誘導次元

数学の分野である位相幾何学において、位相空間Xの帰納的次元は、小さな帰納的次元ind( X ) または大きな帰納的次元Ind( X )の 2 つの値のいずれかになります。これらは、n次元ユークリッド空間R ⁿにおいて、( n  − 1) 次元球面(つまり、n次元球の境界) の次元がn − 1であるという観察に基づいています。したがって、適切な開集合の境界の次元によって 空間の次元を帰納的に定義できるはずです。

小さな帰納的次元と大きな帰納的次元は、位相空間の「次元」の概念を、位相のみに依存して（たとえば、計量空間の特性には依存せずに）捉える最も一般的な 3 つの方法のうちの 2 つです。もう 1 つは、ルベーグ被覆次元です。「位相次元」という用語は、通常、ルベーグ被覆次元を指すものと理解されています。「十分に良い」空間の場合、次元の 3 つの尺度は等しくなります。

点の次元を0にしたいのですが、点には空の境界があるので、次のように始めます。

${\displaystyle \operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1}$

すると帰納的に、ind( X )は、 xを含むあらゆる開集合Uに対して、 xを含む開集合Vが存在し、 Vの閉包がUの部分集合となり、 Vの境界がn −1以下の小さな帰納的次元を持つような最小のnになります。  ( Xがn次元ユークリッド空間であれば、Vはxを中心とするn次元球として選ぶことができます。) ${\displaystyle x\in X}$

大きな帰納的次元については、Vの選択をさらに制限します。Ind( X )は、Xのすべての開部分集合Uのすべての閉部分集合Fに対して、その間に開集合Vが存在する（つまり、F はVの部分集合であり、 Vの閉包はUの部分集合である）ような最小の n であり、 Vの境界はn  − 1以下の大きな帰納的次元を持ちます。^[1]

をルベーグ被覆次元とする。任意の位相空間Xに対して、 ${\displaystyle \dim}$

${\displaystyle \dim X=0}$もし、もし、${\displaystyle \operatorname {Ind} X=0.}$

ウリゾーンの定理は、 Xが可算な底を持つ正規空間であるとき、

${\displaystyle \dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.}$

そのような空間はまさに可分かつ距離化可能な Xです( Urysohn の距離化定理を参照)。

ネーベリング・ポンチャギンの定理によれば、有限次元の空間は、同相写像を除いて、通常の位相を持つユークリッド空間の部分空間として特徴付けられます。メンガー・ネーベリングの定理(1932) によれば、がコンパクト計量分離可能で次元 である場合、 は 次元 のユークリッド空間 の部分空間として埋め込まれます。(ゲオルク・ネーベリングはカール・メンガーの弟子でした。彼は、の少なくとも座標が無理数である点からなるの部分空間であるネーベリング空間を考案しました。これは、 次元 の埋め込み空間に対する普遍的な性質を持っています。) ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2n+1}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$

Xのみが距離化可能であると仮定すると、次の式が得られます (ミロスラフ・カチェトフ)

ind X ≤ Ind X = dim X ;

またはX コンパクトとハウスドルフを仮定する（PSアレクサンドロフ）

dim X ≤ ind X ≤ Ind Xです。

ここでの不等式は厳密である可能性があります。Vladimir V. Filippov の例では、2 つの帰納的次元が異なる可能性があることを示しています。

可分距離空間X が不等式を満たすのは、空間のすべての閉じた部分空間とすべての連続写像に対して連続拡張が存在する場合のみです。 ${\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:A\to S^{n}}$${\displaystyle {\bar {f}}:X\to S^{n}}$

• Crilly, Tony、2005、「Paul Urysohn と Karl Menger: 次元理論に関する論文」、Grattan-Guinness, I.編、『Landmark Writings in Western Mathematics』、Elsevier: 844-55 ページ。
• R. エンゲルキング、次元理論。有限と無限、Heldermann Verlag (1995)、ISBN 3-88538-010-2。 
• VV Fedorchuk、The Fundamentals of Dimension Theory 、 Encyclopaedia of Mathematical Sciences、第 17 巻、General Topology Iに掲載、(1993) AV Arkhangel'skii および LS Pontryagin (編)、Springer-Verlag、ベルリンISBN 3-540-18178- ４． 
• VV Filippov、「双コンパクト積の帰納的次元について」、ソビエト。Math. Dokl.、13 (1972)、N° 1、250-254。
• AR Pears,一般空間の次元理論、ケンブリッジ大学出版局 (1975)。