構造物の輸送

数学、特に普遍代数学と圏論において、構造の輸送とは、数学的対象が、既存の構造を持つ別の対象と同型（あるいは同一視）となった結果、新たな構造とその標準的な定義を獲得する過程を指す。 ^[1]構造の輸送による定義は標準的なものとみなされる。

数学的構造は多くの場合、基礎となる空間を参照して定義されるため、構造の転送の多くの例には、空間とそれらの間のマッピングが含まれます。たとえば、と が上の内積であるベクトル空間であり、から への同型が存在する場合、次の規則によって上の内積を定義できます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle [v_{1},v_{2}]=(\phi (v_{1}),\phi (v_{2}))}$

が同型でない場合でもこの式は意味をなしますが、 の場合にのみ内積を定義します。そうでない場合、 は退化します。 の考え方は、と を「同じ」ベクトル空間として考えることができるというもので、この類推に従うと、内積をある空間から別の空間に移すことができます。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

より複雑な例は微分位相幾何学から来ており、そこには滑らかな多様体の概念が関係している。 がそのような多様体であり、 がに同相な位相空間である場合、 も滑らかな多様体として考えることができる。つまり、同相 が与えられれば、 上の座標チャートをを通して「引き戻す」ことによって上の座標チャートを定義できる。 上の座標チャートは、単射写像 とともに開集合であることを思い出すとよい。${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \phi \colon X\to M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$

ある自然数 について、 上のそのようなチャートを作成するには、次の規則を使用します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle U'=\phi ^{-1}(U)}$そして。${\displaystyle c'=c\circ\phi }$

さらに、チャート がを覆う ことが要求されます(転送されたチャート が を覆うという事実は、が一対一であるという事実から直ちにわかります)。 は滑らかな多様体なので、UとVが、それらのマップととともに上の 2 つのチャートである場合、合成、つまり「遷移マップ」 ${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle M}$${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle d\colon V\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\circ c^{-1}\colon c(U\cap V)\to \mathbb {R} ^{n}}$（の自己マップ）${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

は滑らかです。 の輸送チャートでこれを検証するには、 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \phi ^{-1}(U)\cap \phi ^{-1}(V)=\phi ^{-1}(U\cap V)}$、

そしてそれゆえ

${\displaystyle c'(U'\cap V')=(c\circ \phi )(\phi ^{-1}(U\cap V))=c(U\cap V)}$、 そして

${\displaystyle d'\circ (c')^{-1}=(d\circ \phi )\circ (c\circ \phi )^{-1}=d\circ (\phi \circ \phi ^ {-1})\circ c^{-1}=d\circ c^{-1}}$。

したがって、およびの遷移マップは、およびの遷移マップと同じであり、したがって滑らかである。つまり、は構造の転送を介して滑らかな多様体である。これは、一般的な構造の転送の特殊なケースである。^[2]${\displaystyle U'}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$

2 番目の例は、「構造の転送」が必ずしも望ましいわけではない理由も示しています。つまり、を平面、 を無限片側円錐とすることができます。円錐を「平坦化」すると、との同相写像が得られ、したがって 上の滑らかな多様体の構造が得られますが、円錐は「自然に」滑らかな多様体ではありません。つまり、 を3 次元空間のサブスペースと見なすことができますが、そのコンテキストでは円錐の点で滑らかではありません。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

さらに驚くべき例は、ミルナーによって発見されたエキゾチック球面の例です。これは、8 次元空間の 7 次元球面と同相だが微分同相ではない滑らかな多様体がちょうど 28 個あることを示しています。したがって、 2 つのオブジェクト間に 標準同型が存在する場合に、構造の転送が最も生産的になります。 ${\displaystyle S^{7}}$

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• 数学的構造の同等の定義#構造の転送; 同型性