ポーランドのスペース

一般位相幾何学という数学分野において、ポーランド空間とは、可分な完全距離化可能な位相空間、すなわち、可算な稠密部分集合を持つ完備距離空間と同相な空間のことである。ポーランド空間という名称は、ポーランドの位相幾何学者や論理学者（シェルピンスキ、クラトフスキ、タルスキなど）によって最初に大規模に研究されたことに由来する。しかし、今日では、ポーランド空間は主に、ボレル同値関係の研究を含む記述集合論の主要な舞台として研究されている。また、ポーランド空間は、特に確率論における、より高度な測度論の便利な舞台でもある。

ポーランド空間の一般的な例としては、実数直線、任意の可分バナッハ空間、カントール空間、ベール空間などが挙げられる。さらに、通常の距離空間では完備距離空間ではない空間の中にもポーランド空間となるものがある。例えば、開区間(0, 1)はポーランド空間である。

任意の2つの非可算ポーランド空間の間には、ボレル同型写像、すなわちボレル構造を保存する全単射が存在する。特に、すべての非可算ポーランド空間は連続体の濃度を持つ。

ルシン空間、ススリン空間、ラドン空間は、ポーランド空間の一般化である。

1. すべてのポーランド空間は、（分離可能かつ距離化可能であるため）第二可算である。 ^{[ 1 ]}
2. ポーランド空間Pの部分空間Qが (誘導位相の下で) ポーランドであるのは、Q がPの開部分集合の列の共通部分である場合(すなわち、QがG _δ -集合である場合) に限る。^{[ 2 ]}
3. （カントール・ベンディクソン定理）Xがポーランド空間である場合、 Xの任意の閉部分集合は、完全集合と可算集合の非交和として表すことができる。さらに、ポーランド空間Xが非可算空間である場合、完全集合と可算開集合の非交和として表すことができる。
4. すべてのポーランド空間は、ヒルベルト立方体のG _δ部分集合(つまり、Iは^単位区間、Nは自然数の集合)と同相である。 ^{[ 3 ]}

以下のスペースはポーランド語です。

• ポーランド空間の閉部分集合、
• ポーランド空間の開部分集合、
• ポーランド空間の可算族の積と非交和、
• 無限遠で距離化可能かつ可算な局所的にコンパクトな空間、
• ハウスドルフ位相空間のポーランド部分空間の可算個の交差、
• 実数直線の標準位相によって誘導される位相を持つ無理数の集合。

ウリゾーンの計量定理など、第二可算位相空間が計量可能であるかどうかを示す特徴付けは数多く存在する。計量可能な空間が完全に計量可能であるかどうかを判断する問題はより難しい。開区間(0,1)のような位相空間には、位相を生成する完全計量と不完全計量の両方を与えることができる。

完全分離可能距離空間は、強チョケゲームと呼ばれるゲームを用いて特徴づけられる。分離可能距離空間は、このゲームにおいて第二プレイヤーが必勝戦略を持つ場合に限り、完全距離化可能である。

2つ目の特徴付けはアレクサンドロフの定理から導かれる。それは、可分距離空間が完全に距離化可能であるのは、それが${\displaystyle G_{\delta }}$元の指標における完了率のサブセット。

ポーランド空間は距離化可能であるが、それ自体は距離空間ではない。各ポーランド空間は、同じ位相を生み出す多くの完全距離を許容するが、それらのどれもが特別に選ばれたり区別されたりすることはない。特別に選ばれた完全距離を持つポーランド空間は、ポーランド距離空間と呼ばれる。ここで示した方法と同等の別のアプローチは、まず「ポーランド距離空間」を「完全分離距離空間」と定義し、次にポーランド距離空間から距離を無視することによって得られる位相空間として「ポーランド空間」を定義することである。

ポーランド群とは、位相群Gがポーランド空間でもある、つまり可分完備距離空間と同相である群のことである。ポーランド群間の準同型写像については、バナッハ、フロイデンタール、クラトフスキによる古典的な結果がいくつかある。 ^{[ 10 ]}まず、バナッハの議論^{[ 11 ]}は、非アーベルポーランド群に準同型写像として適用される。GとH がGがポーランドである可分距離空間である場合、 GからHへの任意のボレル準同型写像は連続である。^{[ 12 ]}次に、クラトフスキによる開写像定理または閉グラフ定理のバージョンがある。 ^{[ 13 ]}ポーランド群Gから別のポーランド群Hへの連続全射準同型写像は開写像である。ポーランド群間の準同型写像は、そのグラフが閉である場合に限り連続である。その結果、ポーランド群に関する注目すべき事実として、それらの間の準同型写像であるベール可測写像（すなわち、任意の開集合の逆像がベールの性質を持つ写像）は自動的に連続となることが挙げられる。 ^{[ 14 ]}ヒルベルト立方体[0,1] ^Nの同相写像群は、すべてのポーランド群がその閉部分群と同型であるという意味で、普遍ポーランド群である。

例：

• 可算個の成分を持つ有限次元リー群はすべてポーランド群である。
• 可分ヒルベルト空間（強作用素位相を持つ）のユニタリ群はポーランド群である。
• コンパクト距離空間の同相写像群はポーランド群である。
• 可算個のポーランド語群の積は、ポーランド語群となる。
• 可分完備距離空間の等長変換群はポーランド群である。

• 標準ボレルスペース

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