テンソル

テンソルは、（場合によっては多次元の）配列として表現できます。n 次元空間のベクトルが、与えられた基底に関して n 個の成分を持つ 1 次元配列で表されるのと同様に、基底に関する任意のテンソルは多次元配列で表現されます。たとえば、線形演算子は、基底においてn × nの2 次元正方配列として表現されます。多次元配列内の数値は、テンソルの成分または要素と呼ばれます。これらは、テンソルの記号名の後に、配列内の位置を示す添え字と上付き文字で表されます。たとえば、2階テンソルTの成分は、 iとjが1からnまでの添え字である 場合、T _ijと表すこともできますし、 T ⁱ _jと表すこともできます。添え字が上付き文字として表示されるか下付き文字として表示されるかは、以下で説明するテンソルの変換特性によって決まります。したがって、T _ijとT ⁱ _{j は}どちらもn × n行列として表現でき、インデックスの操作によって数値的に関連付けられていますが、それらの変換法則の違いから、それらを足し合わせることは不適切であることがわかります。

各コンポーネントを一意に識別するために必要なインデックスの総数 ( m ) は、配列の次元または方法の数に等しいため、テンソルはm次元配列またはm方向配列と呼ばれることがあります。インデックスの総数は、テンソルの次数、次数、またはランクとも呼ばれますが、 ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}、「ランク」という用語は、行列やテンソルの文脈では一般的に別の意味を持ちます。

ベクトル空間の基底を変更するとベクトルの成分が変化するのと同様に、テンソルの成分もそのような変換によって変化します。各タイプのテンソルには、テンソルの成分が基底の変更にどのように反応するかを詳細に記述した変換法則が備わっています。ベクトルの成分は、基底の変更に対して 2 つの異なる方法で反応することができます(ベクトルの共変性と反変性を参照)。新しい基底ベクトルは、${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$古い基底ベクトルを用いて表現される${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$として、

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}。}$

ここで、R ^j _iは基底変換行列の要素であり、右端の式では総和記号が省略されています。これはアインシュタインの総和規約であり、この記事全体を通して使用されます。^{[注 1 ]}列ベクトルvの 成分v ⁱは、行列Rの逆行列によって変換されます。

${\displaystyle {\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},}$

ここでハット記号は新しい基底の成分を表します。これは反変変換法則と呼ばれ、ベクトル成分は基底変換の逆変換によって変換されます。対照的に、共変ベクトル（または行ベクトル）wの成分w _iは、行列R自体とともに変換されます。

${\displaystyle {\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}.}$

これは共変変換法則と呼ばれます。なぜなら、共変ベクトル成分は基底変換行列と同じ行列によって変換されるからです。より一般的なテンソルの成分は、共変変換と反変変換の組み合わせによって変換され、各インデックスに対して1つの変換法則が適用されます。インデックスの変換行列が基底変換の逆行列である場合、そのインデックスは反変と呼ばれ、慣例として上付き添え字で表されます。インデックスの変換行列が基底変換自体である場合、そのインデックスは共変と呼ばれ、下付き添え字で表されます。

簡単な例として、基底に関する線形演算子の行列は長方形配列である。${\displaystyle T}$基底変換行列の下で変換される ${\displaystyle R=\left(R_{i}^{j}\right)}$による${\displaystyle {\hat {T}}=R^{-1}TR}$個々の行列要素については、この変換法則は次の形式をとる。${\displaystyle {\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}}$したがって、線形演算子の行列に対応するテンソルは、1つの共変インデックスと1つの反変インデックスを持ち、(1,1)型になります。

同じインデックスを持つ共変成分と反変成分の組み合わせによって、幾何学的不変量を表現できます。例えば、ベクトルが異なる座標系において同じオブジェクトであるという事実は、上記の式を用いて以下の式で表すことができます。

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {v}}^{i}\,\mathbf {\hat {e}} _{i}=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}{v}^{j}\right)\left(\mathbf {e} _{k}R_{i}^{k}\right)=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}R_{i}^{k}\right){v}^{j}\mathbf {e} _{k}=\delta _{j}^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{k}={v}^{k}\,\mathbf {e} _{k}={v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$$、

どこ${\displaystyle \delta _{j}^{k}}$はクロネッカーのデルタであり、単位行列と同様の機能を持ち、インデックスの名前を変更する効果があります（この例ではjをkに変更）。これは、コンポーネント表記のいくつかの特徴を示しています。項を自由に並べ替える能力（可換性）、同じ式で複数のオブジェクトを扱う場合に異なるインデックスを使用する必要性、インデックスの名前を変更する能力、および反変テンソルと共変テンソルが結合して変換行列とその逆行列のすべてのインスタンスが相殺されるようにする方法です。したがって、次のような式は${\displaystyle {v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$それらは、あらゆる座標系において幾何学的に同一であることがすぐにわかる。

同様に、幾何学的オブジェクトとして見た線形演算子は、実際には基底に依存しません。それは単に、ベクトルを引数として受け取り、別のベクトルを生成する線形写像です。線形演算子の成分行列が基底によってどのように変化するかの変換法則は、反変ベクトルの変換法則と一致しているため、反変ベクトルに対する線形演算子の作用は、それぞれの座標表現の行列積として座標で表されます。つまり、成分は${\displaystyle (Tv)^{i}}$は次のように与えられる。 ${\displaystyle (Tv)^{i}=T_{j}^{i}v^{j}}$これらの成分は反変変換する。

${\displaystyle \left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{k}^{j'}v^{k}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.}$

The transformation law for an order p + q tensor with p contravariant indices and q covariant indices is thus given as,

$${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$$$${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$$${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Here the primed indices denote components in the new coordinates, and the unprimed indices denote the components in the old coordinates. Such a tensor is said to be of order or type(p, q). The terms "order", "type", "rank", "valence", and "degree" are all sometimes used for the same concept. Here, the term "order" or "total order" will be used for the total dimension of the array (or its generalization in other definitions), p + q in the preceding example, and the term "type" for the pair giving the number of contravariant and covariant indices. A tensor of type (p, q) is also called a (p, q)-tensor for short.

This discussion motivates the following formal definition:^[5][6]

Definition. A tensor of type (p, q) is an assignment of a multidimensional array

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]}$

to each basis f = (e₁, ..., e_n) of an n-dimensional vector space such that, if we apply the change of basis

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)}$

then the multidimensional array obeys the transformation law

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]}$${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

The definition of a tensor as a multidimensional array satisfying a transformation law traces back to the work of Ricci.^[1]

An equivalent definition of a tensor uses the representations of the general linear group. There is an action of the general linear group on the set of all ordered bases of an n-dimensional vector space. If ${\displaystyle \mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n})}$ is an ordered basis, and ${\displaystyle R=\left(R_{j}^{i}\right)}$ is an invertible ${\displaystyle n\times n}$ matrix, then the action is given by

${\displaystyle \mathbf {f} R=\left(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}\right).}$

Let F be the set of all ordered bases. Then F is a principal homogeneous space for GL(n). Let W be a vector space and let ${\displaystyle \rho }$ be a representation of GL(n) on W (that is, a group homomorphism${\displaystyle \rho$ :{\text{GL}}(n)\to {\text{GL}}(W)} ). Then a tensor of type ${\displaystyle \rho }$ is an equivariant map${\displaystyle T:F\to W}$. Equivariance here means that

${\displaystyle T(FR)=\rho \left(R^{-1}\right)T(F).}$

When ${\displaystyle \rho }$これは一般線形群のテンソル表現であり、多次元配列としてのテンソルの通常の定義を与えます。この定義は多様体上のテンソルを記述するためによく使用され、 ^{[ 7 ]}他の群にも容易に一般化できます。^{[ 5 ]}

多次元配列アプローチを用いたテンソルの定義の欠点は、定義されたオブジェクトが、本質的に幾何学的なオブジェクトに期待されるように、基底に依存しないことが定義から明らかではないことです。変換法則が基底からの独立性を保証することを示すことは可能ですが、より本質的な定義が好まれる場合もあります。微分幾何学でよく用いられるアプローチの1つは、固定された（有限次元の）ベクトル空間Vに対してテンソルを定義することです。これは通常、多様体の接空間のような、何らかの幾何学的意味を持つ特定のベクトル空間とみなされます。^{[ 8 ]} このアプローチでは、タイプ( p , q )テンソルTは多重線形写像として定義されます。

${\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ copies}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ copies}}}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

ここで、V ^∗は対応する共ベクトルの双対空間であり、各引数に関して線形である。上記では、Vは実数上のベクトル空間であると仮定している。${\displaystyle \mathbb {R} }$より一般的には、 V は任意の体F (例えば複素数)上で取ることができ、 Fはを置き換える。${\displaystyle \mathbb {R} }$多重線形写像の終域として。

Vの基底 { e _j }とV ^∗の正準共基底 { ε ⁱ }に( p , q )型の多重線形写像T を適用することにより、

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}}\right),}$

( p + q )次元の成分配列が得られます。基底の選択を変えると、異なる成分が得られます。しかし、Tはすべての引数に関して線形であるため、成分は多重線形配列の定義で使用されるテンソル変換法則を満たします。したがって、 Tの成分の多次元配列は、その定義に従ってテンソルを形成します。さらに、このような配列は、ある多重線形写像Tの成分として実現できます。このことから、多重線形写像をテンソルの根底にある本質的なオブジェクトとみなす動機が生まれます。

テンソルを多重線形写像とみなす場合、ベクトル空間Vの二重双対V ^∗∗、すなわち双対ベクトル空間V ^∗上の線形汎関数の空間をベクトル空間Vと同一視するのが一般的です。Vからその二重双対への自然な線形写像は常に存在し、それはV ^{∗の線形形式を}Vのベクトルに対して評価することによって得られます。この線形写像は有限次元では同型写像であり、その場合、 V をその二重双対と同一視することがしばしば都合が良いのです。

数学的な応用によっては、より抽象的なアプローチが役立つ場合があります。これは、ベクトル空間のテンソル積の要素を用いてテンソルを定義することで実現できます。ベクトル空間のテンソル積は、ここで説明されているように、普遍的な性質によって定義されます。

この文脈では、型( p , q )テンソルは、ベクトル空間のテンソル積の要素として定義される。^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ copies}}}.}$

Vの基底v _iとWの基底w _{j は}、自然にテンソル積V ⊗ Wの基底v _i ⊗ w _jを誘導します。テンソルTの成分は、 Vの基底{ e _i }とその双対基底{ ε ^j }から得られる基底に関するテンソルの係数です。

${\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q}}.}$

テンソル積の性質を用いることで、これらの成分が型( p , q )テンソルの変換法則を満たすことが示される。さらに、テンソル積の普遍性により、このように定義されたテンソルと多重線形写像として定義されたテンソルとの間に一対一の対応関係が成立する。

この1対1の対応は、有限次元の場合、ベクトル空間とその二重双対空間の間に標準的な同型写像が存在するため、以下の方法で実現できます。

${\displaystyle U\otimes V\cong \left(U^{**}\right)\otimes \left(V^{**}\right)\cong \left(U^{*}\otimes V^{*}\right)^{*}\cong \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$

最後の行は、テンソル積の普遍的な性質、つまりマップとマップの間に1対1の対応関係があるという性質を利用しています。${\displaystyle \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$そして${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(U^{*}\otimes V^{*};\mathbb {F} \right)}$[ ^{11 ]​}

テンソル積は非常に一般的に定義することができ 、例えば環上の任意の加群を含むことも可能です。原理的には、「テンソル」とは任意のテンソル積の要素であると定義することもできます。しかし、数学文献では通常、テンソルという用語は、上記のように、単一のベクトル空間Vとその双対の任意の数のコピーのテンソル積の要素に限定して使用されます。

これまでのテンソルの議論では、関係する空間の次元が有限であることを前提としており、これらの構成によって得られるテンソルの空間は自然に同型である。^{[注2 ]} テンソル積と多重線形写像に基づくテンソルの空間の構成は、基本的に変更を加えることなく、ベクトル束またはコヒーレント層に一般化できる。^{[ 12 ]} 無限次元ベクトル空間の場合、同値でない位相は同値でないテンソルの概念につながり、これらのさまざまな同型性は、テンソルが正確に何を意味するかによって成り立つ場合と成り立たない場合がある（位相テンソル積を参照）。いくつかの応用では、有限次元の場合と最も類似した性質を持つヒルベルト空間のテンソル積が意図されている。より現代的な見解では、テンソルの最も重要な性質を符号化するのは、それらの圏の特定のモデルではなく、対称モノイド圏としてのテンソルの構造である。^{[ 13 ]}

多くの応用分野、特に微分幾何学や物理学では、空間内の点の関数である成分を持つテンソルを考えるのが自然である。これがリッチの原著の舞台であった。現代の数学用語では、このような対象はテンソル場と呼ばれ、しばしば単にテンソルと呼ばれる。^{[ 1 ]}

この文脈では、接ベクトル空間に対して座標基底が選択されることが多い。変換法則は、座標関数の偏微分を用いて表現することができる。

${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right),}$

座標変換を定義する、^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).}$

リッチ計算は、テンソルの添え字に関する現代的な形式と表記法であり、内積と外積、共変性と反変性、テンソル成分の総和、対称性と反対称性、偏微分と共変微分を示します。

アインシュタインの総和規約では、総和記号を記述する必要がなく、総和は暗黙のうちに示されます。添え字が繰り返される場合は、その添え字について総和が計算されます。テンソル式の項で添え字iが 2 回使用されている場合、その項はすべてのiについて総和されることを意味します。このようにして、複数の異なる添え字のペアを総和することができます。

ペンローズの図式表記法は、テンソルの記号を図形に、添え字を線や曲線に置き換える図式表記法です。基底要素に依存せず、添え字に記号を用いる必要もありません。

抽象添え字表記法は、添え字を数値ではなく不定値として扱うことでテンソルを記述する方法である。この表記法は、添え字の表現力と添え字を用いない表記法の基底非依存性を両立させている。

テンソルの成分フリーな扱いでは、テンソルが基底に依存しないことを強調する表記法が用いられ、ベクトル空間のテンソル積によって定義されます。

テンソル積は、2 つのテンソルSとTを受け取り、新しいテンソルS ⊗ Tを生成します。その次数は、元のテンソルの次数の合計です。多重線形マップとして記述する場合、テンソル積は単純に 2 つのテンソルを乗算します。 $${\displaystyle (S\otimes T)(v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1},\ldots ,v_{n+m})=S(v_{1},\ldots ,v_{n})T(v_{n+1},\ldots ,v_{n+m}),}$$ これにより、すべての引数に関して線形なマップが再び生成されます。コンポーネントに関しては、2 つの入力テンソルのコンポーネントをペアごとに乗算する効果があります。 $${\displaystyle (S\otimes T)_{j_{1}\ldots j_{k}j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{1}\ldots i_{l}i_{l+1}\ldots i_{l+n}}=S_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{l}}T_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}.}$$Sが型( l , k )で、Tが型( n , m )の 場合、テンソル積S ⊗ Tは型( l + n , k + m )になります。

テンソル縮約は、型( n , m )テンソルを型( n -1, m -1)テンソルに縮約する操作であり、トレースはその特殊なケースです。これにより、テンソルの全次数が 2 減少します。この操作は、指定された反変インデックスと指定された共変インデックスが同じである成分を合計して新しい成分を生成することによって実現されます。これら 2 つのインデックスが異なる成分は破棄されます。たとえば、(1, 1) -テンソル${\displaystyle T_{i}^{j}}$スカラーに縮約できる${\displaystyle T_{i}^{i}}$ここでも総和は暗黙のうちに示されています。(1, 1)テンソルが線形写像として解釈される場合、この操作はトレースとして知られています。

この縮約は、各テンソルからインデックスを縮約するために、テンソル積と組み合わせてよく使用されます。

縮約は、テンソルを単純なテンソルの線形結合に分解し、次に V ∗ の因子を V の因子に適用することによって、空間 V と空間 V ∗のコピーの^{テンソル積の要素として}定義することによっても理解^できます。たとえば、テンソル${\displaystyle T\in V\otimes V\otimes V^{*}}$線形結合として表すことができる

${\displaystyle T=v_{1}\otimes w_{1}\otimes \alpha _{1}+v_{2}\otimes w_{2}\otimes \alpha _{2}+\cdots +v_{N}\otimes w_{N}\otimes \alpha _{N}.}$

Tの最初のスロットと最後のスロットの縮約は次のベクトルになります。

${\displaystyle \alpha _{1}(v_{1})w_{1}+\alpha _{2}(v_{2})w_{2}+\cdots +\alpha _{N}(v_{N})w_{N}.}$

内積（計量とも呼ばれる）gを持つベクトル空間では、計量テンソルまたはその逆とのトレースを形成することによって、2つの反変または2つの共変インデックスを削除するために、縮約という用語が使用されます。たとえば、(2, 0)テンソル${\displaystyle T^{ij}}$スカラーに縮約できる${\displaystyle T^{ij}g_{ij}}$（ここでも総和の慣例を前提とする。）

ベクトル空間に非退化双線形形式（この文脈ではしばしば計量テンソルと呼ばれる）が備わっている場合、反変（上）添え字を共変（下）添え字に変換したり、その逆を行ったりする操作を定義できます。計量テンソルは（対称）（ 0, 2）テンソルです。したがって、積において、テンソルの上添え字を計量テンソルの下添え字のいずれかと縮約することができます。これにより、前のテンソルと同じ添え字構造を持つ新しいテンソルが生成されますが、下添え字は一般的に縮約された上添え字と同じ位置に表示されます。この操作は、図解上は添え字を下げる操作としてよく知られています。

逆に、逆演算も定義でき、これはインデックスの繰り上げと呼ばれます。これは、 (2, 0)テンソルとの積に対する同様の縮約と同等です。この逆計量テンソルの成分は、元の計量テンソルの成分の行列逆行列です。

連続体力学には重要な例があります。固体または流体内部の応力^{[ 29 ]}はテンソル場によって記述されます。応力テンソルとひずみテンソルはどちらも2階テンソル場であり、一般的な線形弾性材料では4階弾性テンソル場によって関連付けられています。詳細には、3次元固体オブジェクトの応力を定量化するテンソルは、3×3配列として都合よく表現できる成分を持ちます。立方体形状の微小体積セグメントの3つの面はそれぞれ、与えられた力を受けます。力のベクトル成分も3つです。したがって、この立方体形状の微小セグメントの応力を記述するには、3×3、つまり9つの成分が必要です。この固体の境界内には、それぞれ9つの量で記述する必要のあるさまざまな応力量の全体塊があります。したがって、2階テンソルが必要です。

材料内部の特定の表面要素が特定されると、その表面の一方の側の材料がもう一方の側に力を及ぼします。一般に、この力は表面に直交するのではなく、表面の向きに線形的に依存します。これは、線形弾性論では(2, 0)型のテンソルで記述されますが、応力は点ごとに変化する可能性があるため、より正確には(2, 0)型のテンソル場で記述されます。

一般的な用途としては以下のようなものがあります。

• 電磁気学における電磁テンソル（またはファラデーテンソル）
• 連続体力学における変形を記述するための有限変形テンソルと、ひずみを記述するためのひずみテンソル
• 誘電率と電気感受率は異方性媒体におけるテンソルである。
• 一般相対性理論における4元テンソル（例えば、応力エネルギーテンソル）は、運動量の流れを表すために用いられる。
• 球面テンソル演算子は、球面座標における量子角運動量演算子の固有関数である。
• 拡散テンソルは、拡散テンソルイメージングの基礎であり、生物学的環境における拡散速度を表す。
• 量子力学と量子コンピューティングは、量子状態の組み合わせにテンソル積を利用する。

2次テンソルの概念は、しばしば行列の概念と混同される。しかし、高次のテンソルは、科学や工学において重要な概念を捉えており、その発展に伴い、多くの分野でその有効性が実証されてきた。例えば、コンピュータビジョンの分野では、三焦点テンソルが基本行列を一般化したものである。

非線形光学の分野では、極端な電場下での物質の分極密度の変化を研究します。発生する分極波は、非線形感受率テンソルを介して発生電場と関連付けられます。分極P が電場Eに線形的に比例しない場合、媒質は非線形と呼ばれます。十分に弱い電場の場合、永久双極子モーメントが存在しないと仮定すると、PはEのテイラー級数で表され、その係数は非線形感受率です。

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots .\!}$

ここ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$は線形感受率であり、${\displaystyle \chi ^{(2)}}$ポッケルス効果と 第二高調波発生をもたらし、${\displaystyle \chi ^{(3)}}$これはカー効果を示す。この展開は、対象分野において高階テンソルが自然に現れる仕組みを示している。

テンソルの特性、特にテンソル分解により、機械学習において高次元データを人工ニューラルネットワークに埋め込むことが可能になりました。このテンソルの概念は、数学や物理学の他の分野における概念とは大きく異なり、テンソルは多次元配列と同じものです。抽象的に言えば、テンソルは空間のテンソル積に属し、各空間は固定基底を持ち、因子空間の次元は異なる場合があります。したがって、この文脈におけるテンソルの例としては、長方形行列が挙げられます。長方形行列には、各要素の位置を示す水平軸と垂直軸の2つの軸がありますが、より一般的なテンソルには、それが属するテンソル積の因子の数と同じ数の軸があり、テンソルの要素は整数のタプルと呼ばれます。さまざまな軸は一般に異なる次元を持ちます。

テンソル積のベクトル空間は必ずしも同じである必要はなく、このようなより一般的なテンソル積の要素は「テンソル」と呼ばれることもあります。たとえば、テンソル積空間V ⊗ Wの要素は、このより一般的な意味での 2 階の「テンソル」であり、^{[ 30 ]}同様に、 d階のテンソルは、 d 個の異なるベクトル空間のテンソル積の要素として定義できます。^{[ 31 ]}前述の意味での タイプ( n , m )テンソルも、このより一般的な意味でのn + m階のテンソルです。テンソル積の概念は、環上の任意のモジュールに拡張できます。

テンソルの概念は、さまざまな方法で無限次元に一般化できます。たとえば、ヒルベルト空間のテンソル積による方法があります。^{[ 32 ]}非線形解析 でよく見られるテンソルの概念を一般化するもう 1 つの方法は、多重線形写像の定義によるもので、有限次元ベクトル空間とその代数的双対の代わりに、無限次元バナッハ空間とその連続双対を使用します。^{[ 33 ]}したがって、テンソルはバナッハ多様体^{[ 34 ]}とフレシェ多様体 上に自然に存在します。

均質な媒体がR ³を満たしていると仮定し、その媒体の密度はkg⋅m ⁻³単位の単一のスカラー値ρで表されるとする。領域Ωの質量 (kg) は、ρに領域Ωの体積を掛けるか、あるいは等価的に定数 ρ を領域全体で積分することによって得られる。

${\displaystyle m=\int _{\Omega }\rho \,dx\,dy\,dz,}$

ここで、直交座標x、y、zはメートル単位で測定されます。長さの単位をセンチメートルに変更する場合は、座標関数の数値を 100 倍に再スケーリングする必要があります。

${\displaystyle x'=100x,\quad y'=100y,\quad z'=100z.}$

密度ρの数値も100 ⁻³ m ³ /cm ³だけ変換して補正する必要があるので、質量の数値は依然としてkg単位で積分で与えられます。${\displaystyle \rho \,dx\,dy\,dz}$。 したがって${\displaystyle \rho '=100^{-3}\rho }$^（単位はkg⋅cm⁻³）

より一般的には、デカルト座標x、y、z が線形変換を受ける場合、積分に関する変数変換の公式により、密度ρの数値は座標変換の行列式の絶対値の逆数の係数で変化し、積分が不変となるようにします。座標変換マップの行列式の絶対値の逆数でスケーリングされるこのような量をスカラー密度と呼びます。非定数密度をモデル化するために、ρは変数x、y、zの関数(スカラー場) であり、曲線座標変換の下では、座標変換のヤコビアンの逆数で変換されます。本質的な意味の詳細については、「多様体上の密度」を参照してください。

テンソル密度は、座標変換の下でテンソルのように変換されますが、それに加えて、座標変換の行列式の絶対値の係数を取り込みます。^{[ 35 ]}

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left|\det R\right|^{-w}\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

ここでwは重みと呼ばれます。一般に、この関数のべき乗またはその絶対値を掛けた任意のテンソルは、テンソル密度、または重み付きテンソルと呼ばれます。^{[ 36 ] [ 37 ]}テンソル密度の例としては、電磁気の電流密度があります。

座標のアフィン変換の下では、テンソルは各インデックス上で変換自体の線形部分（またはその逆）によって変換されます。これらは一般線形群の有理表現から得られます。しかし、これはそのような対象が持つ可能性のある最も一般的な線形変換法則ではありません。テンソル密度は非有理ですが、それでも半単純表現です。さらに別のクラスの変換は、一般線形群の対数表現から得られます。これは可約ですが半単純ではない表現であり、^{[ 38 ]}変換法則を持つ( x , y ) ∈ R2から構成されます^。

${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+y\log \left|\det R\right|,y).}$

テンソルの変換法則は、一般的な線形変換（または、局所微分同相写像などのあるクラス内の他の変換）の下で、許容座標系のカテゴリ上のファンクターとして振る舞います。これにより、テンソルは、座標変換の下で関数的に変換する座標系の関数であるという技術的な意味で、幾何学的オブジェクトの特殊なケースとなります。^{[ 39 ]}より一般的な種類の変換法則に従うオブジェクトの例としては、ジェットや、さらに一般的には自然束 があります。^{[ 40 ] [ 41 ]}

回転によってある正規直交基底（フレームと呼ばれる）から別の正規直交基底へ変換すると、テンソルの成分はその回転によって変換されます。この変換は、フレーム空間を通る経路には依存しません。ただし、フレーム空間は単純に連結されていません（方向エンタングルメントとプレートトリックを参照）。フレーム空間には、開始と終了の構成が同じで、互いに変形できない連続経路が存在します。この経路依存性を組み込んだ追加の離散不変量を各フレームに付加することが可能で、その値は（局所的に）±1になります。^{[ 42 ]} スピノルは、フレーム内の回転の下でテンソルのように変換するオブジェクトですが、この離散不変量の値によって決定される符号が異なる場合があります。^{[ 43 ] [ 44 ]}

スピノルは回転群のスピン表現の要素であり、テンソルはそのテンソル表現の要素である。他の古典群もテンソル表現を持ち、したがって群と互換性のあるテンソルも存在するが、すべての非コンパクト古典群は無限次元のユニタリ表現も持つ。

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