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数学において、平面とは無限に広がる二次元空間または平面のことです。平面は、点（0次元）、線（1次元）、そして三次元空間の二次元版と言えます。二次元ユークリッド空間のみを扱う場合は定冠詞が用いられるため、「ユークリッド平面」は空間全体を指します。
平面にはいくつかの概念を定義することができる。ユークリッド平面はユークリッド幾何学、特に平行線公準に従う。射影平面は、本来平行であるはずの2本の直線が交わる点に「無限遠点」を追加することで構成でき、どの2本の直線もちょうど1点で交わる。楕円平面は、実射影平面に計量を追加することでさらに定義できる。また、双曲幾何学に従い、負の曲率を持つ双曲平面を考えることもできる。
抽象的に言えば、位相以外の構造をすべて無視して、開円盤と同相な位相平面を得ることもできる。平面をアフィン空間とみなすと、距離の概念は欠如しているが共線性の概念を保持するアフィン平面が得られる。逆に、さらに構造を加えると、平面を複素線と呼ばれる1次元複素多様体とみなすこともできる。
数学、幾何学、三角法、グラフ理論、グラフ作成における多くの基本的なタスクは、2次元または平面空間で実行されます。[ 1 ]
ユークリッド幾何学において、平面とは無限に広がる 平らな二次元表面のことである。ユークリッド平面は、しばしば三次元空間の部分空間として現れる。典型的な例としては、無限に伸びて無限に薄いと仮定される部屋の壁が挙げられます。一方、実数のペアは平面上の点を記述するには十分だが、平面外の点との関係については、それらが周囲空間に埋め込まれていることを考慮する必要がある。。
楕円平面は、計量を持つ実射影平面です。ケプラーとデサルグは、グノモン投影法を用いて、平面σをそれに接する半球上の点と関連付けました。Oを半球の中心とすると、σ上の点Pは半球と交わる直線OPを決定し、 σ上の任意の直線L は、半球を大円の半分で交わる平面OLを決定します。半球は、O を通りσに平行な平面によって境界付けられます。σの通常の直線はこの平面に対応しません。代わりに、無限遠の直線がσに追加されます。このσの拡張内の任意の直線はOを通る平面に対応し、そのような平面の任意のペアはOを通る直線で交わるため、拡張内の任意の直線のペアは交わると結論付けることができます。交点は、平面の交点がσまたは無限遠の直線と交わる点にあります。したがって、平面上のすべての直線のペアは交わるという射影幾何学の公理が確認される。[ 2 ]
σ内のPとQが与えられたとき、それらの間の楕円距離は、通常ラジアンで測定される角度POQの尺度です。アーサー・ケイリーは、「距離の定義について」を書いたときに楕円幾何学の研究を開始しました。[ 3 ] : 82この幾何学における抽象化への試みは、フェリックス・クラインとベルンハルト・リーマンによって引き継がれ、非ユークリッド幾何学とリーマン幾何学につながりました。
数学において、射影平面とは、平面の概念を拡張した幾何学的構造である。通常のユークリッド平面では、2本の直線は通常1点で交わるが、交わらない直線のペア（すなわち平行線）も存在する。射影平面は、平行線が交わる「無限遠点」を追加した通常の平面と考えることができる。したがって、射影平面上の任意の2つの異なる直線は、ちょうど1点で交わる。
ルネサンス期の芸術家たちは、遠近法を用いた描画技法を発展させることで、この数学的分野の基礎を築きました。その典型的な例は、拡張ユークリッド平面としても知られる実射影平面です。 [ 4 ]この例は、少し異なる形で、代数幾何学、位相幾何学、射影幾何学において重要であり、 PG(2, R)、RP 2、P 2 (R) など様々な表記で表されます。複素射影平面のような無限の射影平面や、ファノ平面のような有限の射影平面など、他にも多くの射影平面があります。
射影平面は2次元射影空間である。すべての射影平面が3次元射影空間に埋め込めるわけではない。このような埋め込み可能性は、デザルグの定理として知られる性質の結果であり、すべての射影平面に共通する性質ではない。
平面は、通常の内積に関する等長写像である同型写像を持つ、おなじみの幾何学的構造に加えて、さまざまな抽象度で捉えることができる。それぞれの抽象度は、特定のカテゴリーに対応する。
一方の極端な例として、すべての幾何学的および計量的概念を捨てて位相平面を残すことができます。位相平面は、近接性の概念は保持しますが距離を持たない、理想化されたホモトピー的に自明な無限ゴムシートと考えることができます。位相平面には線形経路の概念がありますが、直線の概念はありません。位相平面、またはそれに相当する開円盤は、低次元位相に分類される曲面（または2次元多様体）を構成するために使用される基本的な位相近傍です。位相平面の同型写像はすべて連続全単射です。位相平面は、平面グラフを扱うグラフ理論の分野や、 4色定理などの結果の自然な文脈です。
平面はアフィン空間とみなすこともできる。アフィン空間の同型写像は、平行移動と非特異線形写像の組み合わせである。この観点からすると距離は存在しないが、任意の直線上の共線性と距離の比は保持される。
微分幾何学では、平面を2次元実多様体、すなわち微分構造が与えられた位相平面とみなします。この場合も距離の概念はありませんが、写像の滑らかさ、例えば微分可能な経路や滑らかな経路（適用される微分構造の種類によって異なります）といった概念が存在します。この場合の同型写像は、選択された微分可能性の次数を持つ全単射です。
抽象化の反対方向では、幾何学的平面に適合する体構造を適用することで、複素平面と複素解析の主要領域が得られます。複素体には、実数直線を固定する同型写像は、恒等写像と共役写像の2つしかありません。
実数の場合と同様に、平面も最も単純な1次元（複素数次元に関して）複素多様体、すなわち複素直線とみなすことができる。しかし、この観点は、平面を2次元実数多様体とみなす場合とは大きく異なる。同型写像はすべて複素平面の等角全単射であるが、可能な写像は複素数による乗算と平行移動の合成に対応するものに限られる。
さらに、平面が持つ幾何学は、曲率が常にゼロであるユークリッド幾何学だけではありません。立体投影を用いることで、平面に球面幾何学を与えることができます。これは、平面に接する球（床に置かれたボールのように）を置き、その頂点を取り除き、その頂点から球を平面に投影すると考えることができます。これは、地球表面の一部を平面地図に描く際に用いられる投影法の一つです。結果として得られる幾何学は、常に正の曲率を持ちます。
あるいは、平面に一定の負の曲率を与える計量を与えることで双曲平面を得ることもできる。後者の可能性は、空間次元が2つ、時間次元が1つという単純化された場合の特殊相対性理論に応用されている。（双曲平面は、3次元ミンコフスキー空間における時間的超曲面である。）
平面の一点コンパクト化は球面と同相である（立体射影を参照）。開円盤は「北極」が欠落した球面と同相であり、その点を加えることで（コンパクトな）球面が完成する。このコンパクト化の結果得られる多様体は、リーマン球面または複素射影線と呼ばれる。点のないユークリッド平面から球面への射影は微分同相写像であり、等角写像でもある。
平面自体は開円盤と同相（かつ微分同相）である。双曲平面の場合、このような微分同相写像は等角写像となるが、ユークリッド平面の場合はそうではない。
