二次形式

数学では、二次形式とは、項の次数がすべて 2 である多項式のことです(「形式」は同次多項式の別名です)。例えば、 $4x²+2xy-3y²$

は変数 $x$ と $y$ に関する二次形式です。係数は通常、実数や複素数などの固定された体 $Kに属し、$ $K$ 上の二次形式と呼ばれます。実数上の二次形式は、すべての変数が同時にゼロのときにのみゼロの値をとる場合に定値であると言われ、そうでない場合は等方性であると言われます。

二次形式は、数論、線形代数、群論（直交群）、微分幾何学（リーマン計量、第二基本形式）、微分位相幾何学（多様体の交差形式、特に4次元多様体）、リー理論（キリング形式）、統計学（指数が $e$ 平均ゼロの多変量正規分布の二次形式は $(-1/2) x T ‍ Σ -1 ‍ x$ ) である。

二次形式は、変数が1つだけで次数が2未満の項を含む場合がある二次方程式と混同してはならない。二次形式は、より一般的な形式の概念の具体的な例である。

導入

$二次形式とは、 n$ 個の変数に関する同次二次多項式のことです。変数が1つ、2つ、3つの場合、それぞれ単項式、二項式、三項式と呼ばれ、次の明示的な形式をとります。 ${\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(単項)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(二項)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(三項)}}\end{aligned}}$

ここで、 $a$ 、...、 $fは$ 係数である。^{[ 1 ]}

二次形式の理論と、その研究に用いられる方法は、係数の性質に大きく依存しており、係数は実数または複素数、有理数、または整数である。線形代数、解析幾何学、および二次形式の応用の大部分では、係数は実数または複素数である。二次形式の代数理論では、係数はある体の要素である。二次形式の算術理論では、係数は固定された可換環に属し、多くの場合、整数 $Z$ または $p$ 進整数 $Z p で$ ある。^{[ 2 ]}二元二次形式は、数論、特に二次体、連分数、およびモジュラー形式の理論で広く研究されてきた $。n$ 変数の整数二次形式の理論は、代数トポロジーに重要な応用がある。

同次座標を用いると、 $n$ 個の変数を持つ非ゼロの二次形式は、 $($ $n$ $-1)$ 次元射影空間における $($ $n$ $-2 )$ 次元射影二次曲面を定義します。このようにして、3 次元実二次形式を円錐曲線として視覚化することができます。例として、3 次元ユークリッド空間と、座標 $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $)$ を持つ点と原点との間の距離を表すユークリッドノルムの二乗が挙げられます。 $q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\left\|(x,y,z)\right\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

幾何学的な意味合いを持つ密接に関連した概念として、二次空間があります。これは、体 $K$ 上のベクトル空間 $V$ と、 $V$ 上の二次形式 $q$ $:$ $V$ $\to$ $K$ $のペア(V, q)$ で表されます。ベクトル空間上の二次形式の定義については、以下の§定義を参照してください。

歴史

二次形式の研究、特に与えられた整数が整数上の二次形式の値になり得るかどうかという問題は、何世紀も前から行われてきました。そのような例の1つが、2つの平方数の和に関するフェルマーの定理です。これは、整数が $x 2 + y 2$ の形で表せる場合を決定します。ここで、 $x$ と $y$ は整数です。この問題は、紀元前2千年紀に現れたピタゴラス数を求める問題と関連しています。 ^{[ 3 ]}

628年、インドの数学者ブラフマグプタは『ブラフマスプタシッダーンタ』を著し、その中には $x 2 - ny 2 = c$ の形の方程式の研究など、多くの事柄が含まれている。彼は現在ペル方程式と呼ばれる $x 2 - ny 2 = 1$ を考察し、その解法を見つけた。^{[ 4 ]}ヨーロッパでは、この問題はブロンカー、オイラー、ラグランジュによって研究された。

1801年、ガウスは『算術研究』を出版した。その大部分は、整数上の二元二次形式の完全な理論に費やされた。それ以来、この概念は一般化され、二次数体、モジュラー群、その他の数学分野との関連性がさらに解明されてきた。

実二次形式

根本的な問題は、線形変数変換の下での実二次形式の分類である。

ヤコビは、すべての実数二次形式に対して直交対角化が存在することを証明した。すなわち、二次形式を「対角形式」に変換する直交変数変換が存在する。 $\lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2},$ ここで、関連する対称行列は対角行列である。さらに、係数 $λ 1 、 λ 2 、...、 λ n$ は置換を除いて一意に決定される。^[⁵^]

変数変換が必ずしも直交行列ではない可逆行列で与えられる場合、すべての係数 $λ i$ $は0$ 、 $+1$ 、または $-1$ であると仮定できます。シルベスターの慣性の法則は、 $0$ 、 $+1$ 、および $-1$ のそれぞれの数が二次形式の不変量であり、他の対角化ではそれぞれ同じ数が含まれることを述べています。二次形式のシグネチャは、3 つの $(n 0 、 n + 、 n -)であり、これらの要素はそれぞれ$ $0$ の数、 $+1の数、および$ $-1$ の数を数えます。シルベスターの慣性の法則は、これが二次形式に付随する明確に定義された量であることを示しています。

$すべてのλ i が$ 同じ符号を持つ場合が特に重要です。この場合、二次形式は正定値(すべて $+1$ ) または負定値(すべて $-1$ ) と呼ばれます。どの項も $0$ でない場合、形式は非退化。これには、正定値、負定値、および等方性二次形式 $+1$ と $-1$ の混合) が含まれます。同様に、非退化二次形式とは、関連する対称形式が非退化双線形形式 $(p 、 q)$ ( $p$ は $+$ 1、 $q$ は $-1$ )の不定非退化二次形式を持つ実ベクトル空間は、時空の物理理論において $ℝ p 、 q$ と表記されます。

二次形式の判別式、具体的には $K / (K \times) 2$ (非ゼロの平方を除いて) における表現行列の行列式のクラスも定義でき、実二次形式の場合、符号よりも粗雑な不変量であり、「正、ゼロ、または負」の値のみをとります。ゼロは退化に対応し、非退化形式の場合は、負の係数の数の偶奇性、 $(-1) n -$ です。

これらの結果は、以下で別の形で再定式化される。

$q を$ $n$ 次元実ベクトル空間上で定義された二次形式とする。Aを $与え$ られた基底における二次形式 $q$ の行列とする。これは、 $A が$ 次のような対称 $n \times n$ 行列であることを意味する。 $q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax,$ ここで、 $x は選択された基底における$ $v$ の座標の列ベクトルである。基底変換の下では、列ベクトル $xは$ $n \times n$ の可逆行列 $S$ によって左から乗算され、対称正方行列 $A$ は、次の式に従って同じサイズの別の対称正方行列 $B$ に変換される。 $A\to B=S^{\mathsf {T}}AS~.$

任意の対称行列 $Aは$ 対角行列に変換できる $B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}$ 直交行列 $S$ を適切に選択することで、 $B$ の対角成分は一意に決定されます。これはヤコビの定理です (歪対称行列を参照 )。S が任意の可逆行列である場合 $、$ Bの対角成分 $は$ $0$ 、 $+1$ 、および $-1$ のみとなり、各タイプの成分の数 ( $0$ の場合は $n$ $0$ 、 + $1$ の場合は $n$ $+$ 、 − $1$ の場合は $n$ $-$ $) はA$ のみに依存します。これはシルベスターの慣性の法則の定式化の 1 つであり、 $n$ $+$ と $n$ $-$ は慣性の正および負の指数と呼ばれます。これらの定義には基底の選択と対応する実対称行列 $Aの考慮が含まれますが、シルベスターの慣性の法則は、これらが二次形式$ $q$ の不変量であることを意味します。

2次形式 $q$ は、すべての非ゼロベクトル $vに対して$ $q (v) > 0 の$ 場合に正定値(同様に、 $q (v) < 0 の$ 場合に負定値) となります。^[⁶^] $q$ $($ $v$ $)$ が正と負の両方の値をとる場合、 $qは$ 等方性2次形式です。ヤコビとシルベスターの定理は、 $n$ 変数の任意の正定値2次形式を適切な可逆線形変換によって $n$ の平方和にできることを示しています。幾何学的には、各次元の正定値実2次形式は1 つしかありません。その等長変換群はコンパクト直交群であり、慣習的に $O($ $n$ $)$ と表記されます。これは、対応する群である不定直交群 $O($ $p$ $,$ $q$ $)$ がコンパクトでない等方性形式の場合とは対照的です。さらに、 $Q$ と $-Q$ の等長変換群は同じ ( $O($ $p$ $,$ $q$ $) \approx O($ $q$ $,$ $p$ $)$ ) ですが、関連するクリフォード代数(したがってピン群) $は$ 異なります。

定義

体 $K$ 上の二次形式とは、有限次元 $K$ ベクトル空間から $K$ への写像 $q$ $:$ $V$ $\to$ $K$ であり、すべての $a$ $\in$ $K$ 、 $v$ $\in$ $V$ に対して $q$ $($ $av$ $) =$ $a$ $2$ $q$ $($ $v$ $)$ であり、関数 $q$ $($ $u$ $+$ $v$ $) -$ $q$ $($ $u$ $) -$ $q$ $($ $v$ $)が$ 双線形形式であるようなものである。

より具体的に言うと、体 $K上の$ $n$ 項二次形式は、 $Kの係数を持つ$ $n 個$ の変数に関する次数 2 の同次多項式である。 $q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.$

この式は行列を用いて書き直すことができる。x $を$ 成分 $x$ $1$ , ..., $x$ $n$ を持つ列ベクトルとし、 $A$ $= ($ $a$ $ij$ $)$ を $q$ の係数を要素とする $K$ 上の $n$ $\times$ $n$ 行列とする。すると $q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax.$

ベクトル $v = (x 1, ..., x n)は、$ $q$ $($ $v$ $) = 0$ の場合、零ベクトルです。

$K$ 上の2 つの $n$ 項二次形式 $φ$ と $ψ$ は、非特異線形変換 $C$ $\in$ $GL$ $($ $n$ $,$ $K$ $)が$ 存在し、 $\psi (x)=\varphi (Cx).$

$K$ の特性が $2$ と異なるとする。[ ⁷^]^q $の$ 係数行列 $A は$ 、同じ二次形式を持つ対称行列 $($ $A$ $+$ $A$ $T$ $)/2$ に置き換えることができるため、最初から $A$ は対称であると仮定できる。さらに、対称行列 $A$ は、対応する二次形式によって一意に決定される。同値 $Cの下では、$ $φ$ の対称行列 $Aと$ $ψ$ の対称行列 $B$ は次のように関係する。 $B=C^{\mathsf {T}}AC.$

二次形式 $qの$ 関連する双線形形式は次のように定義される。 $b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.$

したがって、 $b q$ は行列 $Aを持つ$ $K$ 上の対称双線形形式である。逆に、任意の対称双線形形式 $b は$ 二次形式を定義する。 $q(x)=b(x,x),$ そして、これら二つの過程は互いに逆の関係にある。したがって、標数が2でない体においては、対称双線形形式と $n$ 変数二次形式の理論は本質的に同じである。

二次空間

体 $K上の$ $n$ 次元ベクトル空間 $V$ が与えられたとき、 $V$ 上の二次形式とは、次の性質を持つ関数 $Q$ $:$ $V$ $\to$ $K$ のことである。すなわち、ある基底に対して、 $v$ $\in$ $Vの座標を$ $Q$ $($ $v$ $)$ に写像する関数 $q$ は二次形式である。特に、 $V$ $=$ $K$ $n$ でその標準基底を持つ場合、次のようになる。 $q(v_{1},\ldots ,v_{n})=Q([v_{1},\ldots ,v_{n}])\quad {\text{for}}\quad [v_{1},\ldots ,v_{n}]\in K^{n}.$

基底変換の公式は、二次形式であるという性質は $V$ の特定の基底の選択に依存しないことを示しているが、二次形式 $q$ は基底の選択に依存する。

二次形式を持つ有限次元ベクトル空間を二次空間と呼ぶ。

写像 $Qは次数 2 の$ 同次関数であり、これは、すべての $a$ ∈ $K$ および $v$ ∈ $V$ に対して次の性質を持つことを意味します。 $Q(av)=a^{2}Q(v).$

$K$ の標数が 2 でない場合、 $K$ 上の双線形写像 $B : V \times V \to K$ は次のように定義される。 $B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w))。$ この双線形形式 $B$ は対称です。つまり、 $V$ のすべての $x$ 、 $yに対して$ $B (x 、 y) = B (y 、 x)$ であり、 $Q$ を決定します。つまり、 $V$ のすべての $xに対して$ $Q$ $($ $x$ $) =$ $B$ $($ $x$ $、$ $x$ $)$ です。

$K$ の特性が2 で、2 が単位元でない場合、2 は依然として二次形式を使用して対称双線形形式 $B'(x, y) = Q (x + y) - Q (x) - Q (y)$ を定義することができます。ただし、 $B$ $'($ $x$ $,$ $x$ $) = 0がすべての$ $x$ に対して(したがって交代) であるため、 $Q (x)はもはやこの$ $B'$ から同じ方法で復元することはできません。 ^[⁸^] $あるいは、 B$ $″($ $x$ $,$ $x$ $) =$ $Q$ $($ $x$ $)$ となる双線形形式 $B$ $″$ (一般に一意でも対称でもない)が常に存在します。

$K$ 上の有限次元ベクトル空間 $Vと、$ $V$ から $K$ への二次写像 $Q$ からなるペア $(V, Q)を$ 二次空間と呼び、ここで定義される $B は$ $Q$ に対応する対称双線形形式です。二次空間の概念は、座標に依存しない二次形式の概念です。Q $は$ 二次形式と呼ばれることもあります。

2 つの $n$ 次元二次空間 $(V, Q)$ と $(V', Q')$ は、可逆な線形変換 $T : V \to V'$ (等長性) が存在し、 $Q(v)=Q'(Tv){\text{すべてのv\in Vについて}$

$K上の$ $n$ 次元二次空間の等長類は、 $K上の$ $n$ 項二次形式の同値類に対応する。

一般化

$R$ を可換環、 $M$ を $R$ 加群、 $b$ $:$ $M$ $\times$ $M$ $\to$ $R$ を $R$ 双線形形式とする。 ^[⁹^]写像 $q$ $:$ $M$ $\to$ $R$ $:$ $v$ $\mapsto$ $b$ $($ $v$ $,$ $v$ $)$ は $b$ の対応する二次形式であり、 $B$ $:$ $M$ $\times$ $M$ $\to$ $R$ $: ($ $u$ $,$ $v$ $) \mapsto$ $q$ $($ $u$ $+$ $v$ $) -$ $q$ $($ $u$ $) -$ $q$ $($ $v$ $)は$ $q$ の極形式である。

二次形式 $q : M \to R は$ 、以下の同等な方法で特徴付けることができます。

$q$ $($ $v$ $)$ が関連する二次形式となるような $R$ 双線形形式 $b : M \times M \to R$ が存在する。
$q (av) = a 2 q (v)$ はすべての $a \in R$ および $v \in M$ $に対して成り立ち、 q$ の極形式 $はR$ 双線形である。

形式の同等性

標数が2でない体上の $n$ 変数の二次形式 $qはすべて対$ 角形式と等価である。 $q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.$

$このような対角形式は、しばしば⟨ a 1, ..., a n ⟩$ と表記される。したがって、同値性までのすべての二次形式の分類は、対角形式の場合に帰着させることができる。

幾何学的意味

3次元のデカルト座標系を用いて、 $x \equiv [x, y, z] T$ とし、 $Aを$ 対称な3×3 行列とする。このとき、方程式x $T$ $A$ $x$ $+$ $b$ $T$ $x$ $=$ $1の$ 解集合の幾何学的性質は、行列 $A$ の固有値に依存する。

$A$ のすべての固有値がゼロでない場合、解集合は楕円体または双曲面になります。すべての固有値が正の場合、それは楕円体です。すべての固有値が負の場合、それは虚数楕円体です(楕円体の方程式が得られますが、半径は虚数になります)。一部の固有値が正で一部が負の場合、それは双曲面です。すべての固有値が等しく正の場合、それは球です (すべての軸が等しい楕円体の特殊なケースで、等しい固有値が存在することに対応します)。

$1 つ以上の固有値λ i = 0$ が存在する場合、形状は対応する $b i$ に依存します。対応する $b i \neq 0$ の場合、解集合は放物面(楕円または双曲) になります。対応する $b i = 0$ の場合、次元 $i$ は退化して関係なくなり、幾何学的意味は他の固有値と $b$ の他の成分によって決定されます。解集合が放物面である場合、それが楕円か双曲かは、他のすべての非ゼロ固有値が同じ符号であるかどうかによって決定されます。同じ符号であれば楕円であり、そうでなければ双曲です。

積分二次形式

整数環上の二次形式は、整数二次形式と呼ばれ、対応する加群は二次格子（単に格子と呼ばれることもある）と呼ばれます。これらは数論と位相幾何学において重要な役割を果たします。

$積分二次形式は、 x 2 + xy + y 2$ のように整数係数を持ちます。同様に、ベクトル空間 $V$ (特性 0 の体、例えば $Q$ や $R$ 上) の格子 $Λ$ が与えられた場合、二次形式 $Qは、$ $Λ$ 上で整数値をとる場合に限り、 $Λ$ に関して積分です。つまり、 $x$ $、$ $y$ $\in Λ の$ 場合、 $Q$ $($ $x$ $、$ $y$ $) \in$ $Z$ となります。

これは現在におけるこの用語の用法であり、過去には以下に詳述するように、異なる用法で使われることもあった。

歴史的使用

歴史的に、積分二次形式の概念が何を意味するべきかについて、多少の混乱と論争があった。

2つで: 整数係数を持つ対称行列に関連付けられた二次形式
ツーアウト: 整数係数を持つ多項式（そのため、関連する対称行列の対角成分以外の係数は半整数になる可能性がある）

この議論は、二次形式（多項式で表される）と対称双線形形式（行列で表される）の混同に起因するものであり、現在では「2s out」が慣例となっている。「2s in」は、代わりに積分対称双線形形式（積分対称行列）の理論である。

$「2 進数」では、2 進二次形式はax 2 + 2 bxy + cy 2$ の形であり、対称行列で表されます。 ${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$ これは、 Gauss がDisquisitiones Arithmeticaeで使用する規則です。

$「2 アウト」では、2 次形式はax 2 + bxy + cy 2$ の形であり、対称行列で表されます。 ${\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}.$

ツーアウトが標準的な慣例として採用された理由はいくつかある。それらには以下が含まれる。

2進二次形式の理論、つまり難しさの「局所的な」原因についてより深く理解する。
特性2の任意の二次形式を（必ずしも対称ではない）行列で表現する能力。
格子的な観点は、1950年代に二次形式の算術の専門家によって一般的に採用されていたものである。
交点理論における位相幾何学における積分二次形式理論の実際の必要性。
リー群と代数群の側面。

普遍二次形式

像がすべての正の整数からなる積分二次形式は、普遍的と呼ばれることがある。ラグランジュの四平方定理は、 $w 2 + x 2 + y 2 + z 2$ が普遍的であることを示している。ラマヌジャンはこれを $aw 2 + bx 2 + cy 2 + dz 2$ $に一般化し、それぞれがすべての正の整数を生成できる 54 個の多重集合{a, b, c, d}$ を発見した。

${1, 1, 1, d}、1 \leq d \leq 7$
${1, 1, 2, d}、2 \leq d \leq 14$
${1, 1, 3, d}、3 \leq d \leq 6$
${1, 2, 2, d}、2 \leq d \leq 7$
${1, 2, 3, d}、3 \leq d \leq 10$
${1, 2, 4, d}、4 \leq d \leq 14$
${1, 2, 5, d}、6 \leq d \leq 10$

正の整数のうち1つを除くすべての整数で構成される形式も存在します。たとえば、 ${1, 2, 5, 5}$ は15を例外としています。最近では、15定理と290定理によって、普遍的な整数二次形式が完全に特徴付けられました。すなわち、すべての係数が整数である場合、それがすべての正の整数を表すのは、それが290までのすべての整数を表す場合のみです。また、それが整数行列を持つ場合、それがすべての正の整数を表すのは、それが15までのすべての整数を表す場合のみです。

注記

↑ガウスに遡る伝統では、異なる変数の積には明らかに偶数の係数を使用することが定められており、つまり、進数形式では $b$ の代わりに $2$ $b を$ $、3 進数形式ではb$ 、 $d$ 、 $f$ の代わりに $2$ $b$ 、 $2$ $d$ 、 $2$ $f を$ 使用します。文献ではどちらの慣習も見られます。
↑ 2 から離れると、つまり、2 が環で可逆であれば、二次形式は対称双線形形式と等価になります(偏極恒等式により)。しかし、2 ではそれらは異なる概念です。この区別は、整数上の二次形式にとって特に重要です。
↑バビロニアのピタゴラス
↑ブラフマグプタの伝記
↑ Bôcher, M. (1907). "§ 45 二次形式の平方和への還元" .高等代数学入門. (EPR DuVal と共著). ニューヨーク、NY: Macmillan. p. 129 – via HathiTrust .
↑非厳密不等式 ( $\geq$ または $\leq$ ) が成り立つ場合、二次形式 $q$ は半正定値と呼ばれます。
↑ $標数2$ の体上の二次形式の理論にはいくつかの落とし穴があり、この文脈で適用するには多くの定義と定理を注意深く再記述する必要があります。
↑特性2の二次形式に関連するこの交代形式は、 Arf不変量に関連して興味深いものである–カプランスキー、アーヴィング(1974)、『線形代数と幾何学』、p. 27 。
↑二次形式に関連付けられている双線形形式は対称であることに限定されず、これは $R$ において 2 が単位元でない場合に重要となる。

参考文献

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Shafarevich, IR ; Remizov, AO (2012).線形代数と幾何学. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9。

さらに読む

Cassels, JWS (1978).有理二次形式. ロンドン数学会モノグラフ. 第 13巻. Academic Press . ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029 .
北岡義之（1993）二次形式の算術.ケンブリッジ数学叢書第 106巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 .
ラム・ツィットユエン（2005）。体上の二次形式入門。大学院数学研究。第 67巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-1095-2。MR 2104929。Zbl 1068.11023。
ミルナー、Ｊ．ヒューゼモラー、D. (1973)。対称双線形形式。Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 73.シュプリンガー・フェルラークISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .
オメラ州オメラ（1973年）。二次形式の紹介。 Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 117.シュプリンガー・フェルラーグISBN 3-540-66564-1. Zbl 0259.10018 .
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外部リンク

AVMalyshev (2001) [1994]、「二次形式」、数学百科事典、EMS Press
AVMalyshev (2001) [1994]、「二元二次形式」、数学百科事典、EMS Press

[1] ガウスに遡る伝統では、異なる変数の積には明らかに偶数の係数を使用することが定められており、つまり、進数形式では $b$ の代わりに $2$ $b を$ $、3 進数形式ではb$ 、 $d$ 、 $f$ の代わりに $2$ $b$ 、 $2$ $d$ 、 $2$ $f を$ 使用します。文献ではどちらの慣習も見られます。

[2] 2 から離れると、つまり、2 が環で可逆であれば、二次形式は対称双線形形式と等価になります(偏極恒等式により)。しかし、2 ではそれらは異なる概念です。この区別は、整数上の二次形式にとって特に重要です。

[3] バビロニアのピタゴラス

[4] ブラフマグプタの伝記

[5] Bôcher, M. (1907). "§ 45 二次形式の平方和への還元" .高等代数学入門. (EPR DuVal と共著). ニューヨーク、NY: Macmillan. p. 129 – via HathiTrust .

[6] 非厳密不等式 ( $\geq$ または $\leq$ ) が成り立つ場合、二次形式 $q$ は半正定値と呼ばれます。

[7] $標数2$ の体上の二次形式の理論にはいくつかの落とし穴があり、この文脈で適用するには多くの定義と定理を注意深く再記述する必要があります。

[8] 特性2の二次形式に関連するこの交代形式は、 Arf不変量に関連して興味深いものである–カプランスキー、アーヴィング(1974)、『線形代数と幾何学』、p. 27 。

[9] 二次形式に関連付けられている双線形形式は対称であることに限定されず、これは $R$ において 2 が単位元でない場合に重要となる。

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二次形式

導入

歴史

関連する対称行列

例

一般的なケース

実二次形式

定義

二次空間

一般化

関連概念

形式の同等性

幾何学的意味

積分二次形式

歴史的使用

普遍二次形式

関連項目

注記

参考文献

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外部リンク

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数学

項

多項式の

形式」は