均一な連続性

数学において、実関数${\displaystyle f}$実数の関数は、正の実数が存在する場合に一様連続であると言われる。${\displaystyle \delta }$関数値が任意の関数定義区間のサイズにわたって${\displaystyle \delta }$それらは、私たちが望む限り互いに近い値になります。言い換えれば、実数の均一連続実関数の場合、関数値の差が任意の正の実数よりも小さくなるようにしたい場合、${\displaystyle \varepsilon }$すると、正の実数が存在する。${\displaystyle \delta }$そのため${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$いかなる場合でも${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$長さの任意の区間${\displaystyle \delta }$の領域内で${\displaystyle f}$。

均一連続性と（通常の）連続性の違いは、均一連続性ではグローバルに適用可能な${\displaystyle \delta }$（関数値の差が以下になる関数定義域の区間の大きさ）${\displaystyle \varepsilon }$) のみに依存する${\displaystyle \varepsilon }$（通常の）連続性では、局所的に適用可能な${\displaystyle \delta }$それは両方に依存する${\displaystyle \varepsilon }$そして${\displaystyle x}$。したがって、一様連続性は連続性よりも強い連続性条件です。一様連続な関数は連続ですが、連続な関数は必ずしも一様連続ではありません。一様連続性と連続性の概念は、距離空間間で定義される関数にも拡張できます。

連続関数は、有界領域で有界でない場合、一様連続性を持たないことがあります。${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$の上${\displaystyle (0,1)}$あるいは、例えば無限領域で傾斜が制限されなくなる場合、${\displaystyle f(x)=x^{2}}$実数直線上。ただし、距離空間間の任意のリプシッツ写像は一様に連続であり、特に任意の等長写像（距離保存写像）は一様に連続である。

一般的な位相空間間の関数については連続性を定義できるが、一様連続性を定義するにはより構造的な定義が必要となる。この概念は、異なる点の近傍の大きさを比較することに基づいているため、距離空間、より一般的には一様空間が必要となる。

関数の場合${\displaystyle f:X\to Y}$メトリック空間${\displaystyle (X,d_{1})}$そして${\displaystyle (Y,d_{2})}$均一連続性と（通常の）連続性に関する以下の定義が成り立つ。

定義において、均一連続性と連続性の違いは、均一連続性にはグローバルに適用可能な${\displaystyle \delta }$（近隣地域の規模は${\displaystyle X}$関数値のメトリックのどの値に対して${\displaystyle Y}$より小さい${\displaystyle \varepsilon }$) のみに依存する${\displaystyle \varepsilon }$連続性においては局所的に適用可能な${\displaystyle \delta }$それは両方に依存します${\displaystyle \varepsilon }$そして${\displaystyle x}$連続性は関数の局所的な性質です。つまり、関数は${\displaystyle f}$特定の点において連続しているか否か${\displaystyle x}$関数のドメイン${\displaystyle X}$これは、その点の任意の小さな近傍における関数の値のみを調べることで決定できます。関数が区間上で連続であると言う場合、その関数は区間のすべての点で連続であることを意味します。対照的に、一様連続性は、の全体的な性質です。${\displaystyle f}$均一連続性の標準的な定義がすべての点を指すという意味で${\displaystyle X}$一方、自然な拡張に関して局所的な定義を与えることも可能である。${\displaystyle f^{*}}$（非標準点における特性は、${\displaystyle f}$ただし、任意の超実数値関数に対して一様連続性の局所的な定義を与えることは不可能である（下記参照） 。

関数の数学的定義${\displaystyle f}$区間上で連続である${\displaystyle I}$そして定義は${\displaystyle f}$は一様に連続である${\displaystyle I}$構造的に類似しており、以下に示すとおりである。

関数の連続性${\displaystyle f:X\to Y}$距離空間の場合${\displaystyle (X,d_{1})}$そして${\displaystyle (Y,d_{2})}$あらゆる点で${\displaystyle x}$区間の${\displaystyle I\subseteq X}$（つまり、${\displaystyle f}$インターバル中に${\displaystyle I}$）は、数量化から始まる式で表されます。

${\displaystyle \forall x\in I\;\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall y\in I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$、

（指標）$d_1(x,y)$そして$d_2(f(x),f(y))$は${\displaystyle |xy|}$そして${\displaystyle |f(x)-f(y)|}$のために${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$実数の集合に対して${\displaystyle \mathbb {R} }$)

一様な連続性の場合、第１、第２、第３の定量化の順序は（${\displaystyle \forall x\in I}$、${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$、 そして${\displaystyle \exists \delta >0}$）は回転しています。

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;\forall y\in I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$。

したがって、区間上での連続性については、任意の点を取る。${\displaystyle x}$区間の であり、距離 が存在しなければならない${\displaystyle \delta }$、

${\displaystyle \cdots \forall x\,\exists \delta \cdots ,}$

一方、均一な連続性の場合、単一の${\displaystyle \delta }$すべてのポイントで均一に作業する必要があります${\displaystyle x}$区間の

${\displaystyle \cdots \exists \delta \,\forall x\cdots .}$

一様連続関数はすべて連続ですが、その逆は成り立ちません。例えば、連続関数を考えてみましょう。${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}}$どこ${\displaystyle \mathbb {R} }$は実数の集合です。正の実数が与えられた場合${\displaystyle \varepsilon }$一様連続性には正の実数の存在が必要である。${\displaystyle \delta }$すべての${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$と${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$、 我々は持っています${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$。 しかし

${\displaystyle f\left(x+\delta \right)-f(x)=2x\cdot \delta +\delta ^{2},}$

そして${\displaystyle x}$値が高くなり、${\displaystyle \delta }$満足するには、どんどん低くする必要がある${\displaystyle |f(x+\beta )-f(x)|<\varepsilon }$正の実数${\displaystyle \beta <\delta }$そして与えられた${\displaystyle \varepsilon }$これは、どんなに小さくても、特定可能な正の実数は存在しないことを意味する。${\displaystyle \delta }$条件を満たす${\displaystyle f}$均一に連続するように${\displaystyle f}$一様連続ではない。

（コンパクト区間における）絶対連続関数は、一様連続である。一方、カントール関数は一様連続ではあるが、絶対連続ではない。

完全に有界な部分集合を一様連続関数で写像すると、その像は完全に有界になります。しかし、任意の距離空間の有界部分集合を一様連続関数で写像しても、必ずしも有界になるとは限りません。反例として、離散距離を持つ整数から通常のユークリッド距離を持つ整数への恒等関数を考えてみましょう。

ハイネ・カントールの定理は、コンパクト集合上のすべての連続関数は一様連続であることを主張する。特に、関数が実数直線の（有界な）閉区間上で連続であれば、その区間上で一様連続となる。連続関数のダルブー積分可能性は、この定理からほぼ直ちに導かれる。

実数値関数の場合${\displaystyle f}$連続している${\displaystyle [0,\infty )}$そして${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$存在する（そして有限である）ならば、${\displaystyle f}$は一様に連続である。特に、${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$連続関数の空間${\displaystyle \mathbb {R} }$無限遠で消滅するものは一様に連続である。これは、上述のハイネ・カントール定理の一般化である。${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )\subset C_{0}(\mathbb {R} )}$。

一様連続関数の場合、すべての正の実数に対して${\displaystyle \varepsilon >0}$正の実数が存在する${\displaystyle \delta >0}$2つの関数値${\displaystyle f(x)}$そして${\displaystyle f(y)}$最大距離を持つ${\displaystyle \varepsilon }$いつでも${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$最大距離内にある${\displaystyle \delta }$したがって、各点において${\displaystyle (x,f(x))}$グラフの、高さがわずかに小さい長方形を描くと${\displaystyle 2\varepsilon }$幅はそれよりわずかに小さい${\displaystyle 2\delta }$その点付近では、グラフは完全に長方形の高さ内に収まります。つまり、グラフは長方形の上辺または下辺を通過しません。一様連続でない関数では、これは不可能です。これらの関数では、グラフはグラフ上のどこかの点で長方形の高さ内に収まるかもしれませんが、グラフが長方形の上辺または下辺を通過する点がグラフ上に存在します。（グラフが長方形の上辺または下辺を貫通します。）

• 0 {\displaystyle \varepsilon >0} に対して、グラフの各点を囲む幅が 2 δ {\displaystyle 2\delta } よりわずかに小さく、高さが 2 ε {\displaystyle 2\varepsilon } よりわずかに小さい長方形を描くと、グラフは長方形の高さ内に完全に収まるような正の実数 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} が存在します。" id="mwAS4">
  一様連続関数の場合、各正の実数に対して${\displaystyle \varepsilon >0}$正の実数が存在する${\displaystyle \delta >0}$グラフの各点を幅がわずかに小さい長方形で囲むと、${\displaystyle 2\delta }$そして高さはそれより少し低い${\displaystyle 2\varepsilon }$グラフは長方形の高さ内に完全に収まっている。
• 0 {\displaystyle \varepsilon >0} が存在し、すべての正の実数 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} に対して、グラフ上に点が存在し、その点を中心として高さが 2 ε {\displaystyle 2\varepsilon } よりわずかに小さく、幅が 2 δ {\displaystyle 2\delta } よりわずかに小さい長方形を描くと、その長方形の真上または真下に関数値が存在する。グラフが長方形の高さ内に完全に収まるグラフ点が存在する可能性はあるが、これはグラフのすべての点について当てはまるわけではない。" id="mwAV4">
  一様連続でない関数には、正の実数が存在する。${\displaystyle \varepsilon >0}$すべての正の実数に対して${\displaystyle \delta >0}$グラフ上に点があり、高さがわずかに小さい長方形を描くと${\displaystyle 2\varepsilon }$そして幅はそれよりわずかに小さい${\displaystyle 2\delta }$その点の周辺には、長方形の真上または真下に関数値が存在します。グラフが長方形の高さ内に完全に収まるグラフ上の点が存在する場合もありますが、これはグラフ上のすべての点に当てはまるわけではありません。

一様連続性の定義を最初に発表したのはハイネで、1870年に発表した。ハイネは1872年に、開区間上の連続関数が必ずしも一様連続であるとは限らないことを証明した。その証明は、ディリクレが1854年の定積分に関する講義で述べたものとほぼ同じである。一様連続性の定義は、ボルツァーノの著作にもより早く登場しており、ボルツァーノもまた、開区間上の連続関数が必ずしも一様連続であるとは限らないことを証明している。さらに、ボルツァーノは閉区間上の連続関数は一様連続であるとも述べているが、完全な証明は示していない。^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle X}$距離空間である、${\displaystyle S}$サブセット${\displaystyle X}$、${\displaystyle R}$完全な距離空間、そして${\displaystyle f:S\rightarrow R}$連続関数。答えるべき質問：いつ${\displaystyle f}$すべての連続関数に拡張される${\displaystyle X}$？

もし${\displaystyle S}$閉鎖中${\displaystyle X}$答えはティーツェ拡張定理によって与えられる。したがって、拡張することが必要かつ十分である。${\displaystyle f}$閉鎖へ${\displaystyle S}$で${\displaystyle X}$つまり、一般性を失うことなく、${\displaystyle S}$密度が高い${\displaystyle X}$、そしてこれはさらに嬉しい結果をもたらす。拡張が存在する場合、それは一意である。${\displaystyle f}$連続関数に拡張する${\displaystyle f:X\rightarrow R}$それはコーシー連続である、つまり、${\displaystyle f}$コーシー列の はコーシー列のままです。${\displaystyle X}$完了しました（したがって、${\displaystyle S}$)、そしてすべての連続関数${\displaystyle X}$距離空間へ${\displaystyle Y}$はコーシー連続である。したがって、${\displaystyle X}$完了しました。${\displaystyle f}$連続関数に拡張${\displaystyle f:X\rightarrow R}$かつその場合に限り${\displaystyle f}$コーシー連続である。

一様連続関数はすべてコーシー連続であり、したがって拡張できることは容易にわかる。${\displaystyle X}$逆は成り立たない。なぜなら関数は${\displaystyle f:R\rightarrow R,x\mapsto x^{2}}$は、上記のように一様連続ではありませんが、連続であり、したがってコーシー連続です。一般に、次のような非有界空間で定義された関数については、${\displaystyle R}$均一連続性はかなり強い条件である。拡張可能性を導き出すための、より弱い条件があれば望ましい。

例えば、${\displaystyle a>1}$は実数です。微積分入門レベルでは、関数は${\displaystyle f:x\mapsto a^{x}}$は有理値に対してのみ正確な定義を与えることができる${\displaystyle x}$（正の実数のq乗根の存在を仮定すると、中間値の定理の応用となる）。${\displaystyle f}$すべての関数に定義されています${\displaystyle R}$アイデンティティ

${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=a^{x}\left(a^{\delta }-1\right)}$

示しているのは${\displaystyle f}$集合上で一様連続ではない${\displaystyle Q}$すべての有理数について。ただし、任意の有界区間について${\displaystyle I}$制限${\displaystyle f}$に${\displaystyle Q\cap I}$は一様に連続であり、したがってコーシー連続であり、したがって${\displaystyle f}$連続関数に拡張${\displaystyle I}$しかし、これはすべての${\displaystyle I}$すると、${\displaystyle f}$すべての連続関数へ${\displaystyle R}$。

より一般的には、連続関数${\displaystyle f:S\rightarrow R}$の制限は、${\displaystyle S}$一様に連続であり、拡張可能${\displaystyle X}$、逆もまた成り立つ。${\displaystyle X}$局所的にコンパクトである。

一様連続関数の拡張可能性の典型的な応用例は、逆フーリエ変換公式の証明です。まず、テスト関数に対して公式が成り立つことを証明します。テスト関数は多数存在します。次に、線形写像が連続であるという事実を利用して、逆写像を空間全体に拡張します。つまり、一様連続であることを証明します。

2つの位相ベクトル空間の特殊な場合${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$地図の均一な連続性の概念${\displaystyle f:V\to W}$次になる: どの近隣地域でも${\displaystyle B}$ゼロの${\displaystyle W}$近隣地域が存在する${\displaystyle A}$ゼロの${\displaystyle V}$そのため${\displaystyle v_{1}-v_{2}\in A}$暗示する${\displaystyle f(v_{1})-f(v_{2})\in B.}$

線形変換の場合${\displaystyle f:V\to W}$、一様連続性は連続性と同等である。この事実は、関数解析において、バナッハ空間の稠密部分空間から線形写像を拡張する際に暗黙のうちに頻繁に用いられる。

連続性の最も自然で一般的な設定が位相空間であるのと同様に、一様連続性の研究の最も自然で一般的な設定は一様空間である。関数${\displaystyle f:X\to Y}$一様空間間の空間は、すべての周辺空間に対して一様連続であると言われる。${\displaystyle V}$で${\displaystyle Y}$取り巻きが存在する${\displaystyle U}$で${\displaystyle X}$すべての${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$で${\displaystyle U}$我々は持っています${\displaystyle (f(x_{1}),f(x_{2}))}$で${\displaystyle V}$。

この状況においては、一様連続写像がコーシー列をコーシー列に変換することもまた事実である。

各コンパクトハウスドルフ空間は、その位相と整合する一様構造をただ一つだけ持つ。このことから、ハイネ＝カントールの定理の一般化として、コンパクトハウスドルフ空間から一様空間への連続関数はすべて一様連続であるという結論が得られる。

• 縮約マッピング– すべての点間の距離を縮小する関数 
• 一様収束– 関数列の収束モード 
• 一様同型性– 一様連続同相性 

• ブルバキ、ニコラス(1989)。一般的なトポロジ: 第 1 章から第 4 章[ Topologie Générale ]。スプリンガー。ISBN 0-387-19374-X。第2章は、均一な空間に関する包括的な参考資料である。
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