロノミーを理解する上で最も簡単な例は、葉束の全体ホロノミーである。これはポアンカレ写像の概念を一般化したものである。

「初回回帰（再帰）写像」という用語は、力学系の理論に由来する。Φ _{t を}コンパクトなn次元多様体M上の非特異なC ^rフロー ( r  ≥ 1 ) とする。応用上、Mはサイクロトロン、あるいは流体の流れを伴う何らかの閉ループであると考えることができる。M に境界がある場合、フローは境界に接していると仮定する。フローは 1 次元の葉層構造を生成する。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$流れの正の方向を覚えていても、それ以外のパラメータ化（軌跡の形状、速度など）を忘れてしまうと、基礎となる葉層構造は${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は向き付けられていると言われる。流れがグローバル断面Nを持つと仮定する。つまり、Nは、次元n – 1のMのコンパクトで適切に埋め込まれたC ^r部分多様体であり、葉層構造である。  ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$はNに横断的であり、すべての流れ線はNと交わる。Nと葉の寸法は相補的であるため、横断条件は次のようになる。

${\displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.}$

y ∈ Nとし、すべてのシーケンスのM内のすべての蓄積点のω -極限集合ω( y )を考える。${\displaystyle \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }}$ここで、t _{k は}無限大に発散する。ω(y) はコンパクトで空集合ではなく、流れ線の和集合であることが示される。${\displaystyle z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),}$Φ _{t *} ( z ) ∈ Nとなるような値t * ∈ Rが存在し、

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.}$

Nはコンパクトであり、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Nに対して横断的であるため、集合 { t > 0 | Φ _t ( y ) ∈ N} は単調増加列となる。${\displaystyle \{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }}$それは無限大に発散する。

y ∈ Nが変化するにつれて、τ ( y ) = τ ₁ ( y ) と定義し、このようにして正の関数τ ∈ C ^r ( N ) (最初の帰還時間) を定義します。この関数は、任意のy ∈ Nに対して、Φ _t ( y ) ∉ N、0 < t < τ ( y ) 、および Φ _{τ ( y )} ( y ) ∈ Nとなります。

f  : N → N をf ( y ) = Φ _{τ ( y )} ( y )という式で定義します。これはC ^r写像です。流れを反転させると、まったく同じ構成で逆写像f ⁻¹が得られます。したがって、f ∈ Diff ^r ( N ) となります。この微分同相写像は第一回帰写像であり、τ は第一回帰時間と呼ばれます。第一回帰時間は流れのパラメーター化に依存しますが、 f は向き付けられた葉層構造のみに依存することは明らかです。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$_{流れ Φ t}を再パラメータ化して、特異性を持たず、クラスC ^rであり、方向を反転させないようにすることで、τ ≡ 1とすることが可能です。   

流れに断面 N が存在するという仮定は非常に制約的であり、M がS ¹上のファイバー束の全空間であることを意味します。実際、R × N上で、~ _{f を}、によって生成される同値関係として定義します。

${\displaystyle (t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).}$

言い換えれば、これは、 R × Nに対する加法群Zの作用に対する軌道等価性であり、次のように定義される。

${\displaystyle k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)),}$

各k ∈ Zおよび各 ( t , y ) ∈ R × Nに対して、 fの写像シリンダーはC ^r多様体として定義される。

${\displaystyle M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.}$

最初の帰還写像fの定義と、最初の帰還時間が τ ≡ 1 であるという仮定により、写像が

${\displaystyle \Phi$ :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.}

流れによって定義され、正準C ^r微分同相写像を誘導する

${\displaystyle \varphi :M_{f}\rightarrow M.}$

M _f = Mと識別すると、 R × NからRへの射影はC ^rマップを誘導する。

${\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

これにより、M は円上のファイバー束の全空間となる。これは、 S ¹ × D ^2をS ¹に投影したものである。葉層構造${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は、この束の繊維に垂直であり、各葉Lに制限された束の投影πは、被覆写像π : L → S ¹である。これは葉束と呼ばれる。  

基点x ₀ ∈ S ¹を同値類 0 + Zとします。したがって、π ⁻¹ ( x ₀ ) は元の断面Nです。x ₀を基点とするS ¹上の各ループsについて、ホモトピー類 [ s ] ∈ π ₁ ( S ¹ , x _{0 ) は deg} s ∈ Zによって一意に特徴付けられます。ループsは各フローラインのパスに持ち上げられ、y ∈ Nから始まる持ち上げs _yはf ^k ( y ) ∈ Nで終わることは明らかです。ここでk = deg sです。微分同相写像f ^k ∈ Diff ^r ( N ) はh _sとも表記され、ループsの全ホロノミーと呼ばれます。これは [ s ]のみに依存するため、これは準同型写像の定義です。

${\displaystyle h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),}$

葉束に対する全ホロノミー準同型と呼ばれる。

ファイバー束をより直接的に使用すると、( M、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$) は余次元qの葉層状n次元多様体とする。π : M → Bをq次元ファイバーFと連結基底空間Bを持つファイバー束とする。これらの構造はすべてクラスC ^r、0 ≤ r ≤ ∞ であると仮定する。ただし、 r = 0 の場合、B はC ¹構造をサポートするという条件を満たす。B 上のすべての極大 C 1 アトラスは C ∞ サブアトラスを含むため、B^が望むだけ^滑らかであると仮定しても一般性は失われない。最後に、各x ∈ Bに対して、 xの連結な開近傍U ⊆ Bと局所自明化が存在すると仮定する。 

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}}$

ここで、φはC ^r微分同相写像 ( r = 0 の場合は同相写像) であり、${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$積葉層 { U × { y }} _{y  ∈ F} へ。ここで、${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$葉はL ∩ π ⁻¹ ( U )の連結成分である葉構造であり、ここでL は葉の範囲を移動する。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$これは「葉束」という用語の一般的な定義です（M、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$クラスC ^rの ,π) 。

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$πの繊維に垂直である（${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は繊維構造に垂直であり、π を各葉Lに制限すると、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は被覆写像 π  : L → Bである。特に、各ファイバーF _x = π ⁻¹ ( x ) は、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$繊維は、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$流れの断面という概念と完全に類似している。

葉の配置${\displaystyle {\mathcal {F}}}$繊維に垂直であること自体は、葉がBの空間を覆っていることを保証するものではありません。この問題の単純なバージョンは、繊維に垂直なR ²の葉層です。

${\displaystyle \pi$ :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,}

${\displaystyle \pi (x,y)=x,}$

しかし、無限に多くの葉がy軸を欠いています。それぞれの図では、「矢印」が付いた葉と、その上にあるすべての葉は、軸x = 0 に漸近することを意図しています。このような葉層は、ファイブレーションに対して不完全と呼ばれ、パラメータx ∈ B がx ₀ ∈ Bに近づくにつれて、いくつかの葉が「無限に走り去る」ことを意味します。より正確には、葉Lと連続パスs  : [0, a ) → Lが存在し、lim _{t → a −} π( s ( t )) = x ₀ ∈ Bですが、lim _{t → a −} s ( t ) はLの多様体トポロジーには存在しない場合があります。これは、一部の流れ線が有限時間で「無限に走る」不完全な流れの場合に類似しています。このような葉L は他の場所で π ⁻¹ ( x _{0 ) と交わるかもしれないが、} x ₀の近傍を均等に覆うことはできないため、 πの下でのBの被覆空間にはなり得ない。しかし、 Fがコンパクトな場合、横断性は真である。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ファイブレーションは完全性を保証するので、${\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}$葉の束です。

地図帳があります${\displaystyle {\mathcal {U}}}$= { U _α , x _α } _α∈A on Bは、開いた連結座標チャートと、自明化φ _α  : π ⁻¹ ( U _α ) → U _α × Fから構成され、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$|π ⁻¹ ( U _α ) を製品の葉面構造に変換します。W _α = π ⁻¹ ( U _α )と設定し、 φ _α = ( x _α , y _α ) と書きます。ここで (表記の乱用により) x _αはx _αを表します。${\displaystyle \circ }$πとy _α  : π ⁻¹ ( U _α ) → Fは、 φ _αと正準射影U _α × F → Fを合成することによって得られる沈み込みです。

地図帳${\displaystyle {\mathcal {W}}}$= { W _α , x _α , y _α } _{α ∈ A は}、葉状アトラスと同様の役割を果たします。W _αのプラークはy _αのレベルセットであり、このプラークの族はy _αを介してFと同一です。BはC ^∞構造をサポートすると仮定されているため、ホワイトヘッドの定理に従って、B上にリーマン計量を固定し、アトラスを選択できます。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$測地的に凸である。したがって、U _α ∩ U _βは常に連結である。この交差が空でない場合、W _αの各プラークはW _βのちょうど 1 つのプラークと交わる。次に、ホロノミーコサイクルを定義する。${\displaystyle \gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}}$設定することで

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.}$

n次元空間を考えます。この空間は、最初のn − p座標が一定である点からなる部分空間の積として葉層化されています。これは 1 つの図で表すことができます。この記述は本質的にR ⁿ = R ^{n − p} × R ^pであり、葉または板R ^pはR ^{n − p}によって列挙されます。この類推は、 n = 3、p = 2とすることで 3 次元で直接見ることができます。本の 2 次元の葉は、(1 次元の) ページ番号によって列挙されます。

葉層構造のごく簡単な例として、積M = B × Fがあり、葉層F _b = { b } × F、b ∈ Bによって葉層化されます。（Mの別の葉層構造はB _f = B × { f  } 、 f ∈ Fで与えられます。）

より一般的なクラスは、多様体Fに対してG = Homeo( F )となる平坦Gバンドルである。表現ρ : π ₁ ( B ) → Homeo( F )が与えられたとき、モノドロミーρを持つ平坦Homeo( F )バンドルは次のように与えられる。 ${\displaystyle M=\left({\widetilde {B}}\times F\right)/\pi _{1}B}$ここで、π ₁ ( B )は普遍カバーに作用する。${\displaystyle {\widetilde {B}}}$デッキ変換によって、また表現ρを用いてF上で。

フラットバンドルはファイバーバンドルの枠組みに適合する。多様体間の写像π  : M → Bは、多様体 F が存在し、各b ∈ Bに対して、同相写像が存在するような開近傍Uが存在する場合にファイバーバンドルである。${\displaystyle \varphi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times F} で${\displaystyle \pi =p_{1}\varphi }$p ₁  : U × F → Uを第 1 因子に射影したもの。ファイバー束はファイバーによる葉層構造を生み出す。${\displaystyle F_{b}:=\pi ^{-1}(\{b\}),b\in B}$その葉空間LはBと同相であり、特にLはハウスドルフ多様体である。

M → N が多様体間の被覆写像であり、FがN上の葉層構造である場合、 M上の葉層構造に引き戻されます。より一般的には、写像が単なる分岐被覆であり、分岐軌跡が葉層構造に横断的である場合、葉層構造を引き戻すことができます。

M ⁿ → N ^q , ( q ≤ n )が多様体の沈め込みである場合、逆関数定理から、沈め込みのファイバーの連結成分がMの余次元q葉層を定義することがわかります。ファイバー束はこの種の例です。

ファイバー束ではない浸漬の例を以下に示す。

${\displaystyle {\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}}$

この沈み込みにより、[−1, 1] × Rの葉層構造が得られ、これは以下のZ作用の下で不変である。

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)}$

( x , y ) ∈ [−1, 1] × Rおよびn ∈ Zの場合。 Z \ ([−1, 1] × R )の誘導葉層は、それぞれ 2 次元リープ葉層 (環状葉層) または 2 次元非可定方向リープ葉層 (メビウスの帯葉層) と呼ばれます。それらの葉空間はハウスドルフ空間ではありません。

浸水の定義

${\displaystyle {\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}}$

ここで、( r , θ ) ∈ [0, 1] × S ^{n −1}はn次元円盤D ⁿ上の円筒座標である。この沈み込みにより、 D ⁿ × Rの葉層構造が得られ、これは次のZ作用の下で不変である。

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+z)}$

( x , y ) ∈ D ⁿ × R、z ∈ Zの場合。 Z \ ( D ⁿ × R )の誘導葉層構造はn次元リープ葉層構造と呼ばれます。その葉空間はハウスドルフ空間ではありません。

n = 2の場合、これはソリッド トーラスの葉層構造を与え、2 つのソリッド トーラスを境界に沿って貼り合わせることで 3 次元球面のリープ葉層構造を定義するために使用できます。奇数次元球面S ^{2 n +1}の葉層構造も明示的に知られています。^{[ 12 ]}

Gがリー群で、Hがリー部分群である場合、GはHの剰余類によって葉層化されます。H が G で閉じている場合、商空間G / Hは滑らかな(ハウスドルフ) 多様体となり、 G をファイバー H と基底 G / H を持つファイバー束に変えます。このファイバー束は実際には主ファイバー束であり、構造群はH です。

G を多様体M上に滑らかに作用するリー群とする。作用が局所自由作用または自由作用である場合、 Gの軌道はMの葉層構造を定義する。

もし${\displaystyle {\tilde {X}}}$が非特異（つまり、どこにもゼロがない）ベクトル場である場合、次の局所フローが定義される。${\displaystyle {\tilde {X}}}$パッチを結合して次元 1 の葉層を定義します。実際、任意の点x ∈ Mが与えられたとき、${\displaystyle {\tilde {X}}}$非特異であるため、 x の周りの座標近傍 ( U、x ¹、...、x ⁿ )を見つけることができ、

${\displaystyle -\varepsilon <x^{i}<\varepsilon ,\quad 1\leq i\leq n,}$

そして

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid _{U}.}$

幾何学的に、流れ線は${\displaystyle {\tilde {X}}\mid _{U}}$レベルセットは

${\displaystyle x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,}$

すべて${\displaystyle |c^{i}|<\varepsilon .}$慣例により多様体は第二可算であるため、「長い線」のような葉異常は、 M自体の第二可算性によって排除される。この困難は、次の条件を課すことで回避できる。${\displaystyle {\tilde {X}}}$完備体である（例えば、Mがコンパクトである）ので、各葉は流れ線となる。

トーラスT ²上の重要な 1 次元葉層構造のクラスは、定数ベクトル場をT ²に投影することによって得られる。定数ベクトル場

${\displaystyle {\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$

R ²上のベクトル場はR ²内のすべての並進に対して不変であり、したがってトーラスT ² = R ² / Z ²に投影すると、明確に定義されたベクトル場Xになります。a ≠ 0であると仮定します。葉層構造${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$R ²で生成${\displaystyle {\tilde {X}}}$は、傾き θ = b / aの平行な直線を葉として持つ。この葉層は平行移動に対しても不変であり、葉層に移行する。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$T ²はXによって生成されます。

葉っぱ一枚一枚${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$形式は

${\displaystyle {\tilde {L}}=\{(x_{0}+ta,y_{0}+tb)\}_{t\in \mathbb {R} }.}$

傾きが有理数であれば、すべての葉は円と同相な閉曲線になります。この場合、a、b ∈ Zを取ることができます。固定されたt ∈ Rに対して、${\displaystyle {\tilde {L}}}$t ∈ t ₀ + Zの​​値に対応するものはすべてT ²の同じ点に投影されます。したがって、対応する葉Lは${\displaystyle {\mathcal {F}}}$はT ²に埋め込まれた円です。Lは任意なので、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$これは、円によるT ²の葉層構造です。この葉層構造が実際にはファイバー束 π  : T ² → S ¹であることは容易にわかります。これは線形葉層構造として知られています。

傾き θ = b / aが無理数の場合、葉は非コンパクトで、非コンパクト化された実数直線と同相であり、トーラス内で稠密になります(無理数回転を参照)。各点 ( x ₀ , y ₀ )の軌跡は決して同じ点に戻ることはなく、トーラスの周りを「至るところで稠密」に巻き付き、つまり任意の点に任意に近づきます。したがって、軌跡の閉包は 2 次元トーラス全体になります。このケースは、レオポルド・クロネッカーとその研究にちなんでクロネッカー葉層と呼ばれます。

クロネッカーの稠密定理。実数θがπの各有理数倍と異なる場合、集合{ e ^inθ | n ∈ Z }は単位円内で稠密である。

平行線によるR ⁿの葉層化を用いた同様の構成により、トーラス上の線形フローに関連付けられたnトーラスR ⁿ / Z ⁿの 1 次元葉層化が得られます。

平たい束は、繊維による葉状構造だけでなく、繊維に垂直な葉状構造も持ち、その葉は

${\displaystyle L_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,}$

どこ${\displaystyle p:{\widetilde {B}}\times F\to M}$は正準射影です。この葉層構造は表現ρ  : π ₁ ( B ) → Homeo( F )の懸垂と呼ばれます。

特に、B = S ¹の場合、${\displaystyle \varphi :F\to F}$はFの同相写像であり、その場合、懸垂葉層は${\displaystyle \varphi }$は、 ρ ( z ) = Φ ^zで与えられる表現ρ  : Z → Homeo( F )の懸垂葉層として定義される。その葉の空間はL =${\displaystyle {\mathcal {F}}}$/~、ここで、 y = Φ ⁿ ( x )となるようなn ∈ Zのとき、 x ~ y となる。

懸垂による葉層化の最も単純な例は、次元qの多様体Xです。f : X → Xを全単射とします。懸垂M = S ¹ × _f Xは、 [0,1] × Xを同値関係 (1, x ) ~ (0, f ( x )) で割った商として定義されます。 

M = S ¹ × _f X = [0,1] × X

すると、Mは自動的に2つの葉層構造を持つことになる。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$_{2 は、} F _2、t = {( t、x ) _~  : x ∈ X }の形式の集合から構成され、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$_{1 は、} F _{2、x 0} = {( t , x )  : t ∈ [0,1] , x ∈ O _{x 0} }の形式の集合から構成され、軌道 O _{x 0}は次のように定義されます。

O _{x 0} = {..., f ⁻² ( x ₀ ), f ⁻¹ ( x ₀ ), x ₀ , f ( x ₀ ), f ² ( x ₀ ), ...},

ここで指数は、関数fがそれ自身と合成される回数を表します。O _{x 0} = O _{f ( x 0 )} = O _{f ⁻² ( x 0 )などとなるので、} F _{1, x 0}についても同様です。葉層構造の理解${\displaystyle {\mathcal {F}}}$_{1 は}写像fのダイナミクスを理解することと同等です。多様体X が既に葉層構造になっている場合、 f が葉を葉に写像する限り、この構成を使用して葉層の余次元を増やすことができます。

2-トーラスのクロネッカー葉層は、角度α ∈ [0, 2 π ) による回転R _α  : S ¹ → S ¹の懸垂葉層である。

より具体的には、Σ = Σ ₂が C ¹、C ² ∈ Σ の 2 つの穴が開いたトーラスである場合、埋め込まれた 2 つの円は${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は、_葉が Σ × { y }、y ∈ S ^{1である 3 次元多様体}M = Σ × S ¹の積葉層とする。N i = C _i × S ¹は埋め込みトーラスであり、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$はN _iに横断的である、i = 1,2。Diff ₊ ( S ^{1 ) を}S ¹の向きを保存する微分同相写像の群とし、 f ₁、f ₂ ∈ Diff ₊ ( S ¹ )を選択する。MをN ₁とN ₂に沿って切り離し、${\displaystyle N_{i}^{+}}$そして${\displaystyle N_{i}^{-}}$結果として得られるN _iのコピー( i = 1,2) を表す。この時点で、4 つの境界成分を持つ多様体M' = Σ' × S _{1が得られる。}${\displaystyle \left\{N_{i}^{\pm }\right\}_{i=1,2}.}$葉の配置${\displaystyle {\mathcal {F}}}$葉理に移行した${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$境界∂M 'に横断する、各葉はΣ' × { y }、y∈S1の形で^ある。

この葉は∂M'と4つの円で交わる。${\displaystyle C_{i}^{\pm }\times \{y\}\subset N_{i}^{\pm }.}$z ∈ C _iの場合、対応する点は${\displaystyle C_{i}^{\pm }}$z ^±で表され、${\displaystyle N_{i}^{-}}$再接着された${\displaystyle N_{i}^{+}}$識別によって

${\displaystyle (z^{-},y)\equiv (z^{+},f_{i}(y)),\quad i=1,2.}$

f ₁とf _{2 は}S ¹の向きを保存する微分同相写像であるため、それらは恒等写像と同位であり、この再接着操作によって得られる多様体はMと同相である。${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$しかし、再集合して新しい葉を形成する${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Mの( f ₁、f ₂ ) 。葉Lが${\displaystyle {\mathcal {F}}}$( f1 , f2 _{)にΣ' × {} y0 }_という部分が含まれる場合、

${\displaystyle L=\bigcup _{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y_{0})\},}$

ここで、G ⊂ Diff ₊ ( S ^{1 ) は {} f ₁ , f ₂ }によって生成される部分群である。これらの Σ' のコピーは、同一視によって互いに結び付けられている。

( z ⁻ , g ( y ₀ )) ≡ ( z ⁺ , f ₁ ( g ( y ₀ ))) 各z ∈ C ₁について、

( z ⁻ , g ( y ₀ )) ≡ ( z ⁺ , f ₂ ( g ( y ₀ ))) 各z ∈ C ₂について、

ここでgはG の範囲を移動する。葉はy ₀ ∈ S ¹のG軌道によって完全に決定され、単純なものから非常に複雑なものまで様々である。例えば、葉は対応するG軌道が有限である場合に限りコンパクトになる。極端な例として、Gが自明な場合 ( f ₁ = f ₂ = id _{S ¹} )、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$( f ₁ , f ₂ ) =${\displaystyle {\mathcal {F}}}$軌道がS ¹で稠密であれば、対応する葉はMで稠密になります。例えば、f ₁とf ₂が2π の有理的に独立な倍数による回転である場合、すべての葉が稠密になります。他の例では、葉L の一部が閉包を持ちます。${\displaystyle {\bar {L}}}$これは、各因子 { w } × S ^{1 を}カントール集合で満たすものです。同様の構成は、コンパクトで非退化な区間である Σ × I 上でも行うことができます。ここでは、f 1 、f 2 ∈ Diff + ( I ) を取り、∂ I_はすべての_向き保存_微分同相写像によって点ごとに固定されるため、 ∂ Mの 2 つの成分を葉とする葉層構造が得られます。この場合、M' を形成すると、角を持つ葉層多様体が得られます。いずれの場合も、この構成は一対の微分同相写像の懸垂と呼ばれ、余次元 1 の葉層構造の興味深い例の豊富な源となります。