ベルコビッチスペース

数学において、ベルコビッチ空間は、ベルコビッチ(1990) によって導入され、非アルキメデス体(例: p進体) 上の解析空間の一種であり、テイトの剛性解析空間の概念を改良したものです。

複素数の場合、代数幾何学は複素アフィン空間を と定義することから始まります。各 に対して、 上の解析関数の環を正則関数の環、つまり各点の近傍で収束する冪級数として表すことができる上の関数と定義します。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n},}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U},}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

次に、局所モデル空間を次のよう に定義する。${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathcal {O}}_{U}}$

${\displaystyle X:=\{x\in U:f_{1}(x)=\cdots =f_{n}(x)=0\}}$

複素解析空間は局所的に環を持つ-空間であり、局所的に局所モデル空間と同型です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{n}).}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$

が完全な非アルキメデス体であるとき、 は完全に分離されているとなる。このような場合、複素数の場合と同じ定義を続けると、良い解析理論は得られない。ベルコビッチは、 のような 上の良い解析空間を与える定義を与え、また 上の通常の定義も与えている。${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

非アルキメデス体上の解析関数を定義することに加えて、ベルコビッチ空間には優れた基礎位相空間もあります。

環上の半ノルムは、次のような 非定数関数である。${\displaystyle A}$${\displaystyle |\!-\!|:A\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|0|&=0\\|1|&=1\\|f+g|&\leqslant |f|+|g|\\|fg|&\leqslant |f||g|\end{aligned}}}$

すべての に対して成り立ちます。 のとき、それは乗法的であるといい、のとき、それはノルムであるといいます。 ${\displaystyle f,g\in A}$${\displaystyle |fg|=|f||g|}$${\displaystyle |f|=0}$${\displaystyle f=0}$

がノルムを持つノルム環である場合、のベルコビッチスペクトル( と表記)は、のノルムによって制限される 上の乗法半ノルムの集合です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \|\!-\!\|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ベルコビッチスペクトルは、任意の写像 に対して最も弱い位相を備えている。${\displaystyle f\in A}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi _{f}:{\mathcal {M}}(A)\to \mathbb {R} \\|\cdot |\mapsto |f|\end{cases}}}$

連続しています。

ノルム環のベルコビッチスペクトルは、がゼロでない場合、空ではなく、が完全な場合、コンパクトです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

が のスペクトルの点である場合、 の元はの素イデアルを形成します。この素イデアルによる商の分数体はノルム体であり、その完備化は乗法ノルムを持つ完備体です。この体は で表され、元の像は で表されます。体はの像によって生成されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|_{x}=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$${\displaystyle f\in A}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$${\displaystyle A}$

逆に、から の像によって生成される乗法ノルムを持つ完全ノルム体への有界写像は、 のスペクトル内の点を与えます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

スペクトル半径${\displaystyle f,}$

${\displaystyle \rho (f)=\lim _{n\to \infty }\left\|f^{n}\right\|^{\frac {1}{n}}}$

等しい

${\displaystyle \sup _{x\in {\mathcal {M}}(A)}|f|_{x}.}$

• 評価に関して完全なフィールドのスペクトルは、その評価に対応する単一の点です。
• が可換C*-代数である場合、ベルコビッチスペクトルはゲルファンドスペクトルと同じになります。ゲルファンドスペクトルの点は本質的にへの準同型であり、その絶対値はベルコビッチスペクトルの対応する半ノルムです。${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• オストロフスキーの定理は、整数のベルコビッチスペクトル（通常のノルムを持つ）が、素数またはに対して、通常の評価値のべき乗で構成されることを示しています。が素数の場合、となり、の場合、これらがすべて、すべての非ゼロ元上にある自明な評価値と一致するとき。 各（素数または無限大）に対して、実数区間に同相な枝が得られ、枝は自明な評価値に対応する点で交わります。 自明な評価値の開近傍は、有限個以外のすべての枝を含み、各枝との交差は開いているようなものです。${\displaystyle |f|_{p}^{\varepsilon }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle p}$${\displaystyle 0\leqslant \varepsilon \leqslant \infty ,}$${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle 0\leqslant \varepsilon \leqslant 1.}$${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$

が付値 を持つ体である場合、上のn次元ベルコビッチアフィン空間( と表記)は、上のノルムを拡張した上の乗法半ノルムの集合です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle k}$

ベルコビッチ アフィン空間には、任意の に対してを写像することが連続となるような最も弱い位相が備わっています。これはベルコビッチ スペクトルではありませんが、ある球に収束する冪級数の環のベルコビッチ スペクトルの増加和です(したがって、局所的にコンパクトです)。 ${\displaystyle f\in k}$${\displaystyle \varphi _{f}:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |\cdot |\in \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle |f|}$

開集合上の解析関数を写像として 定義する${\displaystyle U\subset \mathbb {A} ^{n}}$

${\displaystyle f:U\to \prod _{x\in U}{\mathcal {H}}(x)}$

は有理関数の局所極限であり、つまり、あらゆる点が次の性質を持つ 開近傍を持つようなものである。${\displaystyle f(x)\in {\mathcal {H}}(x)}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle U'\subset U}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists g,h\in {\mathcal {k}}[x_{1},\ldots ,x_{n}]:\qquad \forall x'\in U'\left(h(x')\neq 0\ \,\land \ \left|f(x')-{\frac {g(x')}{h(x')}}\right|<\varepsilon \right).}$

複素数の場合と同じ定義を続けると、任意の付値を持つ体上の解析関数の環、局所モデル空間、解析空間を定義できます（ノルム環上の同様のオブジェクトも定義できます）。これにより、非自明な付値に関して完全な体と整数の環に対して適切なオブジェクトが得られます。${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

この場合、動機のセクションで説明したのと同じオブジェクトが提供されます。 ${\displaystyle k=\mathbb {C} ,}$

これらの解析空間はすべて非アルキメデス体上の解析空間ではありません。

1 次元のベルコビッチ アフィン空間は、ベルコビッチアフィン直線と呼ばれます。が代数的に閉じた非アルキメデス体であり、その値に関して完備である場合、アフィン直線のすべての点を記述できます。 ${\displaystyle k}$

標準的な埋め込み があります。 ${\displaystyle k\hookrightarrow \mathbb {A} _{k}^{1}}$

空間は局所コンパクト、ハウスドルフ、一意に経路連結な位相空間であり、稠密な部分空間として を含みます。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle k}$

適切な方法で無限遠点を に接続することによっても、ベルコビッチ射影直線を定義することができます。結果として得られる空間は、 を稠密な部分空間として含む、コンパクトでハウスドルフの一意にパス連結な位相空間です。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(k)}$

• ベイカー、マシュー;コンラッド、ブライアン;ダスグプタ、サミット;ケドラヤ、キラン S .; テイテルバウム、ジェレミー (2008)、タクル、ディネシュ S.;サヴィット、デイヴィッド (編)、p進幾何学、大学講義シリーズ、第45巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4468-7、MR  2482343
• ベイカー、マシュー、ルメリー、ロバート（2010）、ベルコビッチ射影直線上のポテンシャル理論とダイナミクス、数学調査とモノグラフ、第159巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-4924-8、MR  2599526
• ベルコビッチ、ウラジミール G. (1990)、「非アルキメデス体上のスペクトル理論と解析幾何学」、数学調査とモノグラフ、第 33 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-1534-2、MR  1070709
• Berkovich、Vladimir G. (1993)、「非アルキメデス解析空間のエタール コホモロジー」、Publications Mathématiques de l'IHÉS (78): 5–161、ISSN  1618-1913、MR  1259429

• nラボのベルコビッチ スペース
• ジュシュー数学研究所サマースクール«バーコビッチ空間» 2010