数学的構造の同等の定義

数学では、同等の定義が多少異なる 2 つの方法で使用されます。まず、特定の数学理論 (たとえば、ユークリッド幾何学) では、概念 (たとえば、楕円や極小曲面) に複数の定義がある場合があります。これらの定義は、特定の数学的構造(この場合はユークリッド空間) のコンテキストでは同等です。次に、数学的構造には複数の定義がある場合があります (たとえば、位相空間には少なくとも7 つの定義があり、順序体には少なくとも2 つの定義があります)。

前者の場合、2 つの定義の同値性とは、数学的オブジェクト (たとえば、幾何学的物体) が、他の定義を満たす 場合にのみ、 1 つの定義を満たすことを意味します。

後者の場合、構造体はオブジェクトよりも抽象的であるため、(構造体の 2 つの定義間の) 同等性の意味はより複雑になります。多くの異なるオブジェクトが同じ構造体を実装する場合があります。

自然数は、0 = {}、1 = {0} = {{ }}、2 = {0, 1} = {{ }、{{ }}}、3 = {0, 1, 2} = {{ }、{{ }}、{{ }、{{ }}}} などとして実装される場合があります。または、0 = {}、1 = {0} ={{ }}、2 = {1} = {{{ }}} などとして実装される場合があります。これらは、集合論における自然数の2 つの異なるが同型の実装です。これらは、ペアノの公理のモデルとして同型です。つまり、3 つ組 ( N、0、S ) で、Nは集合、 0 はNの要素、S (後継関数と呼ばれる) はNからそれ自身への写像(適切な条件を満たす) です。最初の実装ではS ( n ) = n ∪ { n } です。2 番目の実装ではS ( n ) = { n } です。ベナセラフの識別問題で強調されているように、2つの実装は0 ∈ 2かどうかという質問に対する答えが異なります。しかし、これは自然数に関する正当な質問ではありません（関係∈は関連するシグネチャによって規定されていないため、次のセクションを参照）。^{[詳細1]同様に、}複素数に対しても異なるが同型の実装が使用されています。

自然数に対する後継関数S は、算術演算、加算と乗算、および全順序をもたらし、 Nに順序付き半環構造を付与します。これは、演繹された構造の例です。順序付き半環構造 ( N、 +、 ·、 ≤ ) は、ペアノ構造 ( N、 0、S ) から次の手順で演繹されます。 n + 0 = n、   m + S ( n ) = S ( m + n )、   m · 0 = 0、   m · S ( n ) = m + ( m · n )、およびm ≤ nである場合は、 m + k = nとなるk ∈ Nが存在する場合のみです。また逆に、ペアノ構造は、順序付き半環構造から次のように演繹されます。S ( n ) = n + 1、および 0 は 0 + 0 = 0 によって定義されます。これは、 2 つの手順によって N上の 2 つの構造が同等であることを意味します。

前の節で述べた自然数の 2 つの同型実装は、3 つ組 ( N ,0, S )、つまり定数記号 0 と単項関数Sからなる同じシグネチャ(0, S ) の構造として同型です。順序付き半環構造 ( N , +, ·, ≤) には、2 つの 2 項関数と 1 つの 2 項関係からなる別のシグネチャ (+, ·, ≤) があります。同型性の概念は、異なるシグネチャの構造には適用されません。特に、ペアノ構造は順序付き半環と同型にはなりません。ただし、ペアノ構造から演繹された順序付き半環は、別の順序付き半環と同型になることがあります。異なるシグネチャの構造間のこのような関係は、暗号同型性と呼ばれることがあります。

構造は集合論ZFC 、またはNBG、NFU、ETCSなどの他の集合論内で実装されることがある。 ^{[1]あるいは、構造は}一階述語論理、二階述語論理、高階述語論理、型理論、ホモトピー型理論などの枠組みで扱われることもある。 ^[詳細2]

「数学は、数学的構造のような単一の概念によって完全に説明することはできません。しかし、ブルバキの構造主義的アプローチは、私たちが持っている中で最良のものです。」(Pudlák 2013、3 ページ)

「数学的構造の概念は今日では明白であるように思われるかもしれないが、少なくとも 20 世紀中頃までは明確にされていなかった。その後、ブルバキ プロジェクトの影響、そしてその後のカテゴリー理論の発展によって、この概念が明確にされた」(nLab)。

ブルバキによれば、与えられた集合X上の集合のスケールは、任意の組み合わせで、有限回の直積とべき集合を取ることによってXから生じるすべての集合から構成される。例： X；X × X；P ( X ); P ( P ( X × X ) × X × P ( P ( X ))) × X。（ここで、A × B はAとBの積であり、P ( A ) はAのべき集合である。）特に、元 0 ∈ Nと単項関数S  : N → Nからなるペア（0、 S ）は、 N × P ( N × N )に属します（関数は直積のサブセットであるため）。 2 つの二項関数N × N → NとN上の 1 つの二項関係からなるトリプル（+、·、≤）は、 P ( N × N × N ) × P ( N × N × N ) × P ( N × N )に属します。同様に、集合上のあらゆる代数構造は、X上の集合のスケール内の対応する集合に属します。

集合X上の非代数的構造には、多くの場合、 Xの部分集合の集合（つまり、P ( X ) の部分集合、言い換えれば、P ( P ( X )) の要素）が含まれます。たとえば、X上の位相と呼ばれる位相空間の構造は、「開」集合の集合として扱われます。また、測定可能な空間の構造は、 「測定可能な」集合のσ 代数として扱われます。どちらもP ( P ( X ) )の要素です。これらは 2 次構造です。^[2]

より複雑な非代数的構造は、代数的要素と非代数的要素を組み合わせたものです。たとえば、位相群の構造は、位相と群の構造から構成されます。したがって、これはP ( P ( X )) とスケール内の別の (「代数的」) セットの積に属します。この積もスケール内のセットです。

2 つの集合X、Yと、単射 f  : X → Yが与えられた場合、スケール セット間の対応する単射を構築します。つまり、単射X × X → Y × Y は( x ₁、x ₂ ) を ( f ( x ₁ )、f ( x ₂ ) ) に送ります。単射P ( X ) → P ( Y ) は、 XのサブセットA をYの像f ( A )に送ります。以下同様に、再帰的に行われます。スケール セットは、スケール セットの積またはスケール セットのべき乗セットのいずれかであるため、2 つの構成のいずれかが適用されます。

( X , U ) と ( Y , V ) を同じシグネチャの 2 つの構造とします。この場合、U はスケール セットS _Xに属し、V は対応するスケール セットS _Yに属します。一対一表現f  : X → Yから構築された一対一表現F  : S _X → S _Yを使用して、次を定義します。

F ( U ) = Vならば、 f は( X , U ) と ( Y , V )の間の同型である。

この同型性の一般的な概念は、以下に挙げる多くのそれほど一般的ではない概念を一般化します。

• 代数構造の場合:同型性は全単射準同型性です。
• 特に、ベクトル空間の場合：線型一対一。
• 部分的に順序付けられた集合の場合:順序同型性。
• グラフの場合:グラフ同型性。
• より一般的には、二項関係を持つ集合に対して、関係保存同型性があります。
• 位相空間の場合:同相写像または位相同型写像または双連続関数。
• 一様空間の場合:一様同型。
• 距離空間の場合:全単射等長写像。
• 位相群の場合:基になる位相空間の同相でもある群同型。
• 位相ベクトル空間の場合: ベクトル空間の同型であり、基礎となる位相空間の同相でもある。
• バナッハ空間の場合:全単射線型等長変換。
• ヒルベルト空間の場合：ユニタリ変換。
• リー群の場合:その逆も滑らかな群準同型である、全単射の滑らかな群準同型。
• 滑らかな多様体の場合:微分同相写像。
• シンプレクティック多様体の場合：シンプレクト同相写像。
• リーマン多様体の場合：等長微分同相写像。
• 共形空間の場合:共形微分同相写像。
• 確率空間の場合:逆写像も可測かつ測度保存となる、全単射の可測かつ測度保存写像。
• アフィン空間の場合: 全単射アフィン変換。
• 射影空間の場合：ホモグラフィ。

実際、ブルバキは 2 つの追加機能を規定しています。まず、単一の集合Xではなく、複数の集合X ₁、...、X _n (いわゆる主基底集合) を使用できます。ただし、この機能はあまり役に立ちません。上記のすべての項目は、単一の主基底集合を使用します。2 番目に、いわゆる補助基底集合E ₁、...、E _{m を}使用できます。この機能は広く使用されています。実際、ベクトル空間の構造は、加算X × X → Xだけでなく、スカラー乗算R × X → X ( Rがスカラー体の場合) も規定します。したがって、R は補助基底集合 (「外部」とも呼ばれます^[3] ) です。集合のスケールは、すべての基底集合 (主と補助の両方) から直積とべき集合を取ることによって生じるすべての集合で構成されます。それでも、写像f (同型である可能性があります)はXにのみ作用し、補助集合には恒等写像が付与されます。(ただし、主集合がn 個の場合は、 n個の写像になります。)

ブルバキがカテゴリーに言及せずに定式化したいくつかのステートメントは、カテゴリー理論の言語で簡単に再定式化できます。まず、いくつかの用語について説明します。

• 集合のスケールは「階層構成スキーム」^[4]によってインデックス付けされ、 「型」[ ^{5 ] とも呼ばれます。 [6]}たとえば、集合P ( P ( X × X ) × X × P ( P ( X ))) × Xは、集合Xを式「P ( P ( a × a ) × a × P ( P ( a ))) × a」に変数aについて代入したものと考えることができます。この式は、対応する階層構成スキームです。^{[詳細 3]} (すべての構造に対して定義されているこの概念は、代数構造に対してのみ定義されているシグネチャの一般化と考えることができます。) ^{[詳細 4]}
• Set* を集合と全単射の群を表すものとします。つまり、オブジェクトが (すべての) 集合であり、射が (すべての) 全単射であるカテゴリです。

命題。 ^{[7]各階層構成スキームは、} Set*からそれ自身への関数を導く。

特に、集合Xの置換群はあらゆるスケール集合S _Xに作用します。

もう 1 つの命題を定式化するには、「構造の種」という概念が必要です。これは、階段構成スキームは構造に関する予備的な情報しか提供しないためです。たとえば、可換群と (任意の) 群は、同じ階段構成スキームの 2 つの異なる種です。もう 1 つの例: 位相空間と測定可能空間。これらは、いわゆる種の公理において異なります。この公理は、グループの場合の「乗算は結合的である」、位相空間の場合の「開集合の和集合は開集合である」など、必要なすべてのプロパティの結合です。

• 構造の種は、階層構築スキームと種の公理で構成されます。

命題。 ^{[8]構造のそれぞれの種は、} Set*からそれ自身への関数を導く。

例: 群の種に対して、関手F は集合X をX上のすべての群構造の集合F ( X ) に写します。位相空間の種に対して、関手F は集合X をX上のすべての位相の集合F ( X ) に写します。f  : X → Yの全単射に対応する射F ( f ): F ( X ) → F ( Y )は構造の転送です。Y 上の位相はX上の位相に全単射に対応します。群構造などについても同様です 。

特に、与えられた集合上の与えられた種のすべての構造の集合は、対応するスケール集合S _X上の置換群の作用に対して不変であり、別のスケール集合P ( S _X )上の群の作用の不動点である。しかし、この作用の不動点のすべてが構造の種に対応するわけではない。^{[詳細 5]}

2つの種が与えられたとき、ブルバキは「演繹の手順」（最初の種の構造から2番目の種の構造を導き出す手順）という概念を定義した。^[9]互いに逆の演繹手順のペアは、「同等の種」という概念につながる。^[10]

例: 位相空間の構造は、開集合位相または閉集合位相として定義できます。 対応する 2 つの演繹手順は一致します。それぞれが、Xのすべての指定された部分集合をその補集合に置き換えます。 この意味で、これらは 2 つの同等な種です。

ブルバキの一般的な定義では、演繹手順に主基底セットの変更が含まれる場合がありますが、この場合はここでは扱いません。カテゴリ理論の言語では、次の結果が得られます。

命題。 ^[10] 2種類の構造間の同値性は、対応する関数間の 自然な同型性につながる。

しかし、一般的には、これらの関数間のすべての自然同型が種間の同値性に対応するわけではありません。 ^{[詳細 6]}

「我々は同型構造を区別せず、『2つの構造は同型性を除いて同じである』とよく言います。」^[11]

「構造を研究するときはその形だけに興味があるが、その存在を証明するにはそれを構築する必要がある。」^[12]

「もちろん数学者は、実際には同型構造を識別することに慣れていますが、彼らは通常、関係するオブジェクトが「実際には」同一ではないことを知りながら、「表記法の乱用」またはその他の非公式な手段によってそれを行います。」^[13]（根本的に優れたアプローチが期待されていますが、現時点では、2014年夏の上記の決定的な本では構造について詳しく述べられていません。）

実際には、同等の構造種を区別することはない。^[10]

通常、自然数に基づくテキスト (たとえば、記事「素数」) では、自然数の定義は指定されません。同様に、位相空間に基づくテキスト (たとえば、記事「ホモトピー」または「帰納的次元」) では、位相空間の定義は指定されません。したがって、読者と著者が異なる定義に従ってテキストを異なる方法で解釈する可能性があります (むしろその可能性は高いです)。それでもコミュニケーションは成功しており、このような異なる定義は同等であると考えられることを意味します。

位相空間に精通している人は、近傍、収束、連続性、境界、閉包、内部、開集合、閉集合の間の基本的な関係を知っており、これらの概念の一部が位相空間の定義で規定される「主要な」概念であり、他の概念が「主要な」概念の観点から特徴付けられる「二次的な」概念であることを知る必要はありません。さらに、位相空間のサブセット自体が位相空間であり、位相空間の積でもあることを知っていれば、定義に関係なくいくつかの新しい位相空間を構築できます。

したがって、実際には、集合上のトポロジーは、必要なすべての概念（およびコンストラクタ）を提供する抽象データ型のように扱われますが、「プライマリ」概念と「セカンダリ」概念の区別は隠されています。同じことが他の種類の数学的構造にも当てはまります。「興味深いことに、集合論における構造の形式化は、コンピュータの構造の形式化と同様のタスクです。」^[14]

すでに述べたように、2 種類の構造間の同値性は、対応する関数間の自然な同型性につながります。ただし、「自然」は「標準的」を意味するものではありません。自然な変換は一般に一意ではありません。

例。自然数の 2 つの同値な構造をもう一度考えてみましょう。1 つは「ペアノ構造」(0, S ) で、もう 1 つは順序付き半環の構造 (+, ·, ≤) です。集合Xに両方の構造が備わっている場合、一方ではX = { a ₀ , a ₁ , a ₂ , ... } となり、ここですべてのnについてS ( a _n ) = a _{n +1、0} = a ₀となります。他方ではX = { b ₀ , b ₁ , b ₂ , ... } となり、ここでb _{m + n} = b _m + b _n、b _{m · n} = b _m · b _nとなり、m ≤ nの場合にのみb _m ≤ b _nとなります。すべてのnについてa _n = b _nとなることを条件に、2 つの構造間の標準的な同値性が得られます。しかし、すべてのn > 1に対してa ₀ = b ₁、a ₁ = b ₀、a _n = b _nも必要となり、別の非標準的な自然同型が得られます。さらに、インデックス セット { 0, 1, 2, ... } のすべての順列は自然同型につながり、その数は無数にあります。

別の例。頂点の集合V = { 1, 2, ..., n }上の (単純な) グラフの構造は、隣接行列、つまりサイズn × nの (0,1) 行列(対角線上に 0 がある) によって記述できます。より一般的には、任意のVに対して、 V × V上の隣接関数を使用できます。標準的な同値性は、次の規則によって与えられます。「1」は「接続」(エッジで)、「0」は「接続されていない」を意味します。ただし、「0」は「接続されている」を意味し、「1」は「接続されていない」を意味するという別の規則を使用することもできます。この規則は、別の、自然ではあるが標準的ではない同値性をもたらします。この例では、標準性はむしろ慣習の問題です。しかし、これはより悪いケースです。「0」と「1」の代わりに、たとえば、平面R ²の 2 つの可能な方向(「時計回り」と「反時計回り」) を使用できます。この場合、標準的な規則を選択するのは困難です。

「自然」は明確に定義された数学的概念ですが、一意性を保証するものではありません。「標準」は一意性を保証しますが、一般的には多かれ少なかれ慣習的です。標準的な同等性の一貫した選択は、数学的構造の同等の定義の不可欠な要素です。

• パドラック、パベル（2013）、数学と計算複雑性の論理的基礎。やさしい入門、シュプリンガー。
• ブルバキ、ニコラ（1968）、数学の要素：集合論、ヘルマン（原著）、アディソン・ウェズリー（翻訳）。

• Feferman, S. (2010)、「論理性のための集合論的不変性基準」、Notre Dame Journal of Formal Logic、51 : 3–20、doi : 10.1215/00294527-2010-002。
• マーシャル、MV;チュアキ、R. (1991)、「型理論の文：同型性の下で保存される唯一の文」、The Journal of Symbolic Logic、56 (3): 932–948、doi :10.2178/jsl/1183743741。
• ユニバレント基礎プログラム (2013)、ホモトピー型理論: 数学のユニバレント基礎、高等研究所、arXiv : 1308.0729{{citation}}: CS1 メンテナンス: 場所が見つかりません 発行者 (リンク)。

• nLab:構造化集合「現代数学のほとんどすべてが構造化集合の例です。」(「例」セクションから引用)
• nLab: モデル理論における構造
• nLab: もの、構造、特性
• MathOverflow: 「標準」の定義は何ですか? 「経験則: X = Y と書くのに抵抗がない場合にのみ、X と Y の間に標準同型性があります」(Reid Barton)
• 抽象数学:数学的構造「構造を考えるときは、定義に含まれる情報だけでなく、すべての情報を含むと考えるのが最善です」(チャールズ ウェルズ)
• MathStackExchange: パスに依存しない方法で新しい構造を定義することに関する衒学的質問「我々は「位相空間はその開集合によって決定される」のような発言を続けるだろうが、「位相空間は...という順序付きペアである」のような発言は決してしないだろう」${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$
• MathStackExchange: 距離空間から位相空間を取得する、同様に「標準的」という用語に値する別の方法は存在しますか?